1、2.2等差数列第1课时等差数列,【知识提炼】1.等差数列的定义,2,前一项,同一个常数,公差,d,2.等差中项(1)条件：三个数a，A，b成等差数列.(2)结论：A叫做a，b的等差中项.(3)关系：_.,3.等差数列的通项公式(1)条件：等差数列an的首项为a1，公差为d.(2)通项公式：an=_.,a1+(n-1)d,【即时小测】1.判断(1)常数列是等差数列.()(2)若一个数列从第2项起每一项与前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.(),(3)数列an满足an+1-an=1(n1)，则数列an是等差数列.()(4)等差数列中从第二项起的任何一项都是相邻两项的等差中项.(),【解析】(
2、1)正确.常数列是公差为0的等差数列.(2)错误.这里未强调每一项与前一项的差是同一个常数，不符合等差数列的定义，因而是错误的.(3)错误.n1应改为nN*.(4)正确.等差数列中的任意相邻的三项都能成等差数列，所以该结论正确.答案：(1)(2)(3)(4),2.已知实数m是1和5的等差中项，则m等于()A.B.C.3D.3【解析】选C.由题意得2m=1+5，解得m=3.,3.等差数列an中，a2=-4，d=3，则a1为()A.-9 B.-8 C.-7 D.-4【解析】选C.由题意得，a2=a1+d，所以a1=a2-d=-4-3=-7.,4.等差数列an中，a1=3，an=21，d=2，则n=
3、_.【解析】由a1=3，an=21，d=2得，21=3+2(n-1)，解得n=10.答案：10,5.等差数列-3，-1，1，的通项公式为an=_.【解析】等差数列-3，-1，1，的首项为-3，公差为2，所以通项公式为an=-3+(n-1)2=2n-5.答案：2n-5,【知识探究】知识点1 等差数列的定义观察图形，回答下列问题：,问题1：数列0.3，0.6，0.9，1.2，1.5，1.8，2.1，2.4是等差数列吗？问题2：等差数列中相邻项之间有什么关系？,【总结提升】1.等差数列定义的作用(1)判定一个数列是否是等差数列.(2)确定等差数列中任意两项的关系.,2.对等差数列定义的三点说明(1)
4、“从第2项起”：第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合；定义中包括首项这一基本量，且必须从第2项起保证使数列中各项均与其前面一项作差.,(2)“每一项与它的前一项的差”：这一运算要求，它的含义也有两个：其一是强调作差的顺序，即后面的项减前面的项；其二是强调这两项必须相邻.(3)“同一个常数”：若一个数列，从第2项起，每一项与它的前一项的差等于常数，但是常数不同，这个数列不是等差数列.,知识点2 等差中项观察如图所示内容，回答下列问题：问题1：任意两个实数都有等差中项吗？问题2：能借助等差中项的定义证明一个数列是等差数列吗？,【总结提升】对等差中项的两点说明(1)在等差数列中除
5、首末两项外，任何一项都是前后两项的等差中项.(2)如果an-an-1=an+1-an(n2)，则该数列an为等差数列，反之亦然.所以2an=an-1+an+1(n2)，则数列an为等差数列，这是判断一个数列是否为等差数列的一种方法.,知识点3 等差数列的通项公式观察如图所示内容，回答下列问题：,问题1：等差数列的通项公式与一次函数有什么关系？问题2：由等差数列的定义如何推导等差数列的通项公式？,【总结提升】1.理解等差数列通项公式应注意的四点(1)由数列的首项a1与公差d，可写出通项公式.(2)由数列的任意两项，可确定其首项与公差.(3)由数列的通项公式可求数列的任意一项，也可判定某数是否为数
6、列的项.,(4)通项公式可变形为an=dn+(a1-d)，当d0时可把an看作自变量为n的一次函数.,2.等差数列的通项公式常用的推导方法：(1)方法一(叠加法)：因为an是等差数列，所以an-an-1=d，an-1-an-2=d，an-2-an-3=d，a3-a2=d，a2-a1=d.将以上各式相加得：an-a1=(n-1)d，所以an=a1+(n-1)d.,(2)方法二(迭代法)：因为an是等差数列，所以an=an-1+d=an-2+d+d=an-2+2d=an-3+3d=a1+(n-1)d.即an=a1+(n-1)d.(3)方法三(逐差法)：因为an是等差数列，则有an=(an-an-1
