1、本 章 整 合,专题1,专题2,专题3,专题4,专题5,专题一导数的几何意义与曲线的切线方程利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点,常见的类型有两种:一类是求“在某点处的切线方程”,则此点一定为切点,先求导,再求斜率代入直线方程即可;另一类是求“过某点的切线方程”,这种类型中的点不一定是切点,可先设切点为Q(x1,y1),则切线方程为y-y1=f(x1)(x-x1),再由切线过点P(x0,y0)得y0-y1=f(x1)(x0-x1).又y1=f(x1),由求出x1,y1的值,即求出了过点P(x0,y0)的切线方程.,专题1,专题2,专题3,专题4,专题5,提示:切点坐标切线
2、斜率点斜式求切线方程,专题1,专题2,专题3,专题4,专题5,专题二利用导数确定函数的单调区间利用导数研究函数的单调区间是导数的主要应用之一,其步骤为:(1)确定f(x)的定义域;(2)求导数f(x);(3)解不等式f(x)0或f(x)0;(4)确定并指出函数的单调递增区间、递减区间.特别要注意写单调区间时,相同单调性的区间之间用“和”连接或用“,”隔开,绝对不能用“”相连.,专题1,专题2,专题3,专题4,专题5,提示:根据判断函数增减性的相关知识求解.,专题1,专题2,专题3,专题4,专题5,专题1,专题2,专题3,专题4,专题5,专题1,专题2,专题3,专题4,专题5,专题三利用导数求函
3、数的极值和最值1.应用导数求函数极值的一般步骤:(1)确定函数f(x)的定义域;(2)解方程f(x)=0的根;(3)检验f(x)=0的根的两侧f(x)的符号.若左正右负,则f(x)在此根处取得极大值;若左负右正,则f(x)在此根处取得极小值;否则,此根不是f(x)的极值点.2.求函数f(x)在闭区间a,b上的最大值、最小值的方法与步骤:(1)求f(x)在(a,b)内的极值;(2)将(1)求得的极值与f(a),f(b)相比较,其中最大的一个值为最大值,最小的一个值为最小值.,专题1,专题2,专题3,专题4,专题5,(1)求函数f(x)的另一个极值点;(2)求函数f(x)的极大值M和极小值m,并求
4、M-m1时k的取值范围.提示:对于本题,先求导函数f(x),然后令f(-c)=0及一元二次方程根与系数的关系可解决第(1)小题,而解答第(2)小题时需对k与c进行分类讨论.,专题1,专题2,专题3,专题4,专题5,专题1,专题2,专题3,专题4,专题5,应用2 已知函数f(x)=ax3+bx2+cx在点x0处取得极小值-4,使其导函数f(x)0的x的取值范围为(1,3).(1)求f(x)的解析式及f(x)的极大值;(2)当x2,3时,求g(x)=f(x)+6(m-2)x的最大值.提示:第(1)小题,可利用条件建立a,b,c的方程组,利用待定系数法求解;第(2)小题利用导数与最值的知识求解,注意
5、对m分类讨论.,专题1,专题2,专题3,专题4,专题5,解:(1)由题意,知f(x)=3ax2+2bx+c=3a(x-1)(x-3)(a0,f(x)是增函数,在(3,+)内f(x)0,f(x)是减函数.因此f(x)在x0=1处取得极小值-4,在x=3处取得极大值.,解得a=-1,b=6,c=-9,所以f(x)=-x3+6x2-9x.则f(x)在x=3处取得极大值f(3)=0.,专题1,专题2,专题3,专题4,专题5,(2)g(x)=-3(x-1)(x-3)+6(m-2)x=-3(x2-2mx+3).由g(x)=-6x+6m=0,得x=m.当2m3时,g(x)max=g(m)=3m2-9;当m3
6、时,g(x)在2,3上是递增的,g(x)max=g(3)=18m-36.,专题1,专题2,专题3,专题4,专题5,专题四利用导数证明不等式从近几年高考题看,利用导数证明不等式这一知识点常考到,一般出现在解答题中.利用导数解决不等式问题(如证明不等式、比较大小等),其实质就是利用求导数的方法研究函数的单调性,而证明不等式(或比较大小)常与函数最值问题有关.因此,解决该类问题通常是构造一个函数,然后考察这个函数的单调性,结合给定的区间和函数在该区间端点的函数值使问题得以求解.其实质是这样的:要证不等式f(x)g(x),则构造函数(x)=f(x)-g(x),只需证(x)0即可,由此转化成求(x)最小
7、值问题,借助于导数解决.,专题1,专题2,专题3,专题4,专题5,专题1,专题2,专题3,专题4,专题5,(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)证明:当x1时,f(x)1,当x(1,x0)时,恒有f(x)k(x-1).,专题1,专题2,专题3,专题4,专题5,专题1,专题2,专题3,专题4,专题5,专题1,专题2,专题3,专题4,专题5,专题五导数的实际应用利用导数求函数的极大(小)值,求函数在区间a,b上的最大(小)值或利用导数解决一些实际问题是函数内容的继续与延伸,这种解决问题的方法使复杂的问题简单化,因而已逐渐成为高考的又一新热点.1.利用导数求实际问题的最大(小)值的一般方法:(1
8、)细致分析实际问题中各个量之间的关系,正确设定因变量y与自变量x,把实际问题转化为数学问题,即列出函数关系y=f(x),根据实际问题确定y=f(x)的定义域.(2)求f(x),令f(x)=0,得出所有实数的解.(3)比较导函数在各个根和区间端点处的函数值的大小,根据实际问题的意义确定函数的最大值或最小值.,专题1,专题2,专题3,专题4,专题5,2.利用导数求实际问题的最大(小)值时,应注意的问题:(1)求实际问题的最大(小)值时,一定要符合问题的实际意义,不符合实际意义的值应舍去.(2)在实际问题中,由f(x)=0常常仅解到一个根,若能判断函数的最大(小)值在x的变化区间内部得到,则在这个根
9、处的函数值就是所求的最大(小)值.,专题1,专题2,专题3,专题4,专题5,应用 如图,四边形ABCD是一块边长为4 km的正方形地域,地域内有一条河流MD,其经过的路线是以AB的中点M为顶点且开口向右的抛物线的一部分(河流宽度忽略不计).某公司准备投资建一个大型矩形游乐园PQCN,问如何施工才能使游乐园面积最大?并求出最大面积.,提示:建立适当的平面直角坐标系,求得抛物线的方程,用点P的坐标表示出矩形PQCN的面积,即可转化为求函数的最大值问题,可用导数加以解决.,专题1,专题2,专题3,专题4,专题5,专题1,专题2,专题3,专题4,专题5,专题1,专题2,专题3,专题4,专题6,专题5,专题六定积分的应用在利用定积分解决实际问题时,要注意找出被积函数和积分上、下限,用定积分求平面图形的面积是定积分的一个重要应用.解题步骤如下:画出图形;确定图形范围,通过解方程组求出交点的横坐标定出积分上、下限;确定被积函数,特别要注意分清被积函数的上、下位置;写出平面图形面积的定积分表达式;运用微积分基本定理计算定积分,求出平面图形的面积.,专题1,专题2,专题3,专题4,专题6,专题5,专题1,专题2,专题3,专题4,专题6,