1、学海在线资源中心 直接证明与间接证明 编稿：赵雷 审稿：李霞【学习目标】1. 掌握用综合法证题的思路和特点。2. 掌握用分析法证题的思路和叙述方式3掌握间接证明中的常用方法反证法的思维过程和特点【要点梳理】要点一、综合法证题1定义：一般地，从命题的已知条件出发，利用公理、已知的定义及定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法.2综合法的的基本思路：执因索果综合法又叫“顺推证法”或“由因导果法”.它是由已知走向求证，即从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后导出待证结论或需求的问题综合法这种由因导果的证明方法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法3综
2、合法的思维框图：用表示已知条件，为定义、定理、公理等，表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：（已知） （逐步推导结论成立的必要条件） （结论）要点诠释（1）从“已知”看“可知”，逐步推出“未知”，由因导果，其逐步推理实际上是寻找它的必要条件； （2）用综合法证明不等式，证明步骤严谨，逐层递进，步步为营，条理清晰，形式简洁，宜于表达推理的思维轨迹； （3）因用综合法证明命题“若A则D”的思考过程可表示为： 故要从A推理到D，由A推演出的中间结论未必唯一，如B、B1、B2等，可由B、B1、B2进一步推演出的中间结论则可能更多，如C、C1、C2、C3、C4等等 所以如何找到“切入点”和有效的推
3、理途径是有效利用综合法证明问题的“瓶颈”4综合法证明不等式时常用的不等式（1）a2+b22ab（当且仅当a=b时取“=”号）；（2）（a，bR*，当且仅当a=b时取“=”号）；（3）a20，|a|0，(ab)20；（4）（a，b同号）；（a，b异号）；（5）a，bR，（6）不等式的性质定理1 对称性：abba。定理2 传递性：。定理3 加法性质：。推论 。定理4 乘法性质：。推论1 。推论2 。定理5 开方性质：。要点二、分析法证题1定义：一般地，从需要证明的命题出发，分析使这个命题成立的充分条件，逐步寻找使命题成立的充分条件，直至所寻求的充分条件显然成立（已知条件、定理、定义、公理等），或由
4、已知证明成立，从而确定所证的命题成立的一种证明方法，叫做分析法.2分析法的基本思路：执果索因分析法又叫“逆推证法”或“执果索因法”.它是从要证明的结论出发，分析使之成立的条件，即寻求使每一步成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.分析法这种执果索因的证明方法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法。3分析法的思维框图：用表示已知条件和已有的定义、公理、公式、定理等，所要证明的结论，则用分析法证明可用框图表示为：（结论） （逐步寻找使结论成立的充分条件） （已知）4分析法的格式：要证，只需证，只需证，因为成立，所以原不等式得证。要点诠
5、释： （1）分析法是综合法的逆过程，即从“未知”看“需知”，执果索因，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是寻找它的充分条件 （2）由于分析法是逆推证明，故在利用分析法证明时应注意逻辑性与规范性，即分析法有独特的表述5综合法与分析法的横向联系（1） 综合法是把整个不等式看做一个整体，通过对欲证不等式的分析、观察，选择恰当不等式作为证题的出发点，其难点在于到底从哪个不等式出发合适，这就要求我们不仅要熟悉、正确运用作为定理性质的不等式，还要注意这些不等式进行恰当变形后的利用分析法的优点是利于思考，因为它方向明确，思路自然，易于掌握，而综合法的优点是宜于表述，条理清晰，形式简洁我们在证明不等式时，常
