1、新浪微博：考研数学高老师 1/11 第一章 函数与极限 主讲：高昆轮 第一节 映射与函数 一、函数 1.函数的概念,.,1:,02sgn,0 xyDxDyfyyxyf xxyDx xyxyxxx设 和 是两个变量是一个给定的数集,如果对于每个数变量 按照一定的对应法则 总有一个确定的数值 和它对应,则称 是 的函数 记为常称 为自变量为因变量为函数的定义域.（）构成函数的两个基本要素是 定义域和对应法则.当两个函数的定义域和对应法则完全相同时,它们才是同一个函数.（）几个重要函数：（绝对值函数）；定义1注:001,00,01,0,0.g xxxxf xxxyxyyf xg xxxxx tF x
2、 yyy t（符号函数）；（取整函数）；（分段函数）；（幂指函数）；（隐函数）；（参数方程）2.函数的几种特性（1）函数的有界性 11,.1sin1,cos1,arcsin,arctan222,3yf xXMxXf xMf xXxxxxMxXf xMf xX设在集合 上有定义 如果存在正数使得对任意的都有则称在 上有界（）常见的有界函数有,；（）对于任意正数若总存在使得则称在 上无界；（）函数的有界（无界）是针对具体区间而言的.定义2注:购课认准QQ12 57796650加QQ1257796650获取完整版资料新浪微博：考研数学高老师 2/11 （2）函数的单调性 12121212,.yf x
3、IIxxxxf xf xf xf xf xI设在区间 上有定义 如果对于区间 上任意两点 及当时,恒有（或）则称在区间 上是单调增加（或单调减少）.以后经常使用导数来判定函数在区间上的单调性定义3注:（3）函数的奇偶性 22,1,2cossinarcsintanarctanln13yf xDxDfxf xf xDfxf xf xDxxxf xfxxxxxxxf xfxy 设的定义域 关于原点对称.如果对于任一,恒有则称在 上是偶函数,如果恒有则称在 上是奇函数.（）奇奇奇,偶偶偶 奇 奇偶 偶 偶偶 奇 偶奇；（）常见的偶函数有,、；常见的奇函数有,、；（）偶函数的图形关于定义4注:,0,00
4、.xf轴对称 奇函数的图形关于原点对称,且奇函数在处若有定义 则（4）函数的周期性 ,+,.sin,cos2,tan,sinsin2.Txf x Tf xf xTf xxxxxx如果存在一个正数,使得对于任一 有则称是周期函数,称为的周期常见的周期函数有,以为周期,以 为周期定义5注:3.反函数 111111,12,3,.ffyf xDRyRxDyf xxfyyf xyf xyfxyf xyfxyxyf xxfyffxx ff xx 设的定义域为值域为,如果对于任一,有唯一确定的,使得则称为的反函数.（）单调函数必有反函数；（）有时将的反函数也写成在同一坐标系中和的图形关于直线对称 而和的图形
5、是重合的；（）定义6注:4.复合函数 ,.fggfyf uDug xDRDyfg xyf uug x设的定义域为函数定义域为,且其值域,则称为函数和的复合函数定义7 购课认准QQ12 57796650加QQ1257796650获取完整版资料新浪微博：考研数学高老师 3/11 5.初等函数,.由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合运算得到的且能用一个式子表示的函数 称为初等函数幂函数、指数函数、对数函数、三角函数及反三角函数称为基本初等函数;对以上五类基本初等函数要熟悉其图形、性质及常用变形公式.定义8注:1,.f xl ll lg xh xf xg xh x例设函数的定义域为证
6、明必存在上的偶函数及奇函数使得 1,120,1,1,1xxf xxg xefg xgf xx例设求和并作出这两个函数的图形.第二节 数列的极限 一、数列极限的定义 111 4,.2 3nnn 考查数列2,的变化趋势引例 10,.lim.,.,2,nnnnnnnnNnNxaaxnxaaxxaxx（）定义中的 是衡量必须可以任意足够小；如果对于任意给定的总存在正整数当时,恒有则称常数 是数列在时的极限,记为如果不存在这样的常数则称数列发散与 无限接近的一个标准 所以（）数列是否有极限 如果有极限其极限值为多少,跟的前有限项无关.注:定义1：1:12nxNNN思考就数列的定义回答下列问题：（）是否唯
7、一？（）是否与 构成函数关系？1,20,;30,nnnnxaNNnNxxaNNnNxacc例下列关于数列的极限是 的定义 哪些是对的,哪些是错的？如果是对的,试说明理由；如果是错的,试给出反例.（）对于任意给定的存在当时,有无穷多项使不等式成立（）对于任意给定的存在当时,不等式成立 其中 为某个正常数.二、收敛数列的性质 ,.nx如果数列收敛 那么它的极限唯一性质1（极限的唯一性）,.nnxx如果数列收敛 那么数列一定有界性质2（收敛数列的有界性）购课认准QQ12 57796650加QQ1257796650获取完整版资料新浪微博：考研数学高老师 4/11 lim,00,00.nnnnxaaaN
