1、初中数学竞赛精品标准教程及练习(64)最大 最小值一、内容提要1.求二次函数y=ax2+bx+c(a0)，的最大、最小值常用两种方法：配方法：原函数可化为y=a(x+)2+.在实数范围内(x+)20，若a0时，当x= 时， y 最小值=；若a0，y，这时取等号，则y 为最小值；若a0,b0,a+b=k .(k为定值).那么ab=a(ka)=a2+ka=(ak)2+.当a=时，ab有最大值.证明定理二，用判别式法，也叫构造方程法.设a0,b0,ab=k (k为定值)，再设 y=a+b. 那么y=a+, a2ya+k=0.（这是关于a的二次议程方程） a 为正实数， 0. 即(y)24k 0，y2
2、4k0.y2(不合题意舍去)； y 2. y最小值=2.解方程组得a=b=. 当a=b=时，a+b 有最小值 2 .3.在几何中，求最大、最小值还有下列定理： 定理三：一条边和它的对角都有定值的三角形，其他两边的和有最大值.当这两边相等时，其和的值最大.定理四：一条边和这边上的高都有定值的三角形，其他两边的和有最小值.当这两边相等时，其和的值最小.定理五：周长相等的正多边形，边数较多的面积较大；任何正多边形的面积都小于同周长的圆面积.二、例题例1.已知：3x2+2y2=6x, x和y 都是实数，求：x2+y2 的最大、最小值.解：由已知y2=, y是实数，y20.即0，6x3x2 0， x22
3、x 0. 解得0x2.这是在区间内求最大、最小值，一般用配方法， x2+y2=x2+=( x3)2+ 在区间0x2中，当x=2 时，x2+y2有最大值 4. 当x=0时，x2+y2=0是最小值 .例2.已知：一个矩形周长的数值与它面积的数值相等.求：这个矩形周长、面积的最小值.解：用构造方程法.设矩形的长，宽分别为 a,b 其周长、面积的数值为k.那么2(a+b)=ab=k. 即 a和b是方程x2kx+k=0 的两个实数根.a,b都是正实数，0.即()24k0.解得k16；或k0 .k0不合题意舍去.当k16取等号时，a+b,ab 的值最小，最小值是16.即这个矩形周长、面积的最小值是16.例
4、3.如图ABC的边BC=a, 高AD=h, 要剪下一个 矩形EFGH，问EH取多少长时，矩形的面积最大？ 最大面积是多少？解：用构造函数法设EH=x, S矩形=y, 则GH=.AHGABC， . y=. 当x=时，y 最大值 =. 即当EH=时，矩形面积的最大值是.例4.如图已知：直线m n，A，B，C都是定点，AB=a, AC=b, 点P在AC上，BP的延长线交直线m于D.问：点P在什么位置时，SPAB+SPCD最小？解：设BAC=，PA=x, 则PC=bx. mn，.CD=SPAB+SPCD=axSin+(bx) Sin=aSin(=aSin(2x+. 2x =2b2 (定值)，根据定理二
5、，2x +有最小值. 当2x =， x=时，SPAB+SPCD的最小值是(1)abSin.例5.已知：RtABC中, 内切圆O的半径 r=1.求：SABC的最小值. 解：SABC=ab ab 2S.2r=a+bc,c=a+b2r.a+b2r= . 两边平方，得a2+b2+4r2+2ab4(a+b)r= a2+b2. 4r2+2ab4(a+b)r=0. 用r=1,ab=2S 代入，得 4+4S4(a+b) =0. a+b=S+1.ab=2S且a+b=S+1.a,b是方程x2(S+1)x+2S=0 的两个根.a,b是正实数，0，即 (S+1)242S 0，S26S+10 .解得S3+2或S32.
6、S32不合题意舍去.SABC的最小值是3+2.例6.已知：.如图ABC中，AB=，C=30.求：a+b 的最大值. 解：设 a+b=y , 则b=ya. 根据余弦定理，得()2=a2+(ya)22a(ya)Cos30 写成关于a 的二次方程：(2+)a2(2+)ya+y2(8+4)=0.a 是实数，0.即(2+)2y24(2+)y2(8+4)0，y2(8+4)2 0 . (8+4)y (8+4).a+b 的最大值是8+4.又解：根据定理三 AB和C都有定值. 当a=b 时，a+b 的值最大.由余弦定理，()2=a2b22abCos30可求出a=b=4+2.三、练习641.x1,x2,x3,x4
7、,x5 满足. x1+x2+x3+x4+x5=. x1x2x3x4x5，那么. x5的最大值是.2.若矩形周长是定值20cm,那么当长和宽分别为_，_时，其面积最大，最大面积是_.3.面积为100cm2的矩形周长的最大值是.4.a,b均为正数且a+b=ab,那么 a+b的最小值 是_.5.若x0,则x+的最小值是_.6. 如图直线上有A、B、C、D四个点.那么到A，B，C，D距离之和为最小值的点，位于，其和的最小值等于定线段.7.如右图ABC中，AB=2，AC=3，是以AB，BC，CA为边的正方形，则阴影部份的面积的和的最大值是.8.下列四个数中最大的是 ( )（A） tan48+cot48
8、.(B)sin48+cos48.(C) tan48+cos48. (D)cot48+sin48. 9.已知抛物线y=x2+2x+8与横轴交于B，C两点，点D平分BC，若在横轴上侧的点A为抛物线上的动点，且BAC为锐角，则AD的取值范围是_ 10.如图ABC中，C=Rt，CA=CB=1，点P在AB上，PQBC于Q.问当P在AB上什么位置时，SAPQ最大？11.ABC中，AB=AC=a，以BC为边向外作等边三角形BDC，问当BAC取什么度数时AD最长？12.已知x2+2y2=1, x,y都是实数，求2x+5y2的最大值、最小值.13.ABC中B=，AC=1，求BA+BC的最大值及这时三角形的形状.
9、14.直角三角形的面积有定值k,求它的内切圆半径的最大值.15.D，E，F分别在ABC的边BC、AC、AB上，若BDDC=CEEA=AFFA=k(1k) (0k1). 问k取何值时，SDEF的值最小？16.ABC中，BC=2，高AD=1，点P，E，F分别在边BC，AC，AB上，且四边形PEAF是平行四边形.问点P在BC的什么位置时，SPEAF的值最大？练习64参考答案：1. 5. 2. 5，5 25. 3. 40cm 4. 4 5. 6 6.BC上，BC+AD.7. 最大值是9，S=32SinBAC,BAC=90度时值最大.8.(A). 9. 3AD9 10. P在AB中点时，S最大值=，S=x与x的和有定值，当x=x时，S值最大.11.当BAC=120度时，AD最大，在ABD中，设BAD=由正弦定理，当150=90时，AD最大.12.当x=时，有最大值；当x=1时，有最小值2 (仿例3).13.当a=c时，a+c有最大值2，这时是等边三角形.14. 内切圆半径的最大值r=(1) (仿例6).15. 当 k=时，SDEF=SABC，16.当PB=1时，S有最大值.16. 当点P是BC中点时，面积最大值是. 6