6、用分析法寻找解题思路，即从结论出发，逐步缩小范围，进而确定我们所需要的“因”，再用综合法有条理地表述证题过程分析法一般用于综合法难以实施的时候（2） 有些不等式的证明，需要把综合法和分析法联合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P若由P可以推出Q成立，就可以证明结论成立，这种边分析边综合的证明方法，称之为分析综合法，或称“两头挤法”分析综合法充分表明分析与综合之间互为前提、互相渗透、互相转化的辩证统一关系，分析的终点是综合的起点，综合的终点又成为进一步分析的起点 命题“若P则Q”的推演过程可表示为： 要点三、反证法证题间接证明不是从
7、正面确定命题的真实性，而是证明它的反面为假，或改证它的等价命题为真，间接地达到目的，反证法是间接证明的一种基本方法1反证法定义：一般地，首先假设要证明的命题结论不正确，即结论的反面成立，然后利用公理，已知的定义、定理，命题的条件逐步分析，得到和命题的条件或公理、定理、定义及明显成立的事实等矛盾的结论，以此说明假设的结论不成立，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.2反证法的基本思路：假设矛盾肯定” 分清命题的条件和结论 做出与命题结论相矛盾的假设 由假设出发，结合已知条件，应用演绎推理方法，推出矛盾的结果 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假定不真，于是原结论成立，从而间接地证明
8、原命题为真3反证法的格式：用反证法证明命题“若p则q”时，它的全部过程和逻辑根据可以表示如下： 要点诠释：（1）反证法是间接证明的一种基本方法.它是先假设要证的命题不成立，即结论的反面成立，在已知条件和“假设”这个新条件下，通过逻辑推理，得出与定义、公理、定理、已知条件、临时假设等相矛盾的结论，从而判定结论的反面不能成立，即证明了命题的结论一定是正确的.(2) 反证法的优点：对原结论否定的假定的提出，相当于增加了一个已知条件.4反证法的一般步骤： （1）反设：假设所要证明的结论不成立，假设结论的反面成立； （2）归谬：由“反设”出发，通过正确的推理，导出矛盾与已知条件、已知的公理、定义、定理、
9、反设及明显的事实矛盾或自相矛盾；（3）结论：因为推理正确，产生矛盾的原因在于“反设”的谬误，既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立 要点诠释：（1）结论的反面即结论的否定，要特别注意：“都是”的反面为“不都是”，即“至少有一个不是”，不是“都不是”；“都有”的反面为“不都有”，即“至少有一个没有”，不是“都没有”；“都不是”的反面是“部分是或全部是”，即“至少有一个是”，不是“都是”；“都没有”的反面为“部分有或全部有”，即“至少有一个有”，不是“都有”（2）归谬的主要类型： 与已知条件矛盾； 与假设矛盾（自相矛盾）；与定义、定理、公理、事实矛盾 5宜用反证法证明的题型： 要证的结论与条件之
10、间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；比如“存在性问题、唯一性问题”等； 如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形.比如带有“至少有一个”或“至多有一个”等字样的数学问题. 要点诠释： 反证法体现出正难则反的思维策略（补集的思想）和以退为进的思维策略，故在解决某些正面思考难度较大和探索型命题时，有独特的效果【典型例题】类型一、利用综合法证明有关命题例1已知，试用综合法证明： .【解析】 因为， 所以；又因为，；所以. 因此.【总结升华】 利用综合法时，从已知出发，进行运算和推理得到要证明的结论，并且在用均值定理证明不等式时，一要注
11、意均值定理运用的条件，二要运用定理对式子作适当的变形，把式分成若干部分，对每部分运用均值定理后，再把它们相加或相减。举一反三：【变式1】求证：【答案】待证不等式的左端是3个数和的形式，右端是一常数的形式，而左端3个分母的真数相同，由此可联想到公式，转化成能直接利用对数的运算性质进行化简的形式. ，左边，.【变式2】设、是互不相等的正数，且，试用综合法证明：【答案】因为，所以.例2. 已知数列满足, ，求证：是等比数列； 【思路点拨】根据等比数列的定义变形。【解析】由an1an6an1，an12an3(an2an1) (n2)a15，a25a22a115故数列an12an是以15为首项，3为公比
