1、1989年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题满分15分,每小题3分.把答案填在题中横线上.)(1) 曲线在点处的切线方程是_ _ .(2) 幂级数的收敛域是_ _ .(3) 齐次线性方程组 只有零解,则应满足的条件是_ _ .(4) 设随机变量的分布函数为 则=_, .(5) 设随机变量的数学期望,方差,则由切比雪夫(Chebyshev)不等式,有_ _ .二、选择题(本题满分15分,每小题3分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 设则当时 ( )(A) 与是等价无穷小量 (B) 与是同阶但非等价无穷小量(C) 是比较高阶
2、的无穷小量 (D) 是比较低阶的无穷小量(2) 在下列等式中,正确的结果是 ( )(A) (B) (C) (D) (3) 设为阶方阵且,则 ( )(A) 中必有两行(列)的元素对应成比例(B) 中任意一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合(C) 中必有一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合 (D) 中至少有一行(列)的元素全为0(4) 设和均为矩阵,则必有 ( )(A) (B)(C) (D) (5) 以表示事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”,则其对立事件为 ( )(A) “甲种产品滞销,乙种产品畅销” (B) “甲、乙两种产品均畅销”(C) “甲种产品滞销” (D) “甲种产品滞销
3、或乙种产品畅销” 三、计算题(本题满分15分,每小题5分)(1) 求极限(2) 已知且的二阶偏导数都连续.求.(3) 求微分方程的通解.四、(本题满分9分)设某厂家打算生产一批商品投放市场.已知该商品的需求函数为,且最大需求量为6,其中表示需求量,表示价格.(1) 求该商品的收益函数和边际收益函数.(2分)(2) 求使收益最大时的产量、最大收益和相应的价格.(4分)(3) 画出收益函数的图形.(3分)五、(本题满分9分)已知函数试计算下列各题：(1) (4分) (2) (2分)(3) (1分) (4) .(2分)六、(本题满分6分)假设函数在上连续,在内可导,且,记证明在内,.七、(本题满分5
4、分)已知其中求矩阵.八、(本题满分6分)设.(1) 问当为何值时,向量组线性无关?(3分)(2) 问当为何值时,向量组线性相关?(1分)(3) 当向量组线性相关时,将表示为和的线性组合.(2分)九、(本题满分5分)设(1)试求矩阵的特征值；(2分)(2)利用(1)小题的结果,求矩阵的特征值,其中是三阶单位矩阵.(3分)十 、(本题满分7分)已知随机变量和的联合密度为试求：(1) ；(5分) (2) .(2分)十一、(本题满分8分)设随机变量在2,5上服从均匀分布,现在对进行三次独立观测,试求至少有两次观测值大于3的概率.1990年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题满分15分,
5、每小题3分.把答案填在题中横线上.)(1) 极限_.(2) 设函数有连续的导函数,若函数在处连续,则常数=_.(3) 曲线与直线所围成的平面图形的面积为_.(4) 若线性方程组有解,则常数应满足条件_.(5) 一射手对同一目标独立地进行四次射击,若至少命中一次的概率为,则该射手的命中率为_. 二、选择题(本题满分15分,每小题3分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 设函数,则是 ( )(A) 偶函数 (B) 无界函数 (C) 周期函数 (D) 单调函数(2) 设函数对任意均满足等式,且有其中为非零常数,则 ( ) (A) 在处不可导 (B
6、) 在处可导,且(C) 在处可导,且 (D) 在处可导,且(3) 向量组线性无关的充分条件是 ( )(A) 均不为零向量(B) 中任意两个向量的分量不成比例(C) 中任意一个向量均不能由其余个向量线性表示(D) 中有一部分向量线性无关(4) 设为两随机事件,且,则下列式子正确的是 ( )(A) (B) (C) (D) (5) 设随机变量和相互独立,其概率分布为-1 1 -1 1 则下列式子正确的是 ( )(A) (B) (C) (D) 三、计算题(本题满分20分,每小题5分.)(1) 求函数在区间上的最大值.(2) 计算二重积分,其中是曲线和在第一象限所围成的区域.(3) 求级数的收敛域.(4