7、)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+(a2-a1)+a1=a1+(n-1)d.,【拓展延伸】一次函数与等差数列的关系,【题型探究】类型一 等差数列的通项公式及应用【典例】1.(2015金沙高一检测)an是首项为1，公差为3的等差数列，如果an=2 017，则序号n等于()A.667B.668C.669D.673,2.(2015泰兴高一检测)在等差数列an中，已知a3+a8=10，则3a5+a7=_.3.数列an是公差不为零的等差数列，且a20=22，|a11|=|a51|，求an.,【解题探究】1.典例1中，首项a1、公差d、序号n、通项an之间有什么关系？提示：an=a1+(
8、n-1)d.,2.典例2中，由条件是否可以求出等差数列an的首项和公差？3a5+a7与a3+a8是否有关系？提示：由条件无法求出等差数列an的首项和公差.借助等差数列的通项公式可以分析出3a5+a7与a3+a8有关系.,3.典例3中，如何利用题目条件计算等差数列的首项和公差？提示：首先根据题目条件列出关于公差的方程，然后再求首项.,【解析】1.选D.由题意得an=1+(n-1)3=3n-2，由an=2 017得2 017=3n-2，解得n=673.2.设等差数列an的公差为d，a3+a8=a1+2d+a1+7d=2a1+9d=10，3a5+a7=3(a1+4d)+a1+6d=4a1+18d=2
9、(2a1+9d)=20.答案：20,3.设数列an的公差为d，因为a20=22，|a11|=|a51|，所以|22-9d|=|22+31d|.因为d0，所以22-9d=-22-31d.所以d=-2，所以a1=22-19(-2)=60.所以an=-2n+62.,【方法技巧】1.求等差数列通项公式的步骤,2.等差数列通项公式中的四个参数及其关系,【变式训练】在等差数列an中，已知a5=10，a12=31，求a20，an.【解题指南】先根据两个独立的条件解出两个量a1和d，进而再写出an的表达式.几个独立的条件就可以解出几个未知量，这是方程组的重要应用.,【解析】因为a5=10，a12=31，则解
10、得所以an=a1+(n-1)d=3n-5，a20=a1+19d=55.,类型二 等差数列的判定【典例】已知数列an是等差数列，设bn=2an+3，求证：数列bn也是等差数列.【解题探究】本例中要证明数列bn是等差数列，只要证明什么？提示：只要证明bn+1-bn是一个与n无关的常数.,【证明】因为数列an是等差数列，可设其公差为d，则an+1-an=d.从而bn+1-bn=(2an+1+3)-(2an+3)=2(an+1-an)=2d.它是一个与n无关的常数，所以数列bn是等差数列.,【延伸探究】1.(变换条件)本例条件改为an=7n+2，bn=lgan，所证结论不变，应如何证明.【证明】bn+
11、1-bn=lgan+1-lgan=(n+3)lg7-(n+2)lg7=lg7.所以数列bn是等差数列，即数列lgan是等差数列.,2.(变换条件、改变问法)本例条件改为 nN*且a1=1，an0，求an.,【解析】因为所以 nN*又=1，所以数列 是首项为1，公差为4的等差数列.所以=1+(n-1)4=4n-3，又an0，所以an=,【方法技巧】1.定义法判定等差数列(1)条件：an+1-an=d(常数)(nN*)或an-an-1=d(常数)(n1，nN*).(2)结论：an是等差数列.(3)应用范围：通常用于解答题.,2.通项公式法判定等差数列(1)条件：数列an的通项公式满足一次函数关系式
12、an=kn+b(k，b是常数).(2)结论：an是等差数列.(3)应用范围：通常用于选择、填空题.,【补偿训练】设数列an，bn都是等差数列，且a1=25，b1=75，a2+b2=100.(1)求证：数列an+bn是等差数列.(2)求数列an+bn的通项公式.,【解析】(1)设an，bn的公差分别为d1，d2，则(an+1+bn+1)-(an+bn)=(an+1-an)+(bn+1-bn)=d1+d2，nN*，它是一个与n无关的常数，所以an+bn为等差数列.,(2)由(1)知数列an+bn是等差数列，因为a1+b1=a2+b2=100，所以an+bn为常数列，所以an+bn=100.,【延伸