8、nNxx如果且（或）那么存在正整数当时候 都有（或）性质3（收敛数列的保号性）00lim,00nnnnnxxxxaaa如果数列从某项起有（或）,且那么（或）.推论,.nxaa如果收敛于那么它的任一子数列也收敛 且极限也是性质4（列与子列的关系）nnnxxx在数列中任意抽取无限多项并保持这些项在原来数列中的先后次序,这样得到的一个数列称为原数列的子数列（或子列）.注:第三节 函数的极限 000o00000000o00,;,0,.xxU xU xxxU xxxxU xxU x以 为中心的任何开区间称为点 的邻域 记作在中去掉中心 后 称为点 的去心邻域,记作；设称开区间为点 的 邻域 记作点 的去
9、心 邻域 记作这里 称为邻域半径 一、函数极限的定义 0000,0,0,0lim.xxf xxxxxf xf xaaf xxxf xA设函数在点 的某一去心邻域内有定义 如果对于任意给定的总存在使得当 满足不等式时,对应的函数值都满足不等式，则称常数 是当时的极限,记为定义1：000lim,.xxf xxf xAf xx在 处的极限是否存在 与在 处是否有定义无关注:0000000limlim.limlimlim.xxxxxxxxxxxxxxf xf xf xAf xf xA类似可定义和时的和单侧极限定理1：1,010,0,:0.1,0 xxf xxxf xxx例设证明 当时的极限不存在 ,0
10、,0,lim.xf xxXxxXf xf xaaf xxf xa设函数在大于某一正数时有定义 如果对于任意给定的总存在使得当 满足不等式时,对应的函数值都满足不等式，则称常数 是当时的极限,记为定义2：购课认准QQ12 57796650加QQ1257796650获取完整版资料新浪微博：考研数学高老师 5/11 limlim.limlimlim.xxxxxxxf xf xf xAf xf xA类似可定义和时的和单侧极限定理2：二、函数极限的性质 0lim,.xxf x如果存在 那么这极限唯一性质1（函数极限的唯一性）00lim,00,0.xxf xaMxxf xM如果那么存在常数和使得当时,有性
11、质2（函数极限的局部有界性）00lim,00,0,000.xxf xaaaxxf xf x如果且（或）那么存在使得当时,有（或）性质3（函数极限的局部保号性）0000lim,00.xxxf xf xf xaaa如果在 的某去心邻域内（或）,且那么（或）推论 0000lim,limlim.nxxnnnnxxf xxf xxxxfxfxf x如果存在为函数的定义域内任一收敛于 的数列 且那么相应的函数值数列必收敛,且性质4（函数极限与数列极限的关系）第四节 无穷小与无穷大 一、无穷小 00f xxxxf xxxx如果函数当（或）时的极限为零,那么称函数为当（或）时的无穷小.定义1：0lim,.xx
12、xf xAf xA（）其中 是无穷小定理1(无穷小与极限值的关系）:.（1）有限个无穷小的和仍是无穷小；（2）有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小；（3）有限个无穷小的积仍是无穷小注:二、无穷大 000,00,0,f xxxMXxxxXxf xf xMf xxxx设函数在 的某一去心邻域内有定义（或大于某一正数时有定义）,如果对于任意给定的正数（不论它多么大）总存在（或）对适合不等式（或）的一切对应的函数值总满足不等式那么称函数是当（或）时的无穷大.定义2：购课认准QQ12 57796650加QQ1257796650获取完整版资料新浪微博：考研数学高老师 6/11 ,110,.f xf xf xf
13、 xf x在自变量的同一变化过程中 如果为无穷大那么为无穷小;反之,如果为无穷小,且那么为无穷大定理2(无穷小与无穷小的关系）:1cos,yxxx 例 函数在内是否有界？这个函数是否为时候的无穷大？为什么？112sin0,10 xxx例证明:函数在区间内无界,但这函数不是否为时的无穷大.第五节 极限运算法则 lim,lim,limlimlimlimlimlimlimlim0.limf xAg xBf xg xf xg xABf x g xf xg xA Bf xf xABg xg xB如果那么数列对应有以上运算法则.定理1(四则运算法则）:注:0000000001,;,.1lim,limlim
