1、21.3 实际问题与一元二次方程（第3课时）,人教版 数学 九年级 上册,【思考】通过上节课的学习，请谈谈列方程解应用题的一般步骤是怎样的？关键是什么？,步骤：审题；设元；列式；解答；验根；答案.,导入新知,【思考】现有长19cm，宽为15cm长方形硬纸片，将它的四角各剪去一个同样大小的正方形后，再折成一个无盖的长方形纸盒，要使纸盒的底面积为77cm，问剪去的小正方形的边长应是多少?,解：设剪去的小正方形的边长为xcm，则纸盒的长为（19-2x），宽为（15-2x）cm，依题意得（19-2x）（15-2x）=77.整理得：x-17x+52=0.解方程，得：（x-13）（x-4）=0.解得：x1
2、=4，x2=13（舍去）.因此剪去的小正方形的边长应为3cm.,导入新知,素养目标,1.能正确利用面积关系列出关于几何图形的一元二次方程.,2.进一步深入体会一元二次方程在实际生活中的应用，经历将实际问题转化为数学问题的过程，提高数学应用意识,如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1cm）？,探究新知,解法一：依据题意知，中央矩形的长宽之比等于封面的长宽之比9：7，由此可以判定:上下边衬宽与左右边衬宽之比为9：7，设上
3、、下边衬的宽均为9xcm，则左、右边衬的宽均为7xcm，依题意得：中央矩形的长为 cm，宽为 cm因为四周的彩色边衬所点面积是封面面积的_,则中央矩形的面积是封面面积的_,(27-18x),(21-14x),所以可列方程得：（27-18x）（21-14x）=3 4 2721.整理，得 16x2-48x+9=0.解方程，得 x=，x12.8cm，x20.2.所以，9x1=25.2cm（舍去），9x2=1.8cm，7x2=1.4cm.因此，上下边衬的宽均为1.8cm，左、右边衬的宽均为1.4cm,探究新知,3 4,1 4,解法二:设正中央的矩形两边分别为9xcm，7xcm，列方程得：解得 x 2.
4、6.上、下的边衬的宽为（27-9 2.6）0.5=1.8cm.左、右的边衬的宽为（21-7 2.6）0.5=1.4cm.,探究新知,例1 有一张长6尺，宽3尺的长方形桌子，现用一块长方形台布铺在桌面上，如果台布的面积是桌面面积的2倍，且四周垂下的长度相同，试求这块台布的长和宽各是多少？（精确到0.1尺）,解：设四周垂下的宽度为x尺时，则台布的长为（2x+6）尺，宽为（2x+3）尺，依题意得：（6+2x）（3+2x）=263.整理方程得：2x+9x-9=0.解得：x10.84，x2-5.3（不合题意，舍去）.因此：台布的长为：20.84+67.7（尺）.台布的宽为：20.84+34.7（尺）.即
5、这块台布的长约为7.7尺，宽约为4.7尺.,利用一元二次方程解答一般面积问题,探究新知,要为一幅长29cm,宽22cm的照片配一个镜框，要求镜框的四条边宽度相等，且镜框所占面积为照片面积的四分之一，镜框的宽度应是多少厘米(结果保留小数点后一位）？,解：设镜框的宽为xcm，根据题意，得 整理得8x2+204x-319=0,解得.x1=,x2=(不合题意，舍去).x=1.5.答：镜框的宽度约为1.5cm.,巩固练习,例2 如右图是长方形鸡场的平面示意图.一边靠墙，另三边用竹篱笆围成，且竹篱笆总长为35m.（1）若所围的面积为150m，试求此长方形鸡场的长和宽；,解：设BC=xcm,则AB=CD=1
6、 2（35-x），依题意可列方程：1 2(35-x)x=150.整理得：x2-35x+300=0,解方程，得（x-20）(x-15)=0.即：x1=20，x2=15.当BC=x=20m时，AB=CD=7.5m，当BC=15m时，AB=CD=10m，即这个长方形鸡场的长与宽分别为20m和7.5m或15m和10m.,探究新知,（2）如果墙长为18m，则（1）中长方形鸡场的长和宽分别是多少？,解：当墙长为18m时，显然BC=20m时，所围成的鸡场会在靠墙处留下一个缺口，不合题意，应舍去，此时所围成的长方形鸡场的长与宽值能是15m和10m.,点拨：在寻找关系式时，切记三边之和等于总长，而不是四边之和等
7、于总长.,探究新知,（3）能围成面积为160m的长方形鸡场吗？说说你的理由.,解：不能围成面积为160m的长方形鸡场，理由如下：设BC=xm，由（1）知AB=(35-x)，从而有(35-x)x=160，方程整理为x-35x+320=0.此时=35-41320=-550，原方程没有实数根，从而知用35m的篱笆按图示方式不能围成面积为160m的鸡场.,探究新知,如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80平方米？,解：设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为
8、x m，,由题意得 x(25-2x+1)=80.,整理，得 x2-13x+40=0.,解方程，得（x-5）（x-8）=0.即：x1=5,x2=8.,当x=5时，26-2x=1612(舍去）;当x=8时，26-2x=1012,故所围矩形猪舍的长为10m,宽为8m.,则平行于住房墙的一边长(25-2x+1)m.,巩固练习,20,32,x,x,解：设道路的宽为x米，依题意得,例3 如图，在一块宽为20m,长为32m的矩形地面上修筑同样宽的两条道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540m2,求道路的宽为多少？,还有其他方法吗？,2032-32x-20 x+x2=540.,探究新知,解：设道路的宽
9、为 x 米.,(32-x)(20-x)=540.,整理，得x2-52x+100=0.解方程，得（x-50)(x-2）=0.,即 x1=2,x2=50.,当x=50时，32-x=-18,不合题意，舍去.,取x=2.,答：道路的宽为2米.,方法二:,探究新知,在宽为20m,长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540m2,求这种方案下的道路的宽为多少？,解：设道路的宽为 x 米.,(32-x)(20-x)=540.,可列方程为,变式一,探究新知,20,32,x,x,x,20-x,如图，在宽为20m,长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路,余下的部分种上草坪,要
10、使草坪的面积为540m2,求这种种方案下的道路的宽为多少？,解：设道路的宽为 x 米.,(32-2x)(20-x)=540.,可列方程为,变式二,32-2x,探究新知,20,32,x,x,x,x,20,32,2x,2x,32-2x,20-2x,如图，在宽为20m,长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540m2,求这种方案下的道路的宽为多少？,解：设道路的宽为 x 米,(32-2x)(20-2x)=540.,可列方程为,变式三,探究新知,在宽为20m,长为32m的矩形地面上修筑四条道路,余下的部分种上草坪，如果横、纵小路的宽度比为3：2，且使小路所占面积是矩形面积的四分之一,求道路的宽为多少？,变式四,探究新知,小路所占面积是矩形面积的四分之一,剩余面积是矩形面积的四分之三,解:设横、竖小路的宽度分别为3x、2x，于是可列方程,(30-4x)(20-6x)=2030.,20,30,