7、) 求微分方程的通解.四、(本题满分9分)某公司可通过电台及报纸两种形式做销售某种商品的广告,根据统计资料,销售收入(万元)与电台广告费用(万元)及报纸广告费用(万元)之间的关系有如下经验公式:(1) 在广告费用不限的情况下,求最优广告策略；(2) 若提供的广告费用为1.5万元,求相应的最优广告策略.五、(本题满分6分)设在闭区间上连续,其导数在开区间内存在且单调减少；,试应用拉格朗日中值定理证明不等式:,其中常数满足条件.六、(本题满分8分)已知线性方程组(1) 为何值时,方程组有解?(2) 方程组有解时,求出方程组的导出组的一个基础解系；(3) 方程组有解时,求出方程组的全部解.七、(本题
8、满分5分)已知对于阶方阵,存在自然数,使得,试证明矩阵可逆,并写出其逆矩阵的表达式(为阶单位阵).八、(本题满分6分)设是阶矩阵,和是的两个不同的特征值,是分别属于和的特征向量.试证明不是的特征向量.九、(本题满分4分)从十个数字中任意选出三个不同数字,试求下列事件的概率：三个数字中不含0和5；三个数字中不含0或5.十、(本题满分5分)一电子仪器由两个部件构成,以和分别表示两个部件的寿命(单位:千小时),已知和的联合分布函数为:(1) 问和是否独立?(2) 求两个部件的寿命都超过100小时的概率.十一、(本题满分7分)某地抽样调查结果表明,考生的外语成绩(百分制)近似服从正态分布,平均成绩为7
9、2分,96分以上的占考生总数的2.3%,试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率.附表0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 0.500 0.692 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 表中是标准正态分布函数.1991年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题满分15分,每小题3分.把答案填在题中横线上.)(1) 设则 _.(2) 设曲线与都通过点且在点有公共切线,则 _, _, _.(3) 设,则在点 _处取极小值 _.(4) 设和为可逆矩阵,为分块矩阵,则 _.(5) 设随机变量的分布函数为则的概率分布为 _.二、选择题(本题满分15分,
10、每小题3分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 下列各式中正确的是 ( )(A) (B) (C) (D) (2) 设则下列级数中肯定收敛的是 ( )(A) (B) (C) (D) (3) 设为阶可逆矩阵,是的一个特征根,则的伴随矩阵的特征根之一是( )(A) (B) (C) (D) (4) 设和是任意两个概率不为零的不相容事件,则下列结论中肯定正确的是 ( )(A) 与不相容 (B) 与相容 (C) (D) (5) 对于任意两个随机变量和,若,则 ( )(A) (B) (C) 和独立 (D) 和不独立三、(本题满分5分)求极限 ,其中是给定
11、的自然数.四、(本题满分5分)计算二重积分,其中是由轴,轴与曲线所围成的区域,.五、(本题满分5分)求微分方程满足条件的特解.六、(本题满分6分)假设曲线：、轴和轴所围区域被曲线：分为面积相等的两部分,其中是大于零的常数,试确定的值.七、(本题满分8分)某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售,售价分别为和；销售量分别为和；需求函数分别为和,总成本函数为试问：厂家如何确定两个市场的售价,能使其获得的总利润最大？最大利润为多少？八、(本题满分6分)试证明函数在区间内单调增加.九、(本题满分7分)设有三维列向量问取何值时,(1) 可由线性表示,且表达式唯一?(2) 可由线性表示,且表达式不唯一?(3
12、) 不能由线性表示?十、(本题满分6分)考虑二次型.问取何值时,为正定二次型.十一、(本题满分6分)试证明维列向量组线性无关的充分必要条件是,其中表示列向量的转置,.十二、(本题满分5分)一汽车沿一街道行驶,需要通过三个均设有红绿信号灯的路口,每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立,且红绿两种信号显示的时间相等,以表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数.求的概率分布.十三、(本题满分6分)假设随机变量和在圆域上服从联合均匀分布.(1) 求和的相关系数;(2) 问和是否独立?十四、(本题满分5分)设总体的概率密度为其中是未知参数,是已知常数.试根据来自总体的简单随机样本,求的最大似然
13、估计量.1992年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.)(1) 设商品的需求函数为,其中分别表示为需求量和价格,如果商品需求弹性的绝对值大于1,则商品价格的取值范围是_.(2) 级数的收敛域为_.(3) 交换积分次序_.(4) 设为阶方阵,为阶方阵,且,则_.(5) 将等七个字母随机地排成一行,那么,恰好排成英文单词SCIENCE的概率为_.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 设,其中为连续函数,则等于 ( )(A