13、探究】1.(改变问法)在本题条件下，证明数列an+2bn是等差数列.【证明】设an，bn的公差分别为d1，d2，则(an+1+2bn+1)-(an+2bn)=(an+1-an)+2(bn+1-bn)=d1+2d2，nN*，它是一个与n无关的常数，所以数列an+2bn为等差数列，,2.(变换条件、改变问法)本题条件改为an=(n+1)2，bn=n2-n(nN*)，求证：数列an-bn是等差数列.【证明】an-bn=(n+1)2-(n2-n)=(n2+2n+1)-(n2-n)=3n+1，(an+1-bn+1)-(an-bn)=3(n+1)+1-(3n+1)=3，所以数列an-bn是等差数列.,类型
14、三 等差中项及其应用【典例】1.(2015白鹭洲高一检测)-1，的等差中项为_.2.已知 成等差数列，求证：也成等差数列.,【解题探究】1.典例1中，等差中项的定义是什么？如何计算两个数的等差中项？提示：若a，A，b成等差数列，则A是a与b的等差中项，A=.可直接利用等差中项的定义求解.,2.典例2中，要证 成等差数列，只要证明什么？提示：只要证明,【解析】1.的等差中项为答案：,2.因为 成等差数列，所以 即2ac=b(a+c).因为所以 成等差数列.,【方法技巧】1.等差中项的计算(1)条件：若A是a与b的等差中项.(2)计算公式：A=2.等差中项法判定等差数列(1)条件：2an+1=an
15、+an+2(nN*).(2)结论：an是等差数列.,【变式训练】已知a，b，c成等差数列，那么a2(b+c)，b2(c+a)，c2(a+b)是否成等差数列？,【解析】因为a，b，c成等差数列，所以a+c=2b.又a2(b+c)+c2(a+b)-2b2(c+a)=a2c+c2a+ab(a-2b)+bc(c-2b)=a2c+c2a-2abc=ac(a+c-2b)=0，所以a2(b+c)+c2(a+b)=2b2(c+a).故a2(b+c)，b2(c+a)，c2(a+b)成等差数列.,【补偿训练】若lg2，lg(2x-1)，lg(2x+3)成等差数列，则x的值等于()A.1 B.0或32 C.32 D
16、.log25,【解析】选D.因为lg2，lg(2x-1)，lg(2x+3)成等差数列，所以lg2+lg(2x+3)=2lg(2x-1)，2(2x+3)=(2x-1)2，所以(2x)2-42x-5=0.解得2x=5，x=log25.,类型四 等差数列的应用【典例】1.将等差数列2，7，12，17，22，中的数按顺序抄写在本子上，见下表，若每行可写12个数，每页共15行，则数2 017应抄在第_页第_行第_个位置上.,2.第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次.奥运会如因故不能举行，届数照算.(1)试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式.(2)2016年里约热内卢奥运
17、会是第几届？2050年举行奥运会吗？,【解题探究】1.典例1中，等差数列的首项、公差和通项公式分别是什么？要确定2 017的位置，首先要计算什么？提示：该等差数列的首项为2，公差为5，通项公式为an=5n-3.要确定2 017的位置，首先要确定2 017是该等差数列的第几项.,2.典例2中，举行奥运会的年份构成的数列是等差数列吗？若是，其首项和公差分别是什么？要判断2050年是否举行奥运会应计算什么？提示：是等差数列.该等差数列的首项为1 896，公差为4.要判断2050年是否举行奥运会，应计算2 050是否是奥运会的年份构成的等差数列中的项.,【解析】1.由题意得，该等差数列的首项为2，公差
