1、3.3.2简单的线性规划问题,引例,某工厂有A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？,解决问题,（1）用不等式组表示问题中的限制条件：,设甲、乙两种产品分别生产x、y件，由已知条件可得二元一次不等式组：,解决问题,（2）画出不等式组所表示的平面区域：,如图，图中的阴影部分的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排。,解决问题,（3）提出新问题：,进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪
2、种生产安排利润最大？,解决问题,（4）尝试解答：,设工厂获得的利润为z，则z=2x+3y，求z的最大值。,几何画板,解决问题,（5）获得结果：,每天生产甲产品4件，乙产品2件时，工厂可获得最大利润14万元,相关概念,y,x,4,8,4,3,o,把求最大值或求最小值的的函数称为目标函数，因为它是关于变量x、y的一次解析式，又称线性目标函数。,满足线性约束的解（x，y）叫做可行解。,在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题。,一组关于变量x、y的一次不等式，称为线性约束条件。,由所有可行解组成的集合叫做可行域。,使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个问题的最优解
3、。,可行域,可行解,最优解,例5 营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白质，0.14kg脂肪，花费28元；而1食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费21元。为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B多少kg？,分析：将已知数据列成表格,解：设每天食用xkg食物A，ykg食物B，总成本为z，那么,目标函数为：z28x21y,作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域,把目标函数z28x
4、21y 变形为,x,y,o,5/7,5/7,6/7,3/7,3/7,6/7,它表示斜率为随z变化的一组平行直线系,是直线在y轴上的截距，当截距最小时，z的值最小。,M,如图可见，当直线z28x21y 经过可行域上的点M时，截距最小，即z最小。,M点是两条直线的交点，解方程组,得M点的坐标为：,所以zmin28x21y16,由此可知，每天食用食物A143g，食物B约571g，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为16元。,例6 在上一节例3中,各截得这两种钢板多少张可得所需A,B,C三种规格成品,且使所用钢板张数最少?,例3 要将两种大小不同的钢板截成三种规格，每张钢板可同时截得三种规格
5、的小钢板的块数如下表所示：,今需要三种规格的成品分别为15，18，27块，用数学关系式和图形表示上述要求。,0,2,4,8,10,14,18,6,12,16,2,6,12,14,22,4,10,8,16,18,20,解：设需要截第一种钢板x张，第二种钢板y张，则,2x+y 15,X+2y 18,X+3y 27,x 0,xN,y 0,yN,24,x=3,y=9;x=4,y=8,89.例六.gsp,例7 一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t、硝酸盐18t；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t、硝酸盐15t。现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t，在此基础上生产这两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。并计算生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？,解：设x、y分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，于是满足以下条件：,x,y,o,