1、 专题04 三角函数 易错点1 不能正确理解三角函数的定义角的终边落在直线y2x上，则sin的值为A BC D【错解】选C.在角的终边上取点P(1,2)，r|OP|，sin，故选C【错因分析】当角的终边在一条直线上时，应注意到角的终边为两条射线，所以应分两种情况处理，而错解中没有对两种情况进行讨论导致错误【参考答案】D1定义设是一个任意角，它的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，点是角的终边上任意一点，到原点的距离，那么角的正弦、余弦、正切分别是 注意：正切函数的定义域是，正弦函数和余弦函数的定义域都是.2三角函数值在各象限内的符号三角函数值在各象限内的符号口诀：一全正、二正弦、三正切、四余
2、弦1在平面直角坐标系中，点是角终边上的一点，则等于A B C D【答案】A【解析】点是角终边上的一点，从而，故选A.【名师点睛】本题考查主要考查三角函数的定义以及二倍角的正切公式的应用，意在考查综合运用所学知识解答问题的能力，属于中档题.易错点2 利用同角三角函数基本关系式时忽略参数取值已知cost，求sin、tan的值【错解】当0t1时，为第一或第四象限角.为第一象限角时，sin，tan；为第四象限角时，sin，tan.当1t0时，为第二或第三象限角.为第二象限角时，sin，tan；为第三象限角时，sin，tan.综上，.【错因分析】上述解法注意到了的余弦值含有参数t，根据余弦函数的取值范围
3、对t进行分类讨论，但上述讨论不全面，漏掉了很多情况，如t1，t0，t1.【试题解析】当t1时，sin0，tan0；当1t0时，为第二或第三象限角.若为第二象限角，则sin，tan；若为第三象限角，则sin，tan.当t0时，sin1，tan不存在或sin1，tan不存在当0t0)来确定；的确定：由函数yAsin(x)k最开始与x轴的交点(最靠近原点)的横坐标为 (即令x0，x)确定.函数的图象向右平移个单位长度误写成.（1）三角函数图象变换是高考的一个重点内容解答此类问题的关键是抓住“只能对函数关系式中的变换”的原则.（2）对于三角函数图象平移变换问题,其平移变换规则是“左加右减”,并且在变换
4、过程中只变换其中的自变量,如果的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向,另外,当两个函数的名称不同时,首先要将函数名称统一,其次要把变换成,最后确定平移的单位,并根据的符号确定平移的方向.易错点5 注意符号对三角函数性质的影响已知函数f(x)2cos.（1）求f(x)的单调递增区间；（2）若x，求f(x)的最大值和最小值【错解】（1）由0得，x，f(x)的单调递增区间为.（2）1cos1，f(x)max2，f(x)min2.【错因分析】（1）忽略了函数f(x)的周期性；（2）忽略了x，对函数f(x)的最值的影响【参考答案】（1）函数的单调递增区间为4k，4k(kZ)；（2）
5、f(x)max2，f(x)min.1三角函数定义域的求法求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解.2求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目及求解方法（1）形如y=asinxbcosxk的三角函数化为y=Asin(x)k的形式，再求值域(最值)；（2）形如y=asin2xbsinxk的三角函数，可先设sinx=t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；（3）形如y=asinxcosxb(sinxcosx)c的三角函数，可先设t=sinxcosx，化为关于t的二次函数求值域(最值)3三角函数单调性问题的常见类型及解题策略（1）已知三角函数解析式求
6、单调区间：求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；求形如y=Asin（x）或y=Acos（x）（其中，0）的单调区间时，要视“x”为一个整体，通过解不等式求解但如果0，a0两种情况进行讨论（3）在解答本题时，误认为正切函数图象的对称中心的坐标是(k，0)(其中kZ)，但由正切函数的图象发现：点(k，0)(其中kZ)也是正切曲线的对称中心，因此正切函数图象的对称中心的坐标是(，0)(其中kZ) 易错点6 三角恒等变换中忽略角的范围致误已知、为三角形的两个内角，cos，sin（），则A B C D【错解】选C.0，cos，sin.又sin（），cos
7、（）sinsin（+）sin（）coscos（）sin.又00,0）的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.如下图.五点作图法：找五个关键点，分别为使y取得最小值、最大值的点和曲线与x轴的交点.其步骤为： 先确定最小正周期T=,在一个周期内作出图象； 令,令X分别取0，,求出对应的x值，列表如下：由此可得五个关键点； 描点画图，再利用函数的周期性把所得简图向左右分别扩展，从而得到的简图.（2）函数（A0,0）的性质：奇偶性：时，函数为奇函数；时，函数为偶函数. 周期性：存在周期性，其最小正周期为T= .单调性：根据y=sint和t=的单调性来研究，由得单调增区间；由得单调减
