1、学海在线资源中心 数列的全章复习与巩固编稿：李霞 审稿：张林娟【学习目标】1系统掌握数列的有关概念和公式；2掌握等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式与前项和公式，并运用这些知识解决问题；3了解数列的通项公式与前项和公式的关系，能通过前项和公式求出数列的通项公式；4掌握常见的几种数列求和方法.【知识网络】数列的通项通项公式等差中项前n项和公式等差数列性质通项公式等比中项前n项和公式等比数列性质数列数列前n项和数列的递推公式应用【要点梳理】要点一：数列的通项公式数列的通项公式一个数列的第n项与项数n之间的函数关系，如果可以用一个公式来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式.要点诠释：不是
2、每个数列都能写出它的通项公式.如数列1，2，3，1，4，2，就写不出通项公式；有的数列虽然有通项公式，但在形式上又不一定是唯一的.如：数列1，1，1，1，的通项公式可以写成，也可以写成；仅仅知道一个数列的前面的有限项，无其他说明，数列是不能确定的.通项与前n项和的关系：任意数列的前n项和；要点诠释：由前n项和求数列通项时，要分三步进行：（1）求，（2）求出当n2时的，（3）如果令n2时得出的中的n=1时有成立，则最后的通项公式可以统一写成一个形式，否则就只能写成分段的形式.数列的递推式：如果已知数列的第一项或前若干项，且任一项与它的前一项或前若干项间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫
3、做这个数列的递推公式，简称递推式.要点诠释：利用递推关系表示数列时，需要有相应个数的初始值，可用凑配法、换元法等.要点二：等差数列判定一个数列为等差数列的常用方法定义法：（常数）是等差数列；中项公式法：是等差数列；通项公式法：（p，q为常数）是等差数列；前n项和公式法：（A，B为常数）是等差数列.要点诠释：对于探索性较强的问题，则应注意从特例入手，归纳猜想一般特性.等差数列的有关性质：（1）通项公式的推广：（2）若，则；特别，若，则（3）等差数列中，若.（4）公差为d的等差数列中，连续k项和， 组成新的等差数列.（5）等差数列，前n项和为当n为奇数时，；当n为偶数时，；.（6）等差数列，前n项
4、和为，则（m、nN*，且mn）.（7）等差数列中，若m+n=p+q（m、n、p、qN*，且mn，pq），则.（8）等差数列中，公差d，依次每k项和：，成等差数列，新公差.等差数列前n项和的最值问题：等差数列中若a10，d0，有最大值，可由不等式组来确定n；若a10，d0，有最小值，可由不等式组来确定n，也可由前n项和公式来确定n.要点诠释：等差数列的求和中的函数思想是解决最值问题的基本方法.要点三 ：等比数列判定一个数列是等比数列的常用方法（1）定义法：（q是不为0的常数，nN*）是等比数列；（2）通项公式法：（c、q均是不为0的常数nN*）是等比数列；（3）中项公式法：（，）是等比数列. 等
5、比数列的主要性质：（1）通项公式的推广：（2）若，则.特别，若，则（3）等比数列中，若.（4）公比为q的等比数列中，连续k项和， 组成新的等比数列.（5）等比数列，前n项和为，当n为偶数时，.（6）等比数列中，公比为q，依次每k项和：，成公比为qk的等比数列.（7）若为正项等比数列，则（a0且a1）为等差数列；反之，若为等差数列，则（a0且a1）为等比数列.（8）等比数列前n项积为，则等比数列的通项公式与函数：方程观点：知二求一；函数观点：时，是关于n的指数型函数； 时，是常数函数；要点诠释：当时，若，等比数列是递增数列；若，等比数列是递减数列；当时，若，等比数列是递减数列；若，等比数列是递增
6、数列；当时，等比数列是摆动数列；当时，等比数列是非零常数列.要点四：常见的数列求和方法公式法：如果一个数列是等差数列或者等比数列，直接用其前n项和公式求和.分组求和法：将通项拆开成等差数列和等比数列相加或相减的形式，然后分别对等差数列和等比数列求和.如：an=2n+3n.裂项相消求和法：把数列的通项拆成两项之差，正负相消，剩下首尾若干项的方法.一般通项的分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式.若，分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式,则，如an= 错位相减求和法：通项为非常数列的等差数列与等比数列的对应项的积的形式：, 其中 是公差d0等差数列，是公比q1等比