12、的等比数列 【总结升华】 本题从已知条件入手，分析数列间的相互关系，合理实现了数列间的转化，从而使问题获解，综合法是直接证明中最常用的证明方法。举一反三：【变式】已知数列an中，Sn是它的前n项和，并且Sn+1=4an+2（n=1，2，），a1=1。（1）设bn=an+12an（n=1，2，），求证：数列bn是等比数列。（2）设（n=1，2，），求证：数列cn是等差数列。【答案】（1）Sn+1=4an+2，Sn+2=4an+1+2，两式相减，得Sn+2Sn+1=4an+14an（n=1，2，3，）,即an+2=4an+14an，变形得an+22an+1=2(an+12an)。bn=an+12a
13、n（n=1，2，），bn+1=2bn（n=1，2，）。由此可知，数列bn是公比为2的等比数列。由S2=a1+a2=4a1+2，a1=1，得a2=5，b1=a22a1=3。故bn=32n1。（2）（n=1，2，）将bn=32n1代入，得（n=1，2，）。由此可知，数列cn是公差的等差数列，它的首项，故。例3如图，设在四面体中，是的中点.求证：垂直于所在的平面. 【思路点拨】要证垂直于所在的平面，只需在所在的平面内找到两条相交直线与垂直.【解析】连、因为是斜边上的中线，所以又因为,而是、的公共边，所以于是,而，因此，由此可知垂直于所在的平面.【总结升华】 利用综合法证明立体几何中线线、线面和面面关
14、系的关键在于熟练地运用判定定理和性质定理。这是一例典型的综合法证明.现将用综合法证题的过程展现给大家，供参考：（1）由已知是斜边上的中线，推出，记为（已知）；（2）由和已知条件，推出三个三角形全等，记为；（3）由三个三角形全等，推出，记为；（4）由推出，记为（结论）.这个证明步骤用符号表示就是（已知）（结论）.举一反三：【变式】如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EFPB交PB于点F。求证：（1）PA平面EDB；（2）PB平面EFD。【答案】（1）连结AC交BD于O，连结EO。底面ABCD是正方形，点O是AC的中点，在PAC
15、中，EO是中位线，PAEO。而EO平面EDB且PA平面EDB，PA平面EDB。（2）PD底面ABCD且DC底面ABCD，PDDC。由PD=DC，可知PDC是等腰直角三角形，而DE是斜边PC上的中线，DEPC。同样由PD底面ABCD，得PDBC。底面ABCD是正方形，DCBC，BC平面PDC。而DE平面PDC，BCDE。由和推得DE平面PBC。而PB平面PBC，DEPB。又EFPB且DEEF=E，PB平面EFD。类型二、 利用分析法证明有关命题 例4求证： 【解析】 错证： 由不等式 ， 平方得 ， 即 ， 则1820， 因为1820，所以 错因： 由于上述分析法的流程结构是 ，因而上述书写格式
16、导致了逻辑错误正确的证法如下： 证明： 欲证不等式， 只需证成立， 即证 ， 即证1820成立 由于1820是成立的， 因此 证毕【总结升华】1.在证明过程中，若使用综合法出现困难时，应及时调整思路，分析一下要证明结论成立需要怎样的充分条件是明智之举.从结论出发，结合已知条件，逐步反推，寻找使当前命题成立的充分条件的方法.2. 用分析法证明问题时，一定要恰当地用好“要证”“只需证”“即证”“也即证”等词语 举一反三：【变式1】 已知、是正数，用分析法证明: .【答案】要证 成立，只需证成立，即证.即证，也就是要证,即.该式显然成立，所以.【变式2】用分析法证明：若a0，则。【答案】要证，只需证
17、。a0，两边均大于零，因此只需证只需证，只需证，只需证，即证，它显然成立。原不等式成立。【高清课堂：直接证明与间接证明401471 例题2】【变式3】已知，求证：【答案】要证只需证，只需证，即欲证，只需证，即显然成立。欲证，只需证，即显然成立。成立，且以上各步都可逆，故原不等式成立。例5.求证：【思路点拨】由于本题所给的条件较少，且不等式中项都是根式的形式，因而用综合法证明比较困难.这时，可从结论出发，逐步反推，寻找使命题成立的充分条件；此外，若注意到，也可用综合法证明. 【解析】法一：分析法要证成立，只需证明，两边平方得，所以只需证明，两边平方得，即，恒成立，原不等式得证.法二：综合法，.
