1、数的开方,数的开方,练习：,填空：1、()2=9；2、()2=0.25；3、()；4、()2=4；5、()2=0.0081,最容易出现的错误是丢掉负数解,平方根(square root),如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根.,用数学语言表达即为：若x2=a，则x叫做a的平方根,二、平方根的性质：,1、一个正数有两个平方根，它们互为相反数2、0有一个平方根，它是0本身3、负数没有平方根,三、开平方：,求一个数a的平方根的运算，叫做开平方的运算+3与-3的平方是9，9的平方根是+3和-3，可见平方运算与开平方运算互为逆运算根据这种关系，我们可以通过平方运算来求一个数的平方根,平方根
2、的表示方法:,表示正数a的正的平方根,表示正数a的负的平方根,读作“二次根号”；,读作“二次根号a”；,例1.填空题(1)a是一个正数，表示a的_，-表示a的_，表示a的_,(2)若7是x的一个平方根，则x的另一个平方根是_x=_.,五、算术平方根定义：,正数a有两个平方根，其中正数a的正的平方根，也叫做a的算术平方根，记作：说明：1、因为正数均有一正一负两个平方根，所以正数均有算术平方根 2、0的平方根也叫做0的算术平方根。,做一做：,例2、说出下列式子的含义：,立方根,概念:如果一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根(也称数a的三次方根).即若x3=a，则x叫做a的立方根，或称x叫做a
3、的三次方根,2.表示方法：,读作“三次根号”；,读作“三次根号a”；,开立方概念：求一个数的立方根的运算，叫做开立方.,开立方运算 立方运算,立方根的性质：(1)正数有一个正的立方根；(2)负数有一个负的立方根；(3)0的立方根是0,例3、填空练习：(1)1的平方根是_；立方根为_；算术平方根为_,(2)平方根是它本身的数是_,(3)立方根是其本身的数是_,(4)算术平方根是其本身的数是_,(5)的立方根为.,(6)的平方根为.,(7)的立方根为.,(8)一个自然数的算术平方根是a，那么与这个自然数相邻的下一个自然数的平方根是_；立方根是_,例4、(1)的平方根是。(2)一个自然数的一个平方根
4、是m，那么紧跟它后面的一个自然数的平方根是（）(A)(B)(C)(D),3,D,例5、填空：(1)0.000036的平方根是_，算术平方根是_(2)(-41)2的平方根是_(3)当a为_时，4a2的算术平方根是2a.（4）的平方根是_，算术平方根是_.,练习、判断题：,112是144的平方根()2-12是144的平方根()3144的平方根是-12()4-1的平方根是-1()5-1是1的平方根()6(-1)2的平方根是-1(),(是12),(-1无平方根),(是1),例6、1996年某市全年完成国内生产总值264亿元，比1995年增长23%，问：（1）1995年该市全年完成国内生产总值是多少亿元
5、（精确到1亿元）？（2）预计该市1998年国内生产总值可达到386.5224亿元，那么1996年到1998年平均年增长率是多少？（黄冈市中考试题）,解：（1）设1995年某市全年完成国内生产总值 亿元，根据题意有：,（2）设1996年到1998年平均年增长率为，根据题意有：,用计算器求得：,或,（不合题意，舍去）,答：（1）1995年生产总值为215亿元；（2）1996年到1998年平均年增长率是21%,想一想：,什么叫有理数？有理数如何分类？,观察下列数特点：,无理数的由来,公元前500年，古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras)学派的弟子希勃索斯(Hippasus)发现了一个惊人的事实，一
6、个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的(若正方形边长是1，则对角线的长不是一个有理数)这一不可公度性与毕氏学派“万物皆为数”(指有理数)的哲理大相径庭。这一发现使该学派领导人惶恐、恼怒，认为这将动摇他们在学术界的统治地位。希勃索斯因此被囚禁，受到百般折磨，最后竞遭到沉舟身亡的惩处。,不可通约的本质是什么？长期以来众说纷坛，得不到正确的解释，两个不可通约的比值也一直被认为是不可理喻的数。15世纪意大利著名画家达.芬奇称之为“无理的数”，17世纪德国天文学家开普勒称之为“不可名状”的数。然而，真理毕竟是淹没不了的，毕氏学派抹杀真理才是“无理”。人们为了纪念希勃索斯这位为真理而献身的可敬学者，就