14、2limlimlim3limlimlimxxxxxxxxxxxxxxxxxxf xg xf xg xf xg xf xg xf xg xf xg x例下列陈述中 哪些是对的 哪些是错的？如果是对的 说明理由 如果是错的 试给出反例（）如果存在 但不存在,那么不存在；（）如果和都不存在,那么不存在；（）如果存在,但不存在,那么 0004limlimlimxxxxxxf xg xf xg x不存在；（）如果和都不存在,那么不存在.32212lim.53xxxx例求 3223230334231 limlim.09753xxxxxxxx例（型）求（）；（型）求 2311340lim1lim.11xxx
15、xxxx 例（型）求；（型）求 0000000lim,limlim.xxxxxxyfg xyf uug xfg xxg xuyf uuufg xfg xf u设是由与复合而成,在点 的某去心邻域内有定义,若而在处连续则定理2(复合函数极限运算法则）:2335lim.9xxx例求 购课认准QQ12 57796650加QQ1257796650获取完整版资料新浪微博：考研数学高老师 7/11 第六节 极限存在准则 两个重要极限 10,2 limlim.lim.nnnnnnnnnnnnnxyzNnNxyzxzayya如果数列,满足以下条件:（）从某项起,即当时 有；（）则数列有极限,且函数对应有以上夹
16、逼准则.1.夹逼准则:注:,lim,limnnnnnnxxxx若数列单调增加 且有上界,则极限存在；若数列单调减少 且有下界,则极限存在.函数对应有以上单调有界准则.2.单调有界准则:注:100sin1lim1lim 1lim 1.xxxxxxexexx或3.两个重要极限:000lim0,lim,lim.g xBxxxxxxf xAg xBf xA若则4.幂指函数极限运算法则:3sin01 1lim 12.xxx例（型）求 012lim.xxx 例求32,22,222,.例证明数列极限存在 并求此极限 第七节 无穷小的比较 1.高阶、低阶、同阶、等价及阶的概念 lim0,lim0,0lim0,
17、2lim,3lim0,lim0,5lim1,.kocck 设且（1）若则称 是比 的高阶无穷小,记为（）；（）若则称 是比 的低阶无穷小；（）若则称 与 是同阶无穷小；（4）若则称 是 的 阶无穷小；（）若则称 与 是等阶无穷小,记为购课认准QQ12 57796650加QQ1257796650获取完整版资料新浪微博：考研数学高老师 8/11 12,3,.等价无穷小具有以下性质（）（自反性）；（）（对称性）若则；（）（传递性）若则注:222232235235221,.0;2.xo xo xo xo xo xo xxo xo xo xo xo xoxo x例判断下列等式是否正确 并说明理由（）（1
18、）；（2）（3）；（4）；（5）2.无穷小的有关基本定理 .o定理1:1111,limlim.若则定理2:201sinarcsintanarctanln 111 cos,211,1ln.xxxxxxxxexxxxx axa常用的等价无穷小有:时,；注:+30sin2lim.3xxxx例求 201tan1 sin3lim.1 sinxxxxxx例求 tansin304lim.xxxeex例求 20lncos5lim.xxx例求 232,0.xxf xxA f xxB f xxC f xxD f xx例6 设则当时,有_与 是等价无穷小 与 同价但非等价无穷小是比 高阶的无穷小 是比 低阶的无穷小
19、 购课认准QQ12 57796650加QQ1257796650获取完整版资料新浪微博：考研数学高老师 9/11 第八节 函数的连续性与间断点 一、函数的连续性 00+000000000000()limlim0,()()lim()(),()lim()(),()lim()xxxxxxxxyf xxyf xxf xf xxyf xxf xf xf xxf xf xf xxf x 设函数在点 的某邻域内有定义,如果则称点 连续.设函数在点 的某邻域内有定义,如果则称在点 连续.若则称在点 左连续.若定义1 定义2 定义3 00(),()(),(),(),(),f xf xxf xa bf xa bf
20、xa bxaxbf xa b则称在点 右连续.若在内每一点都连续 则称在内连续.若在内连续,且在处右连续,在处左连续,则称在上连续.定义4 二、函数的间断点 0000000000()():12lim()3lim()lim().().xxxxxxyf xxf xxxxxf xxxf xf xf xf xxxf x设函数在点 的某去心邻域内有定义,如果有下列三种情形之一（）在处没有定义；（）虽在处有定义,但不存在；（）虽在处有定义,且也存在,但那么在点 处不连续,点 称为的间断点 三、间断点的分类 左、右极限均存在的间断点可去间断点：左、右极限存在且相等的间断点；跳跃间断点：左、右极限都存在但不相