18、为5，通项公式an=2+(n-1)5=5n-3，由5n-3=2 017，得n=404.每页共1215=180个数，360404540.又404-360=44=312+8，所以2 017应抄在第3页，第4行第8个位置上.答案：348,2.(1)由题意知，举行奥运会的年份构成的数列是一个以1896为首项，4为公差的等差数列.这个数列的通项公式为an=1896+4(n-1)=1892+4n(nN*).(2)假设an=2 016，由2 016=1 892+4n，得n=31.假设an=2 050，2 050=1 892+4n无正整数解.,答：(1)所求通项公式为an=1892+4n(nN*).(2)20
19、16年里约热内卢奥运会是第31届奥运会，2050年不举行奥运会.,【延伸探究】典例1中等差数列换为“3，8，13，18，”，且每行抄13个数，每页抄21行，试求数33333在第几页第几行第几个位置上？,【解析】a1=3，d=5，an=33 333，所以33 333=3+(n-1)5，所以n=6 667，每页共1321=273个数，6 667=27324+115，115=138+11，可得33 333在第25页，第9行，第11个位置上.,【方法技巧】应用等差数列解决实际问题的步骤(1)审题，读懂题意，把握已知条件与求解问题.(2)将实际问题抽象为等差数列模型.(3)利用等差数列解决问题.(4)验
20、证答案是否符合实际问题的意义.,【变式训练】有一个阶梯教室，共有座位25排，第一排离教室地面高度为17cm，前16排前后两排高度差8cm，从17排起，前后两排高度差是10cm(含16，17排之间高度差).求最后一排离教室地面的高度.,【解题指南】前16排离教室地面高度构成等差数列，后10排离教室地面高度也构成等差数列.可以先求出第16排离教室地面高度，再计算最后一排离教室地面高度.,【解析】分两部分.第一部分，首项17，公差为8，共16项，则第16排离教室地面高度为17+(16-1)8=137(cm).第二部分，首项137，公差10，共10项(因为首项是从第16排开始算的)，则最后一排离教室地
21、面高度为137+(10-1)10=227(cm).,【补偿训练】诺沃尔(Knowall)在1740年发现了一颗彗星，并推算出在1823年、1906年、1989年人们都可以看到这颗彗星，即彗星每隔83年出现一次.(1)从发现那次算起，彗星第8次出现是在哪一年？(2)你认为这颗彗星在2500年会出现吗？为什么？,【解析】(1)这颗彗星出现的年份构成首项为1 740，公差为83的等差数列，所以彗星第8次出现是在1 740+783=2 321(年).(2)假设2 500是这颗彗星出现的年份构成的等差数列的第n项，则2 500=1 740+(n-1)83，无正整数解.所以2500年不会出现.,易错案例
22、等差数列定义的应用【典例】若数列an是公差为1的等差数列，则数列a2n-1+2a2n是()A.公差为3的等差数列 B.公差为4的等差数列C.公差为6的等差数列 D.公差为9的等差数列,【失误案例】,【错解分析】分析解题过程，你知道错在哪里吗？提示：错误的根本原因是a2n-1+2a2n的相邻项寻找错误.实际上a2n-1+2a2n的后一项是a2(n+1)-1+2a2(n+1)，即a2n+1+2a2n+2，前一项是a2(n-1)-1+2a2(n-1)，即a2n-3+2a2n-2.,【自我矫正】选C.数列an是公差为1的等差数列，所以a2n-1+2a2n-(a2n-3+2a2n-2)=(a2n-1-a
23、2n-3)+2(a2n-a2n-2)=2+22=6(n1，nN*)，所以a2n-1+2a2n是公差为6的等差数列.,【防范措施】1.正确理解等差数列的定义用定义法判定等差数列时，必须说明从第二项起所有项与其前一项的差为同一常数，即an-an-1=d(n2，nN*)恒成立.如本例中，判断数列a2n-1+2a2n是等差数列，就要说它的第n(n2，nN*)项与第n-1项的差是同一常数(即公差).,2.找准数列的相邻项等差数列定义中不但强调了作差的顺序，即后一项减前面的项，而且强调了这两项必须相邻.因此，找准相邻项是解题的关键之一.如本例中数列a2n-1+2a2n的第n项是a2n-1+2a2n，第n-1项是a2(n-1)-1+2a2(n-1)，即a2n-3+2a2n-2.,