18、即原不等式成立.【总结升华】1.在证明过程中，若使用综合法出现困难时，应及时调整思路，分析一下要证明结论成立需要怎样的充分条件是明智之举.从结论出发，结合已知条件，逐步反推，寻找使当前命题成立的充分条件的方法.2综合法写出的证明过程条理清晰，易于理解；但综合法的证题思路并不容易想到，因此，在一般的证题过程中，往往是先用分析法寻找解题思路，再用综合法书写证明过程.举一反三：【变式】设a、b是两个正实数，且ab，求证：证明一：(分析法)要证+成立，只需证(a+b)( -ab+)ab(a+b)成立，即需证-ab+ab成立。(a+b0)只需证-2ab+0成立，即需证0成立。而由已知条件可知，ab，有a
19、-b0，所以0显然成立，由此命题得证。证明二：(综合法)ab，a-b0，0，即-2ab+0亦即-ab+ab由题设条件知，a+b0，(a+b)( -ab+)(a+b)ab即+，由此命题得证。类型三、反证法证明相关问题例6. 已知、是整数，且求证：、不可能都是奇数.【思路点拨】证明含有“不”“没有”“无”等否定性词语的命题，应考虑反证法。【解析】 设、都是奇数，则、都是奇数，所以为偶数， 所以 ， 这与已知矛盾， 所以、不可能都是奇数.【总结升华】 结论中含有“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题，此类问题的反面比较具体，适宜应用反证法 举一反三：【变式1】设an是公比为q的等比数列，Sn为它的
20、前n项和（1）求证：数列Sn不是等比数列（2）数列Sn是等差数列吗？为什么？【答案】假设Sn是等比数列，则，即a10，(1+q)2=1+q+q2即q=0，与等比数列中公比q0矛盾故Sn不是等比数列【高清课堂：直接证明与间接证明401471 例题5】【变式2】证明：是无理数.【答案】假设不是无理数.即是有理数，那么必存在整数，使得，其中为既约分数，则，所以，于是能整除，从而为偶数，设，所以，即，所以2能整除，于是m,n均为偶数，这与为既约分数矛盾，所以假设不成立。从而原命题成立，即是无理数.例7. 如图所示，已知a，b，c是同一平面内的三条直线，ac，b与c不垂直，求证：a与b必相交【解析】证法
21、一：假设a与b不相交，则ab，所以1=2由于b与c不垂直，则290，即190，所以a与c不垂直，这与已知条件矛盾，所以a与b必相交证法二：假设a与b不相交，则a6，所以1=2因为ac，所以1=90，即2=90，所以bc，这与已知b与c不垂直矛盾，所以a与b必相交证法三：假设a与b不相交，则ab，所以1=2又b与c不垂直，则290，即190又因为ac，所以1=90，得出190与1=90自相矛盾，所以a与b必相交【总结升华】题设简单明了，从正面入手较难，而反面易于导出矛盾的命题，常用反证法用直接法难以下手，但其结论的反面非常明显，因此用反证法证明比较方便 举一反三：【变式】求证：两条相交直线有且只
22、有一个交点【答案】证明：假设结论不成立，即有两种可能：（1）若直线a、b无交点，那么ab，与已知矛盾；（2）若直线a、b不止有一个交点，则至少有两个交点A和B，这样同时经过点A、B就有两条直线，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾综上所述，两条相交直线有且只有一个交点例8.若都是正实数，求证: 、中至少有一个成立.【思路点拨】“至多”或“至少”语句的证明宜用反证法。【解析】假设和都不成立，则有和同时成立.因为且，所以且.两式相加得 ，所以， 这与已知条件矛盾，所以、中至少有一个成立.【总结升华】从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形的问题多用反证法.比如带有“至少有一个”等字样的数学问题.举一反三：【变式】已知，求证：中至少有一个大于.【答案】假设都小于或等于， 因为 ，所以三者同为正或一正两负， 又因为，所以三者中有两负一正， 不妨设，则 由均值不等式得，即， 解得，与假设矛盾，所以 中至少有一个大于.