14、) (B) (C) 0 (D) 不存在(2) 当时,下面四个无穷小量中,哪一个是比其他三个更高阶的无穷小量? ( )(A) (B) (C) (D) (3) 设为矩阵,齐次线性方程组仅有零解的充分条件是 ( )(A) 的列向量线性无关 (B) 的列向量线性相关(C) 的行向量线性无关 (D) 的行向量线性相关(4) 设当事件与同时发生时,事件必发生,则 ( )(A) (B) (C) (D) (5) 设个随机变量独立同分布,则 ( )(A) 是的无偏估计量 (B) 是的最大似然估计量(C) 是的相合估计量(即一致估计量) (D) 与相互独立三、(本题满分5分)设函数问函数在处是否连续?若不连续,修
15、改函数在处的定义使之连续.四、(本题满分5分)计算五、(本题满分5分)设,求,其中有二阶偏导数.六、(本题满分5分)求连续函数,使它满足.七、(本题满分6分)求证:当时,.八、(本题满分9分)设曲线方程.(1) 把曲线,轴,轴和直线所围成平面图形绕轴旋转一周,得一旋转体,求此旋转体体积;求满足的.(2) 在此曲线上找一点,使过该点的切线与两个坐标轴所夹平面图形的面积最大,并求出该面积.九、(本题满分7分)设矩阵与相似,其中.(1) 求和的值.(2) 求可逆矩阵,使得.十、(本题满分6分)已知三阶矩阵,且的每一个列向量都是以下方程组的解:(1) 求的值; (2) 证明.十一、(本题满分6分)设分
16、别为阶正定矩阵,试判定分块矩阵是否是正定矩阵.十二、(本题满分7分)假设测量的随机误差,试求100次独立重复测量中,至少有三次测量误差的绝对值大于19.6的概率,并利用泊松分布求出的近似值(要求小数点后取两位有效数字).附表1 2 3 4 5 6 7 0.368 0.135 0.050 0.018 0.007 0.002 0.001 十三、(本题满分5分)一台设备由三大部分构成,在设备运转中各部件需要调整的概率相应为0.10,0.20和0.30.假设各部件的状态相互独立,以表示同时需要调整的部件数,试求的数学期望和方差.十四、(本题满分4分)设二维随机变量的概率密度为(1) 求随机变量的密度;
17、 (2) 求概率.1993年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.)(1) .(2) 已知则 .(3) 级数的和为 .(4) 设阶方阵的秩为,则其伴随矩阵的秩为 .(5) 设总体的方差为1,根据来自的容量为100的简单随机样本,测得样本均值为5,则的数学期望的置信度近似等于0.95的置信区间为 .二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 设则在点处 ( )(A) 极限不存在 (B) 极限存在但不连续 (C) 连续但不可导
18、(D) 可导(2) 设为连续函数,且则等于 ( )(A) (B) (C) (D) (3) 阶方阵具有个不同的特征值是与对角阵相似的 ( )(A) 充分必要条件 (B) 充分而非必要条件 (C) 必要而非充分条件 (D) 既非充分也非必要条件(4) 假设事件和满足,则 ( )(A) 是必然事件 (B) . (C) (D) (5) 设随机变量的密度函数为,且.是的分布函数,则对任意实数,有 ( )(A) . (B) (C) (D) 三、(本题满分5分)设是由方程所确定的二元函数,求.四、(本题满分7分)已知,求常数的值.五、(本题满分9分) 设某产品的成本函数为需求函数为其中为成本,为需求量(即产
19、量),为单价,都是正的常数,且,求:(1) 利润最大时的产量及最大利润;(2) 需求对价格的弹性;(3) 需求对价格弹性的绝对值为1时的产量.六、(本题满分8分)假设:(1) 函数满足条件和;(2) 平行于轴的动直线与曲线和分别相交于点和;(3) 曲线,直线与轴所围封闭图形的面积恒等于线段的长度.求函数的表达式.七、(本题满分6分)假设函数在上连续,在内二阶可导,过点与的直线与曲线相交于点,其中.证明:在内至少存在一点,使.八、(本题满分10分)为何值时,线性方程组有惟一解,无解,有无穷多组解?在有解情况下,求出其全部解.九、(本题满分9分)设二次型经正交变换化成,其中和是三维列向量, 是3阶
20、正交矩阵.试求常数.十、(本题满分8分)设随机变量和同分布, 的概率密度为(1) 已知事件和独立,且求常数(2) 求的数学期望.十一、(本题满分8分)假设一大型设备在任何长为的时间内发生故障的次数服从参数为的泊松分布.(1) 求相继两次故障之间时间间隔的概率分布；(2) 求在设备已经无故障工作8小时的情形下,再无故障运行8小时的概率.1994年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1) _.(2) 已知,则_.(3) 设方程确定为的函数,则_.(4) 设其中则_.(5) 设随机变量的概率密度为以表示对的三次独立重复观察中
