1、初中数学竞赛精品标准教程及练习（44）数的整除（二）一、内容提要第一讲介绍了能被2，3，4，5，7，8，9，11，13，25整除的自然数的特征，本讲将介绍用因式分解方法解答数的整除问题.几个常用的定理，公式，法则：n个连续正整数的积能被n！整除.（n的阶乘：n！123n）.例如：a为整数时，2a(a+1)，6a(a+1)(a+2), 24a(a+1)(a+2)(a+3)， 若a 且ac, 则a(bc).若a,b互质，且ac, bc ，则abc . 反过来也成立：a,b互质，abc，则ac, bc.例如：8和15互质，8a, 15|a， 则120a. 反过来也成立：若120a.则8a, 15|a
2、.由乘法公式（n为正整数）推得：由(ab)(an-1+an-2b+abn-2+bn-1)=anbn . 得 (ab)|(anbn).(a+b)(a2na2n1b+ab2n1+b2n)=a2n+1+b2n+1 . (a+b)|(a2n+1+b2n+1).(a+b)(a2n1a2n2b+ab2n2b2n1)=a2nb2n . (a+b)|(a2nb2n).概括起来：齐偶数次幂的差式a2nb2n含有因式ab和ab.齐奇数次幂的和或差式a2n+1b2n+1或a2n+1b2n+1只分别含有因式ab或ab.例如（a+b）| (a6b6), (ab)| (a8b8)； (a+b)|(a5+b5)， (ab)
3、|(a5b5).二、例题例1. 已知:整数n2.求证：n55n3+4n能被120整除.证明：n55n3+4nn(n45n2+4)=n(n1)(n+1)(n+2)(n2). (n2) (n1)n(n+1) (n2)是五个连续整数，能被n!整除，120n55n3+4n.例2. 已知：n为正整数.求证：n3+n2+n是3的倍数.证明：n3+n2+nn（2n2+3n+1）=n(n+1)(2n+1) =n(n+1)(n+2+n1)= n(n+1)(n+2)+ n(n+1)(n1).3！n(n+1)(n+2)，且3！n(n+1)(n1).3n(n+1)(n+2)+ n(n+1)(n1).即n3+n2+n是
4、3的倍数.（上两例关鍵在于创造连续整数）例3.求证：332551；1989（1990199019881988）.证明：255125111113211111.(321)|(3211+111 ) ， 即332551.199019901988198819901990198819901988199019881988.（添两项）（19901988）（1990199019881990）.即19892（1990199019881990）.1988199019881988=19881988(198821)19881988（19881）（19881）.即199019901988198819892N1989198
5、819881987.（N是整数）19891990199019881988.例4设n是正整数，求证：7（32n+1+2n+2）. 证明：32n+1+2n+2332n+42n=39 n+42 n32n32n（添两项）（42 n32n）（39 n32n）（43）3（9 n2n）72 n3（92）N . （N是整数）7（32n+1+2n+2）（例3，4是设法利用乘法公式）例5. 已知能被33整除，求x,y的值.解：33311，19+x+y+8+7其和是3的倍数，即x+y=3K25 (k为整数).又（1x+8）(9+y+7)其差是11的倍数，即xy=11h+7(h是整数).0x9，0y9，0xy18，9
6、xy9，x+yxy, 且 x+y和xy同是奇数或偶数.符合条件的有.解得.例6.设N，且17N, 求x.解：N2078100x=171224176x2x17（1226x）+42x.17N，1742x ，当 42x=0. x=2.三、练习441. 要使2n+1能被3整除，整数n应取，若6（5 n1）, 则整数n应取.2. 求证：4!|（n4+2n3n22n）； 24n(n21)(3n+2)；6（n3+11n）； 30（n 5n）.3. 求证：10099101）；57（2333372222）；995（996996994994）；1992（997997995995）.4. 设n是正整数，求证3 n+
7、3n+2+62n能被33整除.5. 求证：六位数能被7，11，13，整除.6. 已知：五位数能被77整除，求x,y的值.7. 已知：a,b,c都是正整数，且6（a+b+c）.求证：6（a3+b3+c3）.三、练习44参考答案：1. 正奇数；正偶数2. ，分解为4个连续整数n(n-1)(n+1)+12n n(n-1)(n+1)(n2-4+5)3. 81111491111添项1，1添项9959979959974. 化为3n(1+32)+36n=113n36 n3n5. 711131001六位数105a+104b+103c+102a+10b+c=6. 仿例57. 由6（a+b+c）可知a,b,c中至少有一个是偶数，且a3+b3+c33abc含有因式a+b+c3