1、向量空间维数的定义,主要内容,向量在基下的坐标,向量的运算,第 二 节 维数、基与坐标,向量空间同构,在第四章中,我们用线性运算来讨论 n 维数组,这些概念和性质.,性空间中的元素仍然适用.,以后我们将直接引用,有关的性质只涉及线性运算,因此,对于一般的线,组合、线性相关与线性无关等等.,这些概念以及,向量之间的关系,介绍了一些重要概念,如线性,一、向量空间维数的定义,在第四章中我们已经提出了基与维数的概念,的主要特性,特再叙述如下.,这当然也适用于一般的线性空间.,这是线性空间,定义 2 在线性空间 V 中,如果存在 n 个元,记作 Vn.,维数为 n 的线性空间称为 n 维线性空间,个基,
2、n 称为线性空间 V 的维数.,那么,1,2,n 就称为线性空间 V 的一,线性表示.,(ii)V 中任一元素 总可由 1,2,n,(i)1,2,n 线性无关;,素 1,2,n 满足:,若知 1,2,n 为 Vn 的一个基,则 Vn,这就较清楚地显示出线性空间 Vn 的构造.,并且这组数是唯一的.,=x1 1+x2 2+xn n,何 Vn,都有一组有序数 x1,x2,xn,使,若 1,2,n 为 Vn 的一个基,则对任,可表示为,二、向量在基下的坐标,反之,任给一组有序数 x1,x2,xn,总有,组有序数来表示元素.,于是我们有,之间存在着一种一一对应的关系,因此可以用这,(x1,x2,xn)
3、T,这样,Vn 的元素 与有序数组,唯一的元素=x1 1+x2 2+xn n Vn.,定义 3 设 1,2,n 为线性空间 Vn,=(x1,x2,xn)T.,1,2,n 下的坐标,并记作,x1,x2,xn 这组有序数就称为元素 在基,=x1 1+x2 2+xn n,有序数 x1,x2,xn,使,的一个基.,对于任一元素 Vn,总有且仅有一组,例 6 在线性空间 P x 4 中,p1=1,p2=x,p3=x2,p4=x3,p5=x4 就是它的一个基.任一不超过 4 次的多项式 p=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0 都可表示为 p=a0p1+a1p2+a2p3+a3p4+a4p5,因此
4、p 在这个基下的坐标为(a0,a1,a2,a3,a4)T.,若另取一 个基,因此 p 在这个基下的坐标为,则,建立了坐标以后,就把抽象的向量 与具体,于是,=y1 1+y2 2+yn n,=x1 1+x2 2+xn n,设,Vn,有,系起来.,可把 Vn 中抽象的线性运算与数组的线性运算联,的数组向量(x1,x2,xn)T 联系起来了.,并且还,三、向量的运算,+=(x1+y1)1+(xn+yn)n,=(x1)1+(xn)n,即+的坐标是,(x1,xn)T=(x1,xn)T.,的坐标是,=(x1,xn)T+(y1,yn)T,(x1+y1,xn+yn)T,总之,设在 n 维线性空间 Vn 中取定
5、一个基,因此,我们可以说 Vn 与 Rn 有相同的结构,我们称,也就是说,这个对应关系保持线性组合的对应.,(ii)(x1,xn)T.,(i)+(x1,xn)T+(y1,yn)T;,设(x1,xn)T,(y1,yn)T,则,一一对应的关系,且这个关系具有下述性质:,空间 Rn 中的向量(x1,xn)T 之间就有一个,1,2,n,则 Vn 中的向量 与 n 维向量,Vn与 Rn 同构.,结构完全被它的维数所决定.,数相等的线性空间都同构.,从而可知线性空间的,显然,任何 n 维线性空间都与 Rn 同构,即维,U 同构.,系保持线性组合的对应,那么就说线性空间 V 与,它们的元素之间有一一对应关系
6、,且这个对应关,一般地,设 V 与 U 是两个线性空间,如果在,四、向量空间同构,同构的概念除元素一一对应外,主要是保持,义.,备,例如 Rn 中的内积概念在 Vn 中就不一定有意,Rn 中超出线性运算的性质,在 Vn 中就不一定具,凡是只涉及线性运算的性质就都适用于 Vn.,但,运算就可转化为 Rn 中的线性运算,并且 Rn 中的,线性运算的对应关系.,因此,Vn 中的抽象的线性,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束
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