1、初中数学竞赛精品标准教程及练习(42)型如的证明一、内容提要型如的证明,通常是证明它的等价命题第一种 转化为线段的比例式（1） 可证和两个同分母的分式分别相等，例如当m+n=p时等式成立（2）可证明c,a,bc,b 四条线段成比例，关鍵是作出bc的差（3）可证明a+b,a,b,c四条线段成比例，关鍵是作出a+b的和第二种转化为线段的乘积式bc+ac=ab(4)(4) 常用两个图形的面积和等于另一个图形的面积二、例题例1. 已知：在梯形ABCD中，ABCD，O是AC和BD的交点，OEAB交BC于有E求证：分析：证明，分别和，相等即可（下略）例2. 已知：在ABC中，ACB120，CD是角平分线求
2、证：分析一：延长AC到E，使CECB，可证BCE为等边，BECD分析二：在CB上截取CECD，可证CDE为等边三角形，DECA分析三：CACDCBCDCACB可由SCADSCBDSCAB证得证明：SCADSCBDSCABCACDSinACDCBCDSinBCD=CA;x CBSinACBSin120=Sin60,CACDCBCDCACB例3. 已知：ABC中，ABC124 求证：分析：在AC上取CDBC，证明即可，要创造相似三角形，作角平分线CE，连结DE，得ACEABC，再证CEDEAD证明：在AC上取CDBC，作角平分线CE，连结DE显然CDECBE，DCEBCE2CDEB2，A，DEAC
3、EEDDAACEABC，, 1 例4. 已知：点C和点D分别内分、外分线段AB为同一个比即ACCBADDB（称C，D调和分割AB）求证： 分析：（证明步骤是分析的倒逆）例5. 如图已知：ABC中，BCa,高ADh,内接正方形EFGH边长为m求证：分析：hm+am=ah,可用面积公式证证明：SAEFS梯形EFGHSABC即m(h-m)+(m+a)m=ah, mh+ma=ah两边除以ahm,得三、练习421. 四边形ABCD中，ACRt，P是BD上的一点，PMAB，PNCD，M，N是垂足，求证：2. ABC中，CD是角平分线，DEBC交AC于E，则3. 经过平行四边形ABCD的顶点D的一直线交BC
4、于M，交AB的延长线于N，求证4. 已知：ABC中，D，E分别在边AB，AC上，且DEBC求证：（1SBAE）（1SBEC）1SBED5. ABC中，C60，角平分线CDt,求证6. ABC内一点P，PDBC，PEAC，PFAB，D，E，F是垂足，设a,b,c边上的高分别为ha,hb,hc求证7. 已知2a=7b=14c 求证8. 已知：直线y=bx+c(b 0),与抛物线y=ax2（a0）有两个交点，与横轴有一个交点，它们的横坐标分别为x1,x2,x3且b2-4ac0求证：9. RtABC斜边上的高CDh，那么10. 过ABC内一点P分别作三边的平行线DEBC，FGAB，HKAC求证：11.在等边ABC外接圆的弧上取点PPA交BC于M，求证12. PA，PB切O于A，B，直线PO交O于M，N，交AB于C求证13. 已知半径分别为R，r的O和O1外切于P，点P到外公切线AB的距离为d,则练习42参考答案：4.利用等高的两个三角形面积的比等于它们的底的比1. SABCabSinC2. 连结PA，PB，PC由8. x1,x2是方程bx+c=ax2的两个根，由韦达定理得且x3是bx+c=0的根9.射影定理11.用SPBMSPCMSPBC 12.AM，AN是PAC的内，外角的平分线。4