8、区间. 对称性：利用y=sin x的对称中心为求解，令，求得x. 利用y=sin x的对称轴为求解，令，得其对称轴.三、三角恒等变换1两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）：（2）：（3）：（4）：（5）：（6）：2二倍角公式（1）：（2）：（3）：公式的常用变形：（1）；（2）降幂公式：；（3）升幂公式：；（4）辅助角公式：，其中，3半角公式（1）（2）（3）此公式不用死记硬背，可由二倍角公式推导而来，如下图：四、正、余弦定理及解三角形1正弦定理（1）内容：在中，若角A，B，C对应的三边分别是a，b，c，则各边和它所对角的正弦的比相等，即.正弦定理对任意三角形都成立（2）常见变形： 正弦定理
9、的推广：，其中为的外接圆的半径.1正弦定理解决的问题（1）已知两角和任意一边，求其他的边和角；（2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角2在中，已知，和时，三角形解的情况2余弦定理（1）内容：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即（2）从余弦定理，可以得到它的推论：.1余弦定理解决的问题（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角2利用余弦定理解三角形的步骤3三角形的面积公式设的三边为a，b，c，对应的三个角分别为A，B，C，其面积为S.（1） (h为BC边上的高)；（2）；（3）(为三角形的内切圆半径)1（201
10、8年新课标I卷）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，且，则A B C D【答案】B【解析】根据题意，可知三点共线，从而得到，因为，解得，即，所以，故选B.【名师点睛】该题考查的是有关角的终边上点的纵坐标的差值的问题，涉及到的知识点有共线的点的坐标的关系，余弦的倍角公式，余弦函数的定义式，根据题中的条件，得到相应的等量关系式，从而求得结果.2（2018年新课标卷）若，则A B C D【答案】B【解析】.故答案为B.3（2018新课标全国理科）在中，则ABC D【答案】A【解析】因为所以，选A.【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理，结合
11、已知条件，灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.4（2018新课标全国理科）的内角的对边分别为，若的面积为，则ABCD【答案】C【解析】由题可知，所以，由余弦定理，得，因为，所以，故选C.5（2017新课标卷理）已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+)，则下面结论正确的是A把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D把
12、C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2【答案】D【名师点睛】对于三角函数图象变换问题，首先要将不同名函数转换成同名函数，利用诱导公式，需要重点记住；另外，在进行图象变换时，提倡先平移后伸缩，而先伸缩后平移在考试中也经常出现，无论哪种变换，记住每一个变换总是对变量而言.6（2018天津理科）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数 A在区间上单调递增 B在区间上单调递减C在区间上单调递增 D在区间上单调递减【答案】A【解析】由函数图象平移变换的性质可知：将的图象向右平移个单位长度之后的解析式为.则函数的单调递增区间满足，即，令可得一
13、个单调递增区间为.函数的单调递减区间满足：，即，令可得一个单调递减区间为：.故选A.【名师点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7（2017山东卷理）在中，角A，B，C的对边分别为，若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是A B C D【答案】A【解析】由题意知，所以，选A.【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和与差的三角函数公式进行恒等变形. 首先用两角和的正弦公式转化为含有A，B，C的式子，再用正弦定理将角转化为边，得到.解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视.8若角的终边在直线
