1、1.3.2函数的极值与导数,自主学习 新知突破,1了解函数极值的概念，会从几何的角度直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用2掌握函数极值的判定及求法3掌握函数在某一点取得极值的条件4增强数形结合的思维意识，提高运用导数的基本思想去分析和解决实际问题的能力,已知yf(x)的图象(如图)问题1当xa时，函数值f(a)有何特点？提示1在xa的附近，f(a)最小，f(a)并不一定是yf(x)的最小值,问题2试分析在xa的附近导数的符号提示2在xa附近的左侧，曲线的切线斜率小于零，即f(x)0.问题3f(a)值是什么？提示3f(a)0.,若函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近其它
2、点的函数值都小，f(a)_；而且在点xa附近的左侧_，右侧_，就把点a叫做函数yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数yf(x)的极小值,极小值点与极小值,0,f(x)0,f(x)0,若函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近其它点的函数值都大，f(b)_；而且在点xb附近的左侧_，右侧_，就把点b叫做函数yf(x)的极大值点，f(b)叫做函数yf(x)的极大值,极大值点与极大值,0,f(x)0,f(x)0,1对函数极值概念的理解(1)函数的极值是函数的局部性质，它反映了函数在某一点附近的大小情况(2)由函数极值的定义知道，函数在一个区间的端点处一定不可能取得极值，即端点一定不是函
3、数的极值点(3)在一个给定的区间上，函数可能有若干个极值点，也可能不存在极值点；函数可能只有极大值，没有极小值，或者只有极小值，没有极大值，也可能既有极大值，又有极小值极大值不一定比极小值大，极小值也不一定比极大值小,求函数yf(x)的极值的方法是：解方程f(x)0，当f(x0)0时(1)如果在x0附近的左侧_，右侧_，那么，f(x0)是极大值(2)如果在x0附近的左侧_，右侧_，那么，f(x0)是极小值,函数极值的求法,f(x)0,f(x)0,f(x)0,f(x)0,2极值点与导数的关系(1)可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点(2)不可导点可能是极值点，也可能不
4、是极值点(3)导数为0是极值点：yx2，y(0)0，x0是极小值点,1下图是函数yf(x)的导函数yf(x)的图象，给出下列命题：,3是函数yf(x)的极值点；1是函数yf(x)的最小值点；yf(x)在x0处切线的斜率小于零；yf(x)在区间(3,1)上单调递增则正确命题的序号是()ABC D,解析：由导函数图象知函数f(x)在(，3)上单调递减，(3，)上单调递增，f(3)0，f(0)0，x3是函数f(x)的极值点，正确答案：B,2函数y(x21)31的极值点是()A极大值点x1 B极大值点x0C极小值点x0 D极小值点x1解析：y6x(x21)20有三个根，x11，x20，x31，由解y0
5、得x0；由解y0得x0，只有x0是极小值点，故选C.答案：C,3函数f(x)x33x21的极小值点为_解析：由f(x)3x26x0，解得x0或x2.列表如下：当x2时，f(x)取得极小值答案：x2,合作探究 课堂互动,求函数的极值,求下列函数的极值：思路点拨先确定函数定义域，然后正确求导，再解方程f(x)0，列表分析，求出函数的极值,(1)函数的定义域为R.f(x)x22x3(x1)(x3)令f(x)0，得x11，x23.由此可知当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表所示：,当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：故当x3时函数取得极小值，且f(3)22.,1.求可导函数f(x
6、)极值的步骤：(1)求函数的导数f(x)；(2)令f(x)0，求出全部的根x0；(3)列表，方程的根x0将整个定义域分成若干个区间，把x，f(x)，f(x)在每个区间内的变化情况列在这个表格内；(4)判断得结论，若导数在x0附近左正右负，则在x0处取得极大值；若左负右正，则取得极小值2注意事项：(1)不要忽略函数的定义域；(2)要正确地列出表格，不要遗漏区间和分界点,1求下列函数的极值：(1)f(x)x312x；(2)f(x)x2ex.解析：(1)函数f(x)的定义域为R.f(x)3x2123(x2)(x2)令f(x)0，得x2或x2.,当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：从表中可
7、以看出，当x2时，函数f(x)有极大值，且f(2)(2)312(2)16；当x2时，函数f(x)有极小值，且f(2)2312216.,(2)函数f(x)的定义域为R.f(x)2xexx2ex(x)2xexx2exx(2x)ex.令f(x)0，得x0或x2.,已知函数极值求参数,设函数f(x)ax3bx2cx，在x1和x1处有极值，且f(1)1，求a，b，c的值，并求出相应的极值,根据x1列表分析f(x)的符号，f(x)的单调性和极值点.由上表可以看出，当x1时，函数有极大值，且f(1)1；当x1时，函数有极小值，且f(1)1.,已知函数极值情况，逆向应用确定函数的解析式，进而研究函数性质时，注
8、意两点：(1)常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解；(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性,2已知函数f(x)x3ax2bxc，当x1时，取得极大值7；当x3时，取得极小值求这个极小值及a，b，c的值解析：f(x)3x22axb.据题意，1,3是方程3x22axb0的两个根，由根与系数的关系得,极值的综合应用,已知a为实数，函数f(x)x33xa.(1)求函数f(x)的极值，并画出其图象(草图)；(2)当a为何值时，方程f(x)0恰好有两个实数根？,思路点拨,(2)结合图象，当极大值a20时，有极小值小于0，此时
9、曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)0恰有两个实数根，所以a2满足条件；当极小值a20时，有极大值大于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)0恰好有两个实数根，所以a2满足条件综上，当a2时，方程恰有两个实数根.12分,1.如何利用导数画函数的大致图象？求出函数的极值点和极值，结合函数的单调性及x时，f(x)值的变化趋势，可画出函数的大致图象2如何利用导数判断方程根的个数？用求导的方法确定方程根的个数，是一种很有效的方法它通过函数的变化情况，运用数形结合思想来确定函数图象与x轴的交点个数，从而判断方程根的个数,3将本例中(2)改为：f(x)0恰有三个实数根；若只有一个
10、实数根求实数a的取值范围,若f(x)0恰有一个实数根，如图(2)则有：a20，解得a2，或a22，或a2时，f(x)0只有一个实数根,已知f(x)x33ax2bxa2在x1时有极值0，求常数a，b的值,【错因】根据极值的定义，函数先减后增为极小值，函数先增后减为极大值，此题未验证x1两侧函数的单调性，故求错,当a1，b3时，f(x)3x26x33(x1)20，所以f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去当a2，b9时，f(x)3x212x93(x1)(x3)当x(，3)时，f(x)为增函数；当x(3，1)时，f(x)为减函数；当x(1，)时，f(x)为增函数所以f(x)在x1时取得极小值，因此a2，b9.,高效测评 知能提升,谢谢观看！,