1、.第八章曲线积分与曲面积分?.第一节曲线积分（一）第一类曲线积分的定义设 L 为 xOy 面内的一条光滑曲线弧，函数 f(x,y)在 L 上有界.在 L 上任意插入一点列 M1，M2，Mn1把 L 分成 n 个小段.设第 i 个小段的长度为 si.又(i,i)为第 i 个小段上任意取定的一点，作乘积f(i,i)si(i=1,2,n)，并作和ni=1f(i,i)si.若当各小弧段的长度的最大值 0 时，这和的极限总存在，且与曲线弧 L 的分法及点(i,i)的取法无关，则称此极限为函数 f(x,y)在曲线弧 L 上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分(以后我们均采用第二种名称)，记作Lf(x,y)ds
2、，即Lf(x,y)ds=lim0ni=1f(i,i)si,其中 f(x,y)叫做被积函数，L 叫做积分弧段.第一类曲线积分的性质(1)线性性设，为常数，则Lf(x,y)+g(x,y)ds=Lf(x,y)ds+Lg(x,y)ds.(2)可加性若积分弧段 L 可划分成两段光滑曲线弧 L1和 L2，则Lf(x,y)ds=L1f(x,y)ds+L2f(x,y)ds.(3)若在区域 D 上，f(x,y)1，L 为 D 内一条分段光滑曲线，l 为 L 的长度，则l=Lds.(4)设在 L 上，f(x,y)g(x,y)，则Lf(x,y)ds Lg(x,y)ds.特别地，有?Lf(x,y)ds?L|f(x,y
3、)|ds.第一类曲线积分的计算基本方法将积分弧段参数化后把曲线积分化为定积分.设 f(x,y)在曲线弧 L 上有定义且连续，(1)曲线 L 由参数方程表示的情形L 的参数方程为 x=(t)，y=(t)(t ).若(t)，(t)在,上具有一阶连续导数，且(t)2+(t)2=0，则曲线积分Lf(x,y)ds 存在，且Lf(x,y)ds=f(t),(t)(t)2+(t)2dt.(2)曲线 L 由 y=(x)(x0 x x1)表示的情形可以把这种情况看作特殊的参数方程：x=x，y=(x)(x0 x x1)，从而有Lf(x,y)ds=x1x0f(x,(x)1+(x)2dx.(3)曲线 L 由 x=(y)
4、(y0 y y1)表示的情形与(2)类似.(见讲义)(4)曲线 L 由极坐标形式 r=r()()表示的情形Lf(x,y)ds=f(r()cos,r()sin)r()2+r()2d.(5)空间曲线弧情形.(见讲义).例 1.求Lyds，其中 L 为抛物线 y2=x 上连接点 A(0,0)到点B(1,1)的曲线弧.第一类曲线积分的对称性.1积分弧段关于坐标面对称.(见讲义).2积分弧段关于变量具有轮换对称性.设分段光滑的空间曲线 对变量 x，y，z 具有轮换对称性(即轮换坐标轴的名称，曲线 的方程不变)，f(x,y,z)在 上连续，则f(x,y,z)ds=f(y,z,x)ds=f(z,x,y)ds
5、=13f(x,y,z)+f(y,z,x)+f(z,x,y)ds.例 2.设 l 为椭圆x24+y23=1，其周长为 a，则l(2xy+3x2+4y2)ds=.例 3.设 L 为球面 x2+y2+z2=1 与平面 x+y+z=0 的交线，则Lz2ds=.第二类曲线积分的定义设 L 为 xOy 面内从点 A 到点 B 的一条有向光滑曲线弧，函数 P(x,y)与Q(x,y)在 L 上有界.在 L 上沿 L 的方向任意插入一点列 M1(x1,y1)，M2(x2,y2)，Mn1(xn1,yn1)，把 L 分成 n 个有向小弧段Mi1Mi(i=1,2,n;M0=A,Mn=B).设 xi=xi xi1，yi
6、=yi yi1，点(i,i)为Mi1Mi上任意取定的点，作乘积 P(i,i)xi(i=1,2,n)，并作和ni=1P(i,i)xi.若当各小弧段长度的最大值 0 时，这和的极限总存在，且与曲线弧 L 的分法及点(i,i)的取法无关，则称此极限为函数 P(x,y)在有向曲线弧 L 上对坐标 x 的曲线积分，记作LP(x,y)dx.第二类曲线积分的物理意义在应用上，第二类曲线积分经常以向量形式出现.令向量值函数F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j，积分弧段为 L.注意到dr=dxi+dyj，若将 F 看作变力，L 看作 F 做功的路径，则LF(x,y)dr=LP(x,y)dx+Q(x,y)
7、dy表示变力 F 沿路径 L 所做的功.第一类曲线积分与第二类曲线积分的比较曲线积分积分元素积分范围是否有向典型物理意义Lf(x,y)ds弧长元素曲线弧不带方向曲线形构件的质量LF(x,y)dr有向曲线元有向曲线弧带方向变力沿曲线所做的功第二类曲线积分的性质(见讲义)线性性、可加性、有向性.第二类曲线积分的计算设 P(x,y)与 Q(x,y)在有向曲线弧 L 上有定义且连续，L 的参数方程为x=(t),y=(t).当参数 t 单调地由 变到 时，点 M(x,y)从 L 的起点 A沿 L 运动到终点 B.若(t)与(t)在以 和 为端点的闭区间上具有一阶连续导数，且(t)2+(t)2=0，则曲线
8、积分LP(x,y)dx+Q(x,y)dy 存在，且LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=P(t),(t)(t)+Q(t),(t)(t)dt.在计算时需要注意，下限 对应 L 的起点，上限 对应 L 的终点，不一定小于.例 4.计算Lxydx，其中 L 为抛物线 y2=x 上从点 A(1,1)到点B(1,1)的一段弧.两类曲线积分之间的联系平面曲线弧 L 上的两类曲线积分之间有如下联系：LPdx+Qdy=L(P cos+Qcos)ds,其中(x,y)，(x,y)为有向曲线弧 L 在点(x,y)处的切向量的方向角.类似地，空间曲线弧 上的两类曲线积分之间有如下联系：Pdx+Qdy+Rdz=(P c
9、os+Qcos+Rcos)ds,其中(x,y,z)，(x,y,z)，(x,y,z)为有向曲线弧 在点(x,y,z)处的切向量的方向角.例 5.把对坐标的曲线积分LP(x,y)dx+Q(x,y)dy 化成对弧长的曲线积分，其中 L 为沿上半圆周 x2+y2=2x 从点(0,0)到点(1,1)的曲线弧.曲线积分的应用(见讲义).1第一类曲线积分的应用.2第二类曲线积分的应用.例 6.质点 P 沿着以 AB 为直径的半圆周，从点 A(1,2)运动到点 B(3,4)的过程中受变力 F 作用(如图)，F 的大小等于点 P 与原点 O 之间的距离，其方向垂直于线段 OP，且与 y 轴正向的夹角小于2.求变力 F 对质点 P 所做的功.?见讲义第一节同步习题.