21、事件出现的次数,则_.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 曲线的渐近线有 ( )(A) 1条 (B) 2条 (C) 3条 (D) 4条(2) 设常数,而级数收敛,则级数 ( ) (A) 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 收敛性与有关(3) 设是矩阵,是阶可逆矩阵,矩阵的秩为,矩阵的秩为,则( )(A) (B) (C) (D) 与的关系由而定(4) 设,则 ( ) (A) 事件和互不相容 (B) 事件和相互对立(C) 事件和互不独立 (D) 事件和相互独立(5) 设是来自正态总
22、体的简单随机样本,是样本均值,记则服从自由度为的分布的随机变量是 ( ) (A) (B) (C) (D) 三、(本题满分6分)计算二重积分其中.四、(本题满分5分)设函数满足条件求广义积分.五、(本题满分5分)已知,求.六、(本题满分5分)设函数可导,且,求.七、(本题满分8分)已知曲线与曲线在点处有公共切线,求:(1) 常数及切点；(2) 两曲线与轴围成的平面图形绕轴旋转所得旋转体的体积.八、(本题满分6分)假设在上连续,在内存在且大于零,记,证明在内单调增加.九、(本题满分11分)设线性方程组(1) 证明:若两两不相等,则此线性方程组无解；(2) 设,且已知是该方程组的两个解,其中写出此方
23、程组的通解.十、(本题满分8分)设有三个线性无关的特征向量,求和应满足的条件.十一、(本题满分8分)假设随机变量相互独立,且同分布,求行列式的概率分布.十二、(本题满分8分)假设由自动线加工的某种零件的内径(毫米)服从正态分布,内径小于10或大于12的为不合格品,其余为合格品,销售每件合格品获利,销售每件不合格品亏损.已知销售利润(单位:元)与销售零件的内径有如下关系: 问平均内径取何值时,销售一个零件的平均利润最大?1995年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1) 设,则 .(2) 设,可导,则 .(3) 设,则
24、.(4) 设,是的伴随矩阵,则 .(5) 设是来自正态总体的简单随机样本,其中参数和未知,记则假设的检验使用统计量_.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 设为可导函数,且满足条件,则曲线在点处的切线斜率为 ( )(A) (B) (C) (D) (2) 下列广义积分发散的是 ( )(A) (B) (C) (D) (3) 设矩阵的秩为,为阶单位矩阵,下述结论中正确的是 ( )(A) 的任意个行向量必线性无关(B) 的任意一个阶子式不等于零(C) 若矩阵满足,则(D) 通过初等行变换,必可以化为的
25、形式(4) 设随机变量和独立同分布,记,则随机变量与必然( )(A) 不独立 (B) 独立 (C) 相关系数不为零 (D) 相关系数为零(5) 设随即变量服从正态分布,则随的增大,概率 ( )(A) 单调增大 (B) 单调减少 (C) 保持不变 (D) 增减不定三、(本题满分6分)设,试讨论在处的连续性和可导性. 四、(本题满分6分)已知连续函数满足条件,求.五、(本题满分6分)将函数展成的幂级数,并指出其收敛区间.六、(本题满分5分)计算.七、(本题满分6分)设某产品的需求函数为,收益函数为,其中为产品价格,为需求量(产品的产量),为单调减函数.如果当价格为,对应产量为时,边际收益,收益对价
26、格的边际效应,需求对价格的弹性.求和.八、(本题满分6分)设、在区间()上连续,为偶函数,且满足条件(为常数).(1) 证明；(2) 利用(1)的结论计算定积分.九、(本题满分9分)已知向量组()；()；(),如果各向量组的秩分别为,.证明:向量组的秩为4.十、(本题满分10分)已知二次型.(1) 写出二次型的矩阵表达式；(2) 用正交变换把二次型化为标准形,并写出相应的正交矩阵.十一、(本题满分8分)假设一厂家生产的每台仪器,以概率0.70可以直接出厂；以概率0.30需进一步调试,经调试后以概率0.80可以出厂；以概率0.20定为不合格品不能出厂.现该厂新生产了台仪器(假设各台仪器的生产过程
27、相互独立).求： (1) 全部能出厂的概率；(2) 其中恰好有两台不能出厂的概率； (3) 其中至少有两台不能出厂的概率.十二、(本题满分8分)已知随机变量和的联合概率密度为求和联合分布函数.1996年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1) 设方程确定是的函数,则_. (2) 设,则_.(3) 设是抛物线上的一点,若在该点的切线过原点,则系数应满足的关系是_. (4) 设,其中.则线性方程组的解是_.(5) 设由来自正态总体容量为9的简单随机样本,得样本均值,则未知参数的置信度为0.95的置信区间为_.二、选择题(本