14、上，且，则和的值分别为A BC D【答案】D 【解析】角的终边在直线上，且，所以终边在第二象限，在终边上取一点，则，故选D9设为锐角，若cos（），则sin的值为A B C D【答案】B 【解析】因为为锐角，且，所以，所以，故选B.10已知函数，则是A最小正周期为的奇函数 B最小正周期为的偶函数C最小正周期为的奇函数 D最小正周期为的偶函数【答案】D 【解析】因为，所以，是偶函数，最小正周期为，故选D.11函数（其中，）的一部分图象如图所示，将函数上的每一个点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象表示的函数可以为A BC D【答案】A【解析】由题意得，选A.【名师点睛】已知函数的图象
15、求解析式：(1).(2)由函数的周期求(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求.12在中，角的对边分别为，若，则A B C D【答案】D【解析】由正弦定理角化边可得：，且，结合余弦定理有：，则，利用两角和的余弦公式可得：.本题选择D选项. 13（2018新课标II卷理）已知，则_【答案】【名师点睛】三角函数求值的三种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.(3)给值求角：
16、实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.14（2018北京理科）设函数f（x）=，若对任意的实数x都成立，则的最小值为_【答案】【解析】因为对任意的实数x都成立，所以取最大值，所以，因为，所以当时，取最小值为.15（2018新课标全国理科）函数在的零点个数为_【答案】【解析】，由题可知，或，解得,或，故有3个零点.16在中，内角A,B,C所对边的边长分别是a,b,c.已知若的面积等于，则的值为_【答案】4【解析】由余弦定理，得 又的面积等于，所以，得，联立得方程组解得所以.17（2017浙江卷） 已知函数（1）求的值（2）求的最小正周期及单调递增区间【答案】（1）2
17、；（2）最小正周期为，单调递增区间为【解析】（1）由，得（2）由与得所以的最小正周期是由正弦函数的性质得，解得，所以，的单调递增区间是【名师点睛】本题主要考查了三角函数的化简，以及函数的性质，是高考中的常考知识点，属于基础题，强调基础的重要性；三角函数解答题中，涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等考点时，都属于考查三角函数的性质，首先应把它化为三角函数的基本形式即，然后利用三角函数的性质求解18（2018浙江）已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（）（1）求sin（+）的值；（2）若角满足sin（+）=，求cos的值【解析】（1）由角的终边过点得，所以.（2）由
18、角的终边过点得，由得.由得，所以或.19（2018江苏）已知为锐角，（1）求的值；（2）求的值【解析】（1）因为，所以因为，所以，因此，【名师点睛】三角函数求值的三种类型（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数（2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异一般有如下两种思路：适当变换已知式，进而求得待求式的值；变换待求式，便于将已知式的值代入，从而达到解题的目的（3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，进而确定角20（2018新课标全国理科）在平面四边形中，.（1）求；（2）若，求.【解析】（1）在中，
19、由正弦定理得.由题设知，所以.由题设知，所以.（2）由题设及（1）知，.在中，由余弦定理得.所以.21（2018北京理科）在ABC中，a=7，b=8，cosB=（1）求A；（2）求AC边上的高【解析】（1）在ABC中，cosB=，B（，），sinB=由正弦定理得=，sinA=B（，），A（0，），A=（2）在ABC中，sinC=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA=如图所示，在ABC中，sinC=，h=，AC边上的高为22已知函数.（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；（2）在中，三内角的对边分别为，已知函数的图象经过点， 成等差数列，且，求的值.【解析】（1），因此，最小正周期为.由（）可解得：（），所以的单调递增区间为：（）.（2）由可得或（），.又成等差数列，而，._