7、数列，如an=(2n-1)2n.一般步骤：，则所以有要点诠释：求和中观察数列的类型，选择合适的变形手段，注意错位相减中变形的要点.要点五：数列应用问题数列应用问题是中学数学教学与研究的一个重要内容,解答数学应用问题的核心是建立数学模型,有关平均增长率、利率（复利）以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型.建立数学模型的一般方法步骤.认真审题，准确理解题意，达到如下要求：明确问题属于哪类应用问题；弄清题目中的主要已知事项；明确所求的结论是什么.抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量或适当建立坐标系，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达.将实际问题抽象为数学
8、问题，将已知与所求联系起来，据题意列出满足题意的数学关系式（如函数关系、方程、不等式）.要点诠释：数列的建模过程是解决数列应用题的重点，要正确理解题意，恰当设出数列的基本量.【典型例题】类型一：数列的概念与通项例1写出数列：，的一个通项公式.【思路点拨】从各项符号看，负正相间，可用符号表示；数列各项的分子：1，3，5，7，是个奇数列，可用表示；数列各项的分母：5，10，17，26，恰是, ,可用表示.【解析】通项公式为：.【总结升华】求数列的通项公式就是求数列中第项与项数之间的数学关系式.如果把数列的第1，2，3，项分别记作，那么求数列的通项公式就是求以正整数(项数)为自变量的函数的表达式；通
9、项公式若不要求写多种形式，一般只写出一个常见的公式即可； 给出数列的构造为分式时，可从各项的符号、分子、分母三方面去分析归纳，还可联想常见数列的通项公式，以此参照进行比较.举一反三：【变式1】已知数列则是此数列中的（ ）A. 第48项 B. 第49项 C. 第50项 D. 第51项【答案】C将数列分为第1组1个，第2组2个，第组n个，则第n组中每个数的分子分母的和为n1，则为第10组中的第5个，其项数为(1239)550. 故选C.【变式2】根据下列条件，写出数列中的前4项，并归纳猜想其通项公式：（1）(2) 【答案】（1），猜想得.(2)a1=a,a2=,a3=,a4=，猜想得an=.类型二
10、：等差、等比数列概念及其性质的应用例2. 在和之间插入个正数，使这个数依次成等比数列，求所插入的个数之积；【解析】方法一：设插入的个数为，且公比为，则，（）方法二：设插入的个数为，【总结升华】第一种解法利用等比数列的基本量、，先求公比，后求其它量，这是解等差数列、等比数列的常用方法，其优点是思路简单、实用，缺点是有时计算较繁；第二种解法利用等比数列的性质，与“首末项等距”的两项积相等，这在解题中常用到.举一反三：【变式1】如果一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32：27，求公差.【答案】设等差数列首项为，公差为d，则【变式2】已知：三个数成等比数列，积为2
11、16，若第二个数加上4，则它们构成一个等差数列,求这三个数.【答案】这三个数为2，6，18或18，6，2.例3.设是等差数列的前n项和，若，则等于( )A B C D【思路点拨】利用等差数列的性质来解：等差数列中， ，也成等差数列.【解析】由题意知，成等差数列，由已知得，故公差为，所以，故，故，所以故选A。【总结升华】等差等比数列的性质是高考命题的热点，熟练掌握它们的性质并灵活运用，能使问题简洁.举一反三：【变式】 已知等差数列，, , 则（ ）A.125 B.175C.225D.250【答案】C方法一：为等差数列，,成等差数列，即， 解得，选C.方法二：取特殊值（适用选择题）：令，由题意可得
12、,，, 选C.方法三：,两式相减可得， .选C.例4等差数列中，,，该数列前多少项的和最小？【思路分析】等差数列的通项是关于n的一次式，前n项和是关于n的二次式（缺常数项）. 求等差数列的前n项和的最大最小值可用解决二次函数的最值问题的方法.【解析】设等差数列的公差为d，则由题意有：化简得，有最小值。又或时，取最小值.【总结升华】前n项和是关于n的二次式（缺常数项），当时，有最小值；当时，有最大值举一反三：【变式1】等差数列中，,，则它的前_ 项和最大，最大项的值是_.【答案】7，49设公差为d, 由题意得3a1+d=11a1+d，得d=-2,有最大值.又S3=S11,可得n=7， S7为最大
