1、.第三节多元函数的极值问题(一)无条件极值二元函数的极值设函数 f(x,y)的定义域为 D，P0(x0,y0)为 D 的内点.若存在 P0的某个邻域 U(P0)D，使得对于该邻域内异于 P0的任何点(x,y)，都有 f(x,y)f(x0,y0)，则称函数f(x,y)在点(x0,y0)处有极小值 f(x0,y0)，点(x0,y0)称为函数f(x,y)的极小值点.极大值与极小值统称为极值.使得函数取得极值的点称为极值点.二元函数极值存在的必要条件设函数 z=f(x,y)在点(x0,y0)处具有偏导数，且在点(x0,y0)处有极值，则有 fx(x0,y0)=0，fy(x0,y0)=0.二元函数极值存
2、在的充分条件设函数 z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数.又 fx(x0,y0)=0，fy(x0,y0)=0，令fxx(x0,y0)=A,fxy(x0,y0)=B,fyy(x0,y0)=C,则 f(x,y)在点(x0,y0)处是否取得极值的条件如下：AC B2 0 时具有极值，且当 A 0 时有极小值；AC B2()f(x0,y0)，则可以判定点(x0,y0)是 f(x,y)的极小(大)值点.2利用二元函数极值存在的充分条件.当已知二元函数具有二阶连续偏导数，且其一阶、二阶偏导数均可计算得到时，较适合使用二元函数极值存在的充分条件来判定其极值.例 12.已知
3、函数 f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且limx0y0f(x,y)xy(x2+y2)2=1，则()(A)点(0,0)不是 f(x,y)的极值点.(B)点(0,0)是 f(x,y)的极大值点.(C)点(0,0)是 f(x,y)的极小值点.(D)根据所给条件无法判别点(0,0)是否为 f(x,y)的极值点.(二)条件极值拉格朗日乘数法(三个自变量、一个约束条件的情形)求函数 u=f(x,y,z)在条件(x,y,z)=0 下的极值，可以作拉格朗日函数L(x,y,z,)=f(x,y,z)+(x,y,z).联立等式Lx(x,y,z,)=fx(x,y,z)+x(x,y,z)=0,Ly(x,y,z,)=fy(x,y,z)+y(x,y,z)=0,Lz(x,y,z,)=fz(x,y,z)+z(x,y,z)=0,L(x,y,z,)=(x,y,z)=0.可求得 f(x,y,z)在条件(x,y,z)=0 下的所有可能极值点，然后代入u=f(x,y,z)计算得出各点的值，比较大小，从而确定极值.例 13.已知函数 z=f(x,y)的全微分 dz=2xdx 2ydy，并且f(1,1)=2.求 f(x,y)在椭圆域 D=(x,y)|x2+y24 1上的最大值和最小值.?见讲义第三节同步习题.
