1、18.2 特殊的平行四边形18.2.3 正方形(第2课时),人教版 数学 八年级 下册,宁宁在商场看中了一块正方形纱巾，但不知是否是正方形，只见售货员阿姨拉起纱巾的一组对角，另一组对角能完全重合，看宁宁还在犹豫，又拉起纱巾的另一组对角，剩下的那组对角也能完全重合.阿姨认为这样就能证明纱巾是正方形，把纱巾给了宁宁，你认为宁宁手上的纱巾一定是正方形吗？,2.能应用正方形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题.,1.理解并掌握正方形的判定方法.,学习目标,做一做：把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状.量量看是不是正方形.,正方形,菱形,【讨论】满足怎样条件的菱形是正方形？
2、,正方形,一个角是直角,或对角线相等,正方形的判定,已知：如图,在菱形ABCD中,AC,DB是它的两条对角线,AC=DB.求证：四边形ABCD是正方形.,求证：对角线相等的菱形是正方形.,四边形ABCD是菱形,AB=BC=CD=AD,ACDB.AC=DB,AO=BO=CO=DO,AOD,AOB,COD,BOC是等腰直角三角形，DAB=ABC=BCD=ADC=90,四边形ABCD是正方形.,证明：,做一做：准备一张矩形的纸片，按照下图折叠,然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证验证.,正方形,【讨论】满足怎样条件的矩形是正方形？,矩形,正方形,一组邻边相等,或对角线互相垂直,矩形,已知：
3、如图,在矩形ABCD中,AC,DB是它的两条对角线,ACDB.求证：矩形ABCD是正方形.证明：四边形ABCD是矩形,AO=CO=BO=DO，ADC=90.ACDB,AD=AB=BC=CD,矩形ABCD是正方形.,求证：对角线互相垂直的矩形是正方形.,正方形,矩形,有一组邻边相等,菱形,有一个角是直角,有一组邻边相等,且有一个角是直角,正方形常见的判定方法,先证是矩形再证是菱形或先证是菱形再证是矩形,平行四边形,5种判定方法,三个角是直角,四条边相等,一个角是直角,或对角线相等,一组邻边相等,或对角线互相垂直,一组邻边相等,或对角线互相垂直,一个角是直角,或对角线相等,一个角是直角且一组邻边相
4、等,平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结,已知：如图，ABC中，C=90，CD平分ACB，DEBC于E，DFAC于F求证：四边形CFDE是正方形,C=90，DEBC于E，DFAC于F，DEC=90，DFC=90，四边形CFDE有三个直角，它是矩形.又CD平分ACB,DE=DF.四边形CFDE是正方形.,由矩形到正方形的识别,证明：,DEAC，DFBC，DEC=DFC=90.又 C=90，四边形ADFC是矩形.过点D作DGAB，垂足为G.AD是CAB的平分线,DEAC，DGAB，同理得DG=DF，四边形EDFC是正方形.,如图，在直角三角形中，C=90，A、B的平分线交于点D.DEAC，DF
5、BC.求证:四边形CEDF为正方形.,A,B,C,D,E,F,G,证明：,DE=DG.,ED=DF，,证明：四边形ABCD为正方形,OB=OC,ABO=BCO=45,BOC=90=COH+BOH.EGFH,COH=BOE,OE=OH.,如图，EG,FH过正方形ABCD的对角线的交点O,且EGFH.求证：四边形EFGH是正方形.,由菱形到正方形的识别,OE=OF=OG=OH.EO+GO=FO+HO,即EG=HF,BOE+BOH=90,CHO BEO,同理可证：OE=OF=OG,又EGFH,四边形EFGH为菱形.,四边形EFGH为正方形.,在正方形ABCD中，点E、F、M、N分别在各边上，且AE=
6、BF=CM=DN四边形EFMN是正方形吗?为什么?,四边形ABCD是正方形，AB=BC=CD=DA，A=B=C=D=90.AE=BF=CM=DN，AN=BE=CF=DM.,解：,四边形EFMN是正方形.,理由如下：,AE=BF=CM=DN,A=B=C=D,AN=BE=CF=DM,AENBFECMFDNM,EN=FE=MF=NM，ANE=BEF,四边形EFMN是菱形，NEF=180（AEN+BEF）=180（AEN+ANE）=18090=90.四边形EFMN是正方形.,在AEN、BFE、CMF、DNM中，,在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点（不与端点重合），对于
7、任意矩形ABCD，下面四个结论中，存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；存在无数个四边形MNPQ是矩形；存在无数个四边形MNPQ是菱形；至少存在一个四边形MNPQ是正方形所有正确结论的序号是_,链接中考,1.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（）,AAC=BD，ABCD，AB=CDBADBC，A=CCAO=BO=CO=DO，ACBDDAO=CO，BO=DO，AB=BC,C,A,B,C,D,O,2.下列判断中正确的是（）A.四边相等的四边形是正方形 B.四角相等的四边形是正方形 C.对角线垂直的平行四边形是正方形 D.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形,D,
8、3.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A当AB=BC时，四边形ABCD是菱形 B当ACBD时，四边形ABCD是菱形 C当ABC=90时，四边形ABCD是矩形 D当AC=BD时，四边形ABCD是正方形,D,4.如图，在四边形ABCD中,AB=BC,对角线BD平分ABC,P是BD上一点,过点P作PMAD,PNCD,垂足分别为M、N.(1)求证：ADB=CDB;(2)若ADC=90,求证：四边形MPND是正方形.,证明：（1）AB=BC,BD平分ABC.1=2.ABDCBD(SAS).ADB=CDB.,1,2,（2）ADC=90,又PMAD,PNCD,PMD=PND=90
9、.四边形NPMD是矩形.ADB=CDB,ADB=CDB=45.DM=PM,DN=PN.四边形NPMD是正方形.,如图，ABC中，D是BC上任意一点，DEAC，DFAB（1）试说明四边形AEDF的形状，并说明理由（2）连接AD，当AD满足什么条件时，四边形AEDF为菱形，为什么？,解：（1）DEAC，DFAB，四边形AEDF为平行四边形.（2）四边形ADEF为菱形，AD平分BAC，则AD平分BAC时，四边形AEDF为菱形.,（3）在（2）的条件下，当ABC满足什么条件时，四边形AEDF为正方形，不说明理由,解：由四边形AEDF为正方形BAC=90，ABC是以BC为斜边的直角三角形即可,如图，正方
10、形ABCD，动点E在AC上，AFAC，垂足为A，AF=AE（1）求证：BF=DE；（2）当点E运动到AC中点时(其他条件都保持不变)，问四边形AFBE是什么特殊四边形？说明理由,（1）证明：正方形ABCD，AB=AD，BAD=90，AFAC，EAF=90，在ABF 和ADE中，ABAD，BAFEAD，AFAE,ABFADE（SAS），,BAF=EAD，,BF=DE；,（2）解：当点E运动到AC的中点时,四边形AFBE是正方形，理由：点E运动到AC的中点，AB=BC，BEAC，BE=AE=AC，AF=AE，又BEAC，FAE=BEC=90，BEAF，四边形AFBE是平行四边形，FAE=90，AF=AE，四边形AFBE是正方形,BE=AF=AE.,BE=AF，,