1、.第二节导数与微分的计算常数和基本初等函数的导数公式(1)(C)=0,(2)(x)=x1,(3)(sinx)=cosx,(4)(cosx)=sinx,(5)(tanx)=sec2x,(6)(cotx)=csc2x,(7)(secx)=secxtanx,(8)(cscx)=cscxcotx,(9)(ax)=axlna(a 0,a=1),(10)(ex)=ex,(11)(logax)=1xlna(a 0,a=1),(12)(lnx)=1x,(13)(arcsinx)=11x2,(14)(arccosx)=11x2,(15)(arctanx)=11+x2,(16)(arccotx)=11+x2.函数
2、的和、差、积、商的求导法则设 u=u(x)，v=v(x)都可导，则(1)(u v)=u v,(2)(Cu)=Cu(C 是常数),(3)(uv)=uv+uv,(4)(uv)=uvuvv2(v=0).链式法则若 u=g(x)在点 x 可导，而 y=f(u)在点 u=g(x)可导，则复合函数 y=f(g(x)在点 x 可导，且其导数为dydx=f(u)g(x),或dydx=dydududx.例 5.设函数 u(x)，v(x)可导，利用导数定义证明u(x)v(x)=u(x)v(x)+u(x)v(x).思考利用导数定义证明(uv)=uvuvv2(v=0).微分的计算dy=f(x)dx.函数的和、差、积、
3、商的微分法则(1)d(u v)=du dv,(2)d(Cu)=Cdu(C 是常数),(3)d(uv)=vdu+udv,(4)d(uv)=vduudvv2(v=0).例 6.计算下列函数的导数.(1)y=arcsinex.(2)y=1+sinx1+cosx.(3)y=11x2.(4)f(x)可导，y=f(sin2x)+f(cos2x).例 7.设函数 g(x)可微，h(x)=e1+g(x)，h(1)=1，g(1)=2，则 g(1)等于()(A)ln3 1.(B)ln3 1.(C)ln2 1.(D)ln2 1.求一元隐函数 y(x)的导数的方法对已知方程两端同时关于 x 求导或者同时微分.例 8.
4、已知函数 y=y(x)由方程 ey+6xy+x2 1=0 确定，则y(0)=.反函数的求导法则若函数 y=f(x)在区间 Ix内单调、可导且 f(x)=0，则它的反函数 x=f1(y)在区间 Iy=y|y=f(x),x Ix 内也可导，并且f1(y)=1f(x)或dxdy=1dydx.例 9.设 y=x+sinx，求d2xdy2.求由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数(数三不要求)若函数由参数方程x=(t),y=(t)确定，(t)，(t)均二阶可导，且(t)=0，则dydx=dydt/dxdt=(t)(t),d2ydx2=ddx(dydx)=d(dydx)dt/dxdt.例 10.设x=t2+2t,y=ln(t+1),则d2ydx2=.高阶导数的计算利用求导法则逐次求导，在逐次求导的过程中寻找表达式的规律，进而归纳得出高阶导数的表达式.利用莱布尼茨公式.莱布尼茨公式若 f=uv，则f(n)=(uv)(n)=nk=0Cknu(nk)v(k).利用函数的泰勒级数.函数 f(x)在 x=x0处的泰勒级数n=0f(n)(x0)n!(x x0)n中，(x x0)n的系数为f(n)(x0)n!.例 11.求函数 f(x)=x2ln(1+x)在 x=0 处的 n 阶导数 f(n)(0)(n 3).?见讲义第二节同步习题.