13、值，即S7=713+(-2)=49.【变式2】若数列an是等差数列，数列bn满足bn=anan+1an+2(nN)，bn的前n项和用Sn表示，若an中满足3a5=8a120，试问n多大时，Sn取得最大值，证明你的结论.【答案】3a5=8a120，3a5=8(a5+7d),解得a5=-d0d0，a17a2a160a17a18 于是b1b2b140b17b18而b15=a15a16a170 S14S13S1 ,S14S15，S150，a18=d0 a15|a18|，|b15|0 S16S14，故Sn中S16最大例5. 设Sn、Tn分别为等差数列an，bn的前n项和，满足，求.【思路点拨】利用等差数
14、列的前n项求和公式及性质是解决本题的关键，主要利用： 进行求解.【解析】方法一：的关系方法二：设(k0)， a11=S11-S10=11k(711+1)-10k(710+1)=148k b11=T11-T10=11k(411+27)-10k(410+27)=111k .【总结升华】等差数列的中项在前n项和式中的应用是解决本例的关键，也应注意到前n项和与通项公式的联系.举一反三：【变式1】等差数列an中，Sn=50，求项数n.【答案】，由（1）+（2）得:，【变式2】已知各项均为正数的等比数列，则_.【答案】由已知得，故.【高清课堂：数列综合381084 例2】【变式3】在数列中，（1）设，证明
15、是等比数列.(2) 求数列的通项公式.(3) 若是与的等差中项，求的值；并证明：对任意的，是与的等差中项.【答案】（1）利用定义证明（2）（3）证明时，不合题意时，由是与的等差中项可求又 即是与的等差中项.类型三：由递推关系求数列通项公式例6已知数列中求这个数列的通项公式。【思路点拨】把整理成，得数列为等比数列；把整理成得数列为等比数列，通过构造的新数列的通项公式，联立求出.【解析】又形成首项为7，公比为3的等比数列，则，形成了一个首项为，公比为的等比数列 则 【总结升华】本题是两次构造等比数列，最终用加减消元的方法确定出数列的通项公式。举一反三：【变式1】已知数列中，求.【答案】法一：设，解
16、得即原式化为设，则数列为等比数列，且法二： 由得：设，则数列为等比数列法三：，【变式2】在数列an中，a1=1，an+1=，求an.【答案】，将以上各式叠加，得又n=1时，类型四：与的关系式的综合运用例7. 数列的前n项和为，若对于恒成立，求.【思路点拨】可以考虑化为的递推式，直接求，这是方法一；已知的混合式，考虑采用降角标作差的方法，化为的递推关系式，先求再求，这是方法二.【答案】【解析】方法一：当时，所以数列是首项为，公差为1的等差数列. 当时，方法二： 则得，即，在中，当n=1时，.【总结升华】与的关系式的综合运用，如果已知条件是关于、的关系式，可利用n2时，将条件转化为仅含或的关系式。
17、注意分n=1和n2两种情况讨论，若能统一，则应统一，否则，分段表示。举一反三：【变式1】在数列中，已知前项和与通项满足，求这个数列的通项公式. 【答案】因为从而由已知得到：即，于是得到，就可以得到：.【变式2】在数列an中，Sn是其前n项和，若a11，an1Sn(n1)，则an_.【答案】an1Sn(n1)，anSn1(n2)，an1anan(n2)，即an1an(n2)，当n2时，当n1时，a11.【变式3】已知数列的前项和为，.（1）求；（2）求证：数列是等比数列.【答案】（1）由，得，又，即，得.（2）证明：当时，得，又，所以为首项为，公比为的等比数列.类型五：数列的求和问题例8.（20
18、15 天津）已知数列满足（q为实数，且q1），且，成等差数列.()求q的值和的通项公式；()设，求数列的前n项和.【答案】()2；（）【解析】（）解：由已知，有，即，所以.又因为q1，所以a3=a2=2，由a3=a1q，得q=2.当n=2k1（kN*）时，；当n=2k（kN*）时，.所以，an的通项公式为（）解：由（）得.设bn的前n项和为Sn，则上式两式相减，得，整理得，.所以，数列bn的前n项和为，nN*。【总结升华】数列求和是考试的热点，以等差、等比数列的基本运算为背景考查错位相减法、裂项相消法、分组求和等求和方法。重点是错位相减法.举一反三：【变式1】（2015 天津文）已知an是各项
