1、初中数学竞赛精品标准教程及练习（66）辅助圆一、内容提要1. 经过两个点可以画无数个圆；经过三个点作圆，必须是不在同一直线上的三个点，可以作一个圆，并且只能作一个圆.2. 经过四点作圆(即四点共圆)有如下的判定定理： 到一个定点的距离相等的所有的点在同一个圆上(圆的定义). 一组对角互补的四边形顶点在同一圆上. 一个外角等于它的内对角的四边形顶点共圆. 同底同侧顶角相等的三角形顶点共圆.推论：同斜边的直角三角形顶点共圆(斜边就是圆的直径).3. 画出辅助圆就可以应用圆的有关性质.常用的有： 同弧所对的圆周角相等. 圆内接四边形对角互补，外角等于内对角. 圆心角(圆周角)、弧、弦、弦心距的等量关
2、系. 圆中成比例线段定理：相交弦定理 ，切割线定理.4. 证明 型如ab+cd=m2常用切割线定理二、例题例1.已知：点O是ABC的外心，BE，CD是高.求证：AODE证明：延长AO交ABC的外接圆于F，连接BF.O是ABC的外心AF是ABC外接圆的直径，ABF=Rt.BE，CD是高，BDC=CEB=Rt.B，C，E，D四点共圆(同斜边的直角三角形顶点共圆)ADE=ECB=F.AGD=ABF=Rt，即AODE.例2.正方形ABCD的中心为O，面积为1989cm2，P为正方形内的一点，且OPB=45，PAPB=514，则PB=_cm.解：OPB=OAB=45 ABOP四点共圆(同底同侧顶角相等的
3、三角形顶点共圆)APB=AOB=Rt.在RtAPB中，设PA为5x，则PB是14x.(5x)2+(14x)2=1989.解得x=3, 14x.42.PB=42 (cm).例3.已知：平行四边形ABCD中，CEAB于E，AFBC于F.求证：ABAE+CBCF=AC2.证明：作BGAC交AC 于G.CEAB，AFBC.A，F，B，G和B，E，C，G分别共圆. (对角互补的四边形顶点共圆)根据切割线定理，得ABAE=AGACCBCF=CGACABAE+CBCF=AC(AG+CG)=AC2.例4.已知：AD是RtABC斜边的高，角平分线BE交AD于F.求证：AE2=AB2BEBF.分析：根据同角的余角
4、相等，可证AE=AF.由射影定理AB2=BDBC.故只要证AEAFBDBCBEBF创造应用切割线定理的条件，作ABC的外接圆并延长BE交圆于G，得F、D、C、G四点共圆 . BDBC=BFBG.右边= BFBG. BEBF=BF(BGBE)=BFEG从而转为要证AEAF= BFBG. 即只要证AEGBFA(证明由同学自已完成)例5已知：从O外一点P作O的两条切线PA，PB切点A和B，在AB上任取一点C，经过点C作OC的垂线交PA于M，交PB于N.求证：OM=ON.证明：连结OA，OB .A，B是切点 OAPA，OBPB. 又OCMN.A，M，C，O和B，N，O，C分别共圆.(辅助圆可以不画)根
5、据同弧所对的圆周角相等，得OAC=OMC，ONC=OBC.OA=OB， OAC=OBC.OMC=ONC ， OM=ON.三、练习661.已知：AD是ABC的高，DE，DF分别是ADB和ADC的高求证： B，C，F，E四点共圆2.已知：两条线段AB和CD相交于点P，且PAPB=PCPD.求证：A，B，C，D四点共圆.3.已知：O和O，相交于A，B，过点A作一直线交O于C，交O，于D，分别过点C和点D作O和O，的切线相交于点P .求证：P，C，B，D四点在同一个圆上.4.已知：E是正方形ABCD边BC上的一点，过点E作AE的垂线和C的外角平分线交于点F.求证：AE=AF.5.已知：M是平行四边形A
6、BCD对角线AC上的一点，过点M画两组对边的垂线段分别交AB，CD于E，F交AD，BC于G，H.求证：EGFH.6.已知：ABC的三条高AD，BE，CF交于点H.求证：BHBE+CHCF=BC2.7.已知：AB是O的直径，C是半圆上的一点，CDAB于D，G 是CD上的一点，AG的延长线交半圆于H.求证：CD2+AD2=AGAH.8.已知：AD是ABC的角平分线 .求证：AD2=ABAC.DBDC9.已知：凸五边形ABCDE中.A=3，BC=CD=DE，C=D=180.2.求证：AC，AD，AE三等分A. 10.求证：圆上一点到圆内接四边形两组对边的距离的积相等11.求证：圆内接四边形两组对边积的和等于两对角线的积(托列密定理)12.如图已知：圆内接四边形ABCD中，由AB上一点M作MPBC，MQCD，MRDA，PR交MQ于N.求证：.13.如图已知：ACE=CDE=Rt，点B在CE上，CA=CB=CD，过A，C，D的圆交AB于F.求证：点F是CDE的内心133