28、题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 累次积分可以写成 ( )(A) (B) (C) (D) (2) 下述各选项正确的是 ( )(A) 若和都收敛,则收敛(B) 收敛,则与都收敛(C) 若正项级数发散,则(D) 若级数收敛,且,则级数也收敛(3) 设阶矩阵非奇异(),是矩阵的伴随矩阵,则 ( )(A) (B) (C) (D) (4) 设有任意两个维向量组和,若存在两组不全为零的数 和,使,则( )(A) 和都线性相关(B) 和都线性无关(C) 线性无关(D) 线性相关(5) 已知且,则下列选项成立的是( )
29、(A) (B) (C) (D) 三、(本题满分6分)设其中有二阶连续导数,且.(1)求；(2)讨论在上的连续性.四、(本题满分6分)设函数,方程确定是的函数,其中可微；,连续,且.求.五、(本题满分6分)计算.六、(本题满分5分)设在区间上可微,且满足条件.试证:存在使七、(本题满分6分)设某种商品的单价为时,售出的商品数量可以表示成,其中均为正数,且.(1) 求在何范围变化时,使相应销售额增加或减少.(2) 要使销售额最大,商品单价应取何值?最大销售额是多少?八、(本题满分6分)求微分方程的通解.九、(本题满分8分)设矩阵.(1) 已知的一个特征值为3,试求；(2) 求矩阵,使为对角矩阵.十
30、、(本题满分8分)设向量是齐次线性方程组的一个基础解系,向量不是方程组的解,即.试证明:向量组线性无关.十一、(本题满分7分)假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2,机器发生故障时全天停止工作,若一周5个工作日里无故障,可获利润10万元；发生一次故障仍可获得利润5万元；发生两次故障所获利润0元；发生三次或三次以上故障就要亏损2万元.求一周内期望利润是多少?十二、(本题满分6分)考虑一元二次方程,其中分别是将一枚色子(骰子)接连掷两次先后出现的点数.求该方程有实根的概率和有重根的概率.十三、(本题满分6分)假设是来自总体X的简单随机样本；已知.证明：当充分大时,随机变量近似服从正态分布,并指
31、出其分布参数.1997年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共5分,每小题3分,满分15分.把答案在题中横线上.)(1) 设,其中可微,则_.(2) 若,则_.(3) 差分方程的通解为_.(4) 若二次型是正定的,则的取值范围是_.(5) 设随机变量和相互独立且都服从正态分布,而和分别是来自总体的简单随机样本,则统计量服从_分布(2分),参数为_.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1) 设,则当时,是的 ( )(A) 低阶无穷小 (B) 高阶无穷小(C) 等价无穷小 (D) 同阶但
32、不等价的无穷小(2) 若,在内,且,则在内有 ( )(A) , (B) ,(C) , (D) ,(3) 设向量组,线性无关,则下列向量组中,线性无关的是 ( )(A) , (B) ,(C) ,(D) ,(4) 设为同阶可逆矩阵,则 ( )(A) (B) 存在可逆矩阵,使(C) 存在可逆矩阵,使 (D) 存在可逆矩阵和,使(5) 设两个随机变量与相互独立且同分布：,则下列各式中成立的是 ( )(A) (B) (C) (D) 三、(本题满分6分)在经济学中,称函数为固定替代弹性生产函数,而称函数为Cobb-Douglas生产函数(简称CD生产函数).试证明：但时,固定替代弹性生产函数变为CD生产函
33、数,即有. 四、(本题满分5分)设有连续偏导数,和分别由方程和所确定,求.五、(本题满分6分)一商家销售某种商品的价格满足关系(万元/吨),为销售量(单位：吨),商品的成本函数(万元).(1) 若每销售一吨商品,政府要征税(万元),求该商家获最大利润时的销售量；(2) 为何值时,政府税收总额最大.六、(本题满分6分)设函数在上连续、单调不减且,试证函数在上连续且单调不减(其中).七、(本题满分6分)从点作轴的垂线,交抛物线于点；再从作这条抛物线的切线与轴交于,然后又从作轴的垂线,交抛物线于点,依次重复上述过程得到一系列的点.(1) 求；(2) 求级数的和.其中为自然数,而表示点与之间的距离.八、(本题满分6分)设函数在上连续,且满足方程,求.九、(本题满分6分)设为阶非奇异矩阵,为维列向量,为常数.记分块矩阵，其中是矩阵的伴随矩阵,为阶单位矩阵.(1) 计算并化简