19、均为正数的等比数列，bn是等差数列，且a1=b1=1，b2+b3=2a3，a53b2=7.（）求an和bn的通项公式；（）设cn=anbn，nN*，求数列cn的前n项和.【答案】（）设数列an的公比为q，数列bn的公差为d，由题意q0.由已知，有，消去d，整理得q42q28=0.又因为q0，解得q=2，所以d=2.所以数列an的通项公式为an=2n-1，nN*；数列bn的通项公式为bn=2n1，nN*.（）由（）有cn=(2n1)2n-1，设cn的前n项和为Sn，则Sn=120+321+522+(2n3)2n-2+(2n1)2n-1，2Sn=121+322+523+(2n3)2n-1+(2n1
20、)2n，上式两式相减，得Sn=1+22+23+2n(2n1)2n=2n+13(2n1)2n=(2n3)2n3，所以，Sn=(2n3)2n+3，nN*.【变式2】若数列的相邻两项、是方程的两根，又，求数列的前项和.【答案】由韦达定理得，得 ， 数列与均成等比数列，且公比都为，由，得,(I)当为偶数时，令（）,.(II)当为奇数时，令（）， .类型六：等差、等比数列的综合应用例9.（2016 长沙校级模拟）已知单调递增的等比数列an满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项。（1）求数列an的通项公式；（2）设，求数列bn的前n项和Sn。【答案】（1）an=2n（2）Sn=2n
21、+1n2n+12【思路点拨】（1）根据a3+2是a2，a4的等差中项和a2+a3+a4=28，求出a3、a2+a4的值，进而得出首项和a1，即可求得通项公式； （2）先求出数列bn的通项公式，然后求出Sn（2Sn），即可求得的前n项和Sn。【解析】（1）设等比数列an的首项为a1，公比为qa3+2是a2，a4的等差中项2(a3+2)=a2+a4代入a2+a3+a4=28，得a3=8a2+a4=20或数列an单调递增an=2n（2）an=2n 得，Sn=2+22+23+2nn2n+1=2n+1n2n+12【总结升华】本题考查了等比数列的通项公式以及数列的前n项和，对于等差数列与等比数列乘积形式的
22、数列，求前n项和一般采取错位相减的办法。举一反三：【高清课堂：数列综合381084 例1】【变式】已知两个等比数列，满足，.（1）若，求数列的通项公式；（2）若数列唯一，求的值.【答案】（1）或（2）类型六：应用题例10某地区现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加，人均粮食占有量比现在提高，如果人口年增长率为，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷？（精确到1公顷）（粮食单产=，人均粮食占有量=）【思路点拨】应用题须认真读懂关键词句，容易看出每年的人均粮食占有量和人口数均构成等比数列。【解析】方法一：由题意，设现在总人口为人，人均粮食占有量为吨，现在耕地共有公顷，于是现在的粮食单
23、产量吨/公顷，10年后总人口为，人均粮食占有量吨，若设平均每年允许减少公顷，则10年耕地共有()公顷，于是10年后粮食单产量为吨/公顷.由粮食单产10年后比现在增加得不等式：化简可得即，(公顷)答：按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷.方法二：由题意，设现在总人口为人，粮食单产为吨/公顷，现在共有耕地公顷，于是现在人均粮食占有量吨/人，10年后总人口为，粮食单产吨/公顷，若设平均每年允许减少公顷，则10年后耕地将有()公顷，于是10年后粮食总产量为，人均粮食占有量为，由人均粮食占有量10年后比现在增加得不等式：，（余与上同）.【总结升华】解应用题的关键是建立数学模型，只要把模型中的量具体
24、化就可得相应的解析式.举一反三：【变式】某地区原有森林木材存量为，且每年增长率为，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为，设为年后该地区森林木材存量.（1）写出的表达式.（2）为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材存量应不少于,如果，那么今后该地区会发生水土流失吗？若会，要经过几年？（取）.【答案】（1）依题意，第一年森林木材存量为，1年后该地区森林木材存量为：，2年后该地区森林木材存量为：，3年后该地区森林木材存量为：，4年后该地区森林木材存量为：， 年后该地区森林木材存量为：（2）若时，依题意该地区今后会发水土流失，则森林木材存量必须小于，即 ，解得，即，.故经过8年该地区就开始水土流失.