1、初中数学竞赛精品标准教程及练习（53）条件等式的证明一、内容提要1. 恒等式：如果等式中所含的字母在允许值范围内，用任何实数值代替它，等式都能成立,那么这个等式叫做恒等式.例如： a+b=b+a， (a+b)2=a2+2ab+b2 ， x=(x0)， ()2=a (在实数范围内a0)， =a(在实数范围内n为正奇数).都是恒等式.只含常数的等式是恒等式的特例.如：32=1，.2. 条件等式：满足一定条件下的等式，称为条件等式. 方程是条件等式，解方程就是求出能满足等式的条件(未知数的值).3.证明条件等式就是在题设的条件下，判断恒等式.4.证明条件等式的方法，除和证明恒等式的一般方法(见第20
2、讲)以外，要特别注意如何把已知的条件用上.一般有以下几种： 用已知的条件直接代入(即等量代换). 变形后代入(包括把已知变形，或把结论变形). 引入参数后代入(包括换元).5. 分式，根式在恒等变形时，要注意字母保持允许值的范围不变.二、例题例1.已知：,且x+y+z0.求证：.分析：设法化为同分母，轮换式可先代入一式，其余的可用同型式 用已知直接代入.证明 ：.根据 轮换式的性质，得 =. 例2. 已知：.求证：(n是整数).分析：先把已知变形，找出a,b,c之间的关系.证明：由已知，去分母，得 bc(a+b+c)+ac(a+b+c)+ab(a+b+c)=abc.(a+b+c)(bc+ac)
3、+ab(a+b)=0 . (a+b)(b+c)(c+a)=0.a=b， 或b=c， 或c=a. n 是整数， 2n+1是奇数. 当a=b时 ，左边= ； 右边=. 即a=b时，等式成立.同理可证：当b=c和c=a时，等式也成立 . (n为整数 ).例3.已知：ax3=by3=cz3, .求证：. 证明：设ax3=by3=cz3= k . ( 引入参数)那么ax2=, by2=, cz2=. 代入左边，得 ： 左边=；而且 a=,b=,c=. 代入右边， 得：右边=()=.例4. 已知： abc 0，方程(acbc)x2+(bcab)x+(abac)=0有两个相等实根. 求证： 分析：要等式成立
4、，必须且只须acbc=abac.证明：方程有两个相等的实数根， =0.即 (bcab)24(acbc) (abac)=0.(bcab+acac)2+4(bcac)(abac)=0， (添项acac)(bcac)(abac)2+4(bcac)(abac)=0.(bcac)+(abac)2=0 . bcac+abac =0. acbc=abac. abc0，两边都除以abc,得， .例5. 已知：a+， abc.求证：a2b2c2=1.证明：由已知ab=, a b，即ab0， bc=.根据轮换式性质，得同型式： ca=, ab=. abbcca= . a2b2c2=1.三、练习531. 已知： a
5、bc=1. 求证： 2. 已知： x=, y=, z=.求证： (1+x)(1+y)(1+z)=(1x)(1y)(1z).3. 已知：(aybx)2+(bzcy)2+(cxaz)2=0 . 求证： .4. 已知： . 求证： (a+b+c)2+a2+b2+c2=2(a+b+c)(a+c).5. 已知：. 求证：a+b+c=0 .6. 已知： ， a+b+c 0.求证： .7. 已知： 1949x2=1988y2 且， x0, y0. 求证： .8. 已知：x=， 且a0, b0,0b1). 求证： .10. 求证：+=411. 已知：，. 求证： .12. 已知：a+b+c=0, a2+b2+c2=0, a3+b3+c3=0.求证：a4+b4+c4=0.练习53参考答案：1. 化为同分母ab+a+1,并设为k,则bc+b+1=,ca+c+1=ck.6. 由已知得，则k=28. 由已知得，1+ x2=,注意a+b0 9.把左边分母有理化10.左边被开方数配方(a+ 可得a=2,b=111.用反比，合比. 12. 0.4