7、把不可通约的量取名为“无理数”这便是“无理数”的由来,无理数定义：,无限不循环小数叫做无理数,判断以下说法是否正确？(1)无限小数都是无理数；,(2)无理数都是无限小数；,(3)带根号的数都是无理数。,数的发展历史,数系的扩张过程以自然数为基础，德国数学家克罗内克（Kronecker，1823-1891）说“上帝创造了整数，其它一切都是人造的”。零与自然数的产生源于人类在生存活动中的原始冲动。,类似于 2+3=5 的事实产生了加法的概念，然而2加上几会等于1呢？由此需要定义负数：一个数的“负数”即它与该数之和等于0；进而定义减法。产生零、负自然数，合称整数；,加法的重复进行产生了乘法，23=6
8、 就是三个2相加。然而2乘以几会等于1呢？由此需要定义倒数：一个数的“倒数”即它与该数之积等于1，进而定义除法，产生既约分数，合称有理数。,无理数是一个能恰好地描述数学特征的案例,从数学发展史看，人类对无理数的发蒙始于古希腊毕达哥拉斯（Pythagoras，公元前582-497）学派，但二千四百年后才产生包括无理数在内的实数严格定义。,乘法的重复进行产生了乘方，23 就是三个2相乘，然而哪个数的平方会等于2呢？毕达哥拉斯学派提出了这个问题，边长为1的正方形的对角线的长度不是既约分数，后来用2表示对角线的长度，无理数的概念初步形成。,由于有理数可表示成有限小数或无限循环小数，人们想到用“无限不循
9、环小数”来定义无理数，这也是直至19世纪中叶以前的实际做法。它看起来很通俗，不明白无理数奥妙的人大体也是这样理解无理数的。,但这样做遇到的困难更大：关键的问题是你无法判断一个数是无限不循环的，也不能将两个无限不循环的数进行加减乘除。,启示：,每个有理数作为有长度的线段，对应着数轴上的坐标。边长为1的正方形的对角线线段也应对应数轴上的一个点，这意味着如果只有有理数，数轴上存有“空隙”尽管有理数非常稠密。应当填补这些“空隙”使数轴成为完美的，欧几里德几何原本中曾记载过这一思想的雏形。,戴德金,历史上的两种无理数定义,戴德金的说法，一个实数是有理数的一个集合,康托的说法，一个实数是有理数的一个（柯西
10、）序列,1874年康托还证明了无理数比有理数多得多，这也意味着，无形的、不是根式的无理数竟比直观的、根式的无理数多得多！数轴上代表有理数的点虽然是稠密的任何两个有理数点之间恒有无数多有理数点，但是除有理数点外的“空隙”更多。“空隙”一旦填满，稠密概念发展成了连续的概念，数轴上点与实数完全对应，无理数问题画上了永远的句号。,数学家所知道的无理数确实少的可怜：,知道得最多的只是各式各样的根式，这是古希腊人即已知道的；其次是与e两个非代数数。那些比代数数多得多的无理数在哪儿？1900年数学家希尔伯特（Hilbert，1862-1943）提出著名的23个数学问题即包括了这一内容。然而，若稍微追问一句“
11、(+e)是无理数还是有理数”？则至今都没有严密的答案。,总之：,数学家心安理得的是建立了无懈可击的实数体系，在坚实的基础上，任何闲言碎语都是不足道的。无理数所体现的完美无缺、一丝不苟的纯粹理性与无孔不入、尽人皆知的世俗应用，可谓占尽天上人间风光，正是数学的魅力之所在。,实数的定义：,有理数和无理数统称为实数,三、实数的分类：,（1）按定义分类：,（2）按大小分类：,例7、把下列各数写入相应的集合中：,四、实数轴,我们知道数轴上的点表示的并不都是有理数，也有无理数如果我们把所有的有理数连起来，组成的是一条断断续续的数轴，这其中的空缺就是我们刚刚学习的无理数，可见由有理数和无理数把整个数轴填充完整
12、了，所以我们把这个数轴又称为实数轴 实数与数轴上的点是一一对应的这其中包含着两层含义：第一，每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；第二，数轴上的每一个点都可以用一个实数来表示,我们把实数表示在数轴上，最直观地表明了实数的大小，以原点为分界线，在原点的右侧，表示正数，在原点的左侧为负数，我们知道数轴上的实数从左到右是由小变大，并且数轴上的右侧的数总是比它左侧的数大，这就引出了实数比较大小的问题显然同有理数之间的比较大小是类似的,例8、比较大小：,说明：,实数的比较，需要遵循的原则是必须化成同类数才可作比较，对于一些无理数，若要化成小数，只能取其近似值，所以需要熟记一些无理数的近似值。,例9、填空：,(1)3-=_,则x=_；y=_,小结：,同学们，无理数的引进，把我们所研究问题的数的范围从有理数扩充到了实数，这样一来，我们今后研究问题的数的范围更广泛了，我们所研究的问题也就会更广、更深了从现在起，在考虑某些数学问题时，一定要在实数的范围内对于不同数的范围，可能结果是不相同的,1）在 3.14，sin30,各数中，无理数有（）A、2个 B、3个 C、4个 D、5个 2）下列命题中正确的个数有（）无理数就是带根号的数 aa+a 212的平方根是21 在实数范围内，非负数一定是正数 两个无理数不一定仍是无理数 A、1个 B、2个 C、3个 D、4个,