21、等的间断点.左、右极限中至少有一个不存在的间断点.第一类间断点：第二类间断点：四、连续函数保号性 0000,00,00f xxf xxxU xf x设在点 处连续 且（）则的某个邻域 当时,（）.2cos,010,_.2,0 xxxf xxaax例 已知函数在处连续 则购课认准QQ12 57796650加QQ1257796650获取完整版资料新浪微博：考研数学高老师 10/11 11120_.1xxef xxf xeABCD例设,则是的可去间断点 跳跃间断点 第二类间断点 连续点 213lim1nnxf xf xx例设,求的间断点,并说明间断点所属类型.第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性
22、 一、连续函数的运算法则 1.连续函数的四则运算 000,0.f xg xxf xf xg xf xg xg xxg x设在点 处连续则、（时）都在点 处连续2.复合函数的连续性 0000,.ug xxyf uug xyfg xx设在点 处连续在处连续则复合函数在点 处连续3.反函数的连续性 ,.xyyf xIxyI设在区间 上单调且连续则其反函数在对应区间 上连续且有相同单调性二、初等函数的连续性 初等函数在其定义区间内都是连续的.21,0,1234.f xRf xxRf xxxfxf x例设在 上连续 且在 上有定义 且有间断点,则下列陈述中哪些是对的,哪些是错的？如果是对的,说明理由,如
23、果是错的,给出反例.（）必有间断点；（）必有间断点；（）未必有间断点；（）必有间断点 ,02,.,0 xexf xaf xax x 例设当 取何值,函数在内是连续函数购课认准QQ12 57796650加QQ1257796650获取完整版资料新浪微博：考研数学高老师 11/11 第十节 闭区间上连续函数的性质 一 、有界性与最大值最小值定理 ,f xa bf xa b设在闭区间上连续,则在上有界且能取到最大值与最小值.定理1（有界性与最大值最小值定理）,0,f xa bf af ba bf设在闭区间上连续,且则至少存在一点,使=0.定理2（零点定理）,f xa bf af bf af ba bf
24、设在闭区间上连续,且则对于和之间的任何一个数,至少存在一点,使=.定理3（介值定理）3214100,1.xx 例证明方程在区间内至少有一个根 2,0.:,0.f xa bxyf xfyL xyLf af ba bf例设对于闭区间上的任意两点、恒有其中 为正常数 且证明 至少存在一点使 3,lim,limlim,.xxaxbf xf xf xf xa bf xf xf xa bab 例证明:若在内连续 且存在 则在内有界.:若在内连续 且和都存在（不必相等）则在内有界.这里 可以是有限数也可以是同理对更一般结论购课认准QQ12 57796650加QQ1257796650获取完整版资料新浪微博：考
25、研数学高老师 1 第一章 导数与微分 第一节 导数概念 一、导数的定义 00000limlim.xxf xxf xyfxxx 定义1:00000000limlim.hxxf xhf xf xf xfxfxhxx，注:00000000limlim.xxf xxf xf xxf xfxfxxx 右导数，左导数定义2:000.fxAfxfxA定理1:00yf xxxyf xxx若函数在处可导,则必在处连续;反之不对.定理2:,.f xIf xIfxf x如果函数在区间 上每一点都可导（端点是指单侧可导）,则称在区间 上可导,此时依然是个函数 叫做原来函数的导函数定义3:1122,0_.f xx xx
26、xnnf 例设则 322,12,1_.3,1,xxf xf xxxxABCD例设则在处左、右导数都存在左导数存在 右导数不存在左导数不存在 右导数存在 左、右导数都不存在 000003 1,lim2lim,2hhf xhf xhfxhf ahf ahfah例（）设存在问是否存在？（）设存在问是否存在？2,14,1,1xxf xf xxa baxb x例设为了使在处可导,求的值.购课认准QQ12 57796650加QQ1257796650获取完整版资料新浪微博：考研数学高老师 2 二、导数的几何意义 000000000,:.yf xxfxyf xM xf xyf xM xf xyf xfxxx在
27、点 处的导数在表示曲线在点处切线的斜率；从而曲线在点处的切线方程为 5,0,:00.,.f xfff xa afxa af xTfxT例设为偶函数 且存在 证明设是上的偶（奇）函数且可导,则是上的奇（偶）函数；设以 为周期且可导,则也以 为周期更一般的结论:6501 sin31 sin8,16,6.f xxfxfxxo xf xxyf xf例设以 为周期的连续函数,在的某邻域内满足且在处可导,求曲线在点处的切线方程 第二节 函数的求导法则 一、常数和基本初等函数的导数公式 二、四则运算求导法则 2,0.u vuvuvuvu vuvuu vuvvvv设均可导,则；三、反函数求导法则 ()()0,
28、11,.()yf xfxxydxydydyfxdx设在某区间单调可导且则其反函数在对应区间也可导且即 四、复合函数求导法则 (),(),(),.dydy duyf u ug xyf g xdxdu dxyfugxfg xgx设都可导 则复合函数也可导 且即 11ln2ln,0.yxyf xf xf x例求下列函数的导数:（）；（）其中可导,且 购课认准QQ12 57796650加QQ1257796650获取完整版资料新浪微博：考研数学高老师 3 122.34xxyxx例求的导数 sin30 xyxx例求的导数.sin,04,.,0 x xf xfxxx例已知求 000005,0,f xg xx
29、f xxf xg xxf x g xx例设函数和均在 的某一邻域有定义在 处可导,且在 处连续 试讨论在 处的可导性.61+sin,000f xF xf xxfF xxABCD例设可导,则是在处可导的_.充分必要条件 充分但非必要条件必要但非充分条件 既非充分也非必要条件 第三节 高阶导数 一、高阶导数的概念 2222,.,1.yf xfxxfxyf xd yd yddyyyydxdxdxdxyf xnf xn函数的导数仍然是 的函数 称的导数叫做函数的二阶导数,记作 或即或一般地的 阶导数就是的阶导数的导数 二、高阶导数的求法 1.利用归纳法求高阶导 ,.nyf xy先逐一求出的一、二、三阶
30、导数 若能观察出规律,就可写出的表达式 2.利用分解法求高阶导 121212,.nnnnnf xf xfxfxfxfxfxfxfx若可分解成若知道和则 11;sinsin,coscos;221!1!ln()1,1.nnnax bnax bnnnnnnnnnnnnea eaxbaaxbaxbaaxbnnaxbaaaxbaxbaxb 注:3.利用莱布尼茨公式求乘积的高阶导 00.nnnn kkkn kkknnkkuvC uvC uv 购课认准QQ12 57796650加QQ1257796650获取完整版资料新浪微博：考研数学高老师 4 23211.dxd xydyydyy 例试从导出:2121si
31、n2.1xnyxyx例求下列函数的 阶导数:（）；（）20223,.xyx ey例设求 第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 一、隐函数的导数 ,0,0,.yy xF x yyF x yxyy xy设是由方程所确定的隐函数 为求可在方程两端直接对 求导（注意）解除 即可 二、由参数方程所确定的函数的导数 ,0.ttxttyyy xtttyytxt设由参数方程所确定和均可导,且则 1,0.yyy xexyeyy例设由方程确定 求 及 223212,3.1692xy例求曲线在点处的切线方程 sin3.1 cosxa ttyy xyyat例设由参数方程所确定,求cos4.sin4xattyb
32、t例已知椭圆的参数方程为,求椭圆在相应点的切线方程 第五节 函数的微分 一、微分的定义 0000,.yf xxf xyA xoxAxyf xxxA xf xxxdydyA x 若增量可以表示为其中 是不依赖于的常数 则称在处可微称为在处的微分,记为即定义1:00000000.,.x xx xyf xxxyf xxxyf xxxdyfxxxxdxyf xxxdyfxdx 在处可微在处可导,且在处可微时,其微分若 为自变量 规定于是在处的微分又可写成定理1:购课认准QQ12 57796650加QQ1257796650获取完整版资料新浪微博：考研数学高老师 5 二、微分的几何意义 000000,.y
33、f xxdyfxdxyf xxf xyf xxf xy在点 处的微分表示曲线的在点处切线的增量,近似等于曲线在点处的增量 01:12f xxduu例 回答下列问题（）在 处的微分是不是一个函数？（）与是否相等？322,0.02yxxx 例求函数当时的微分.1 33cos,.xyexdy例设求4,12cos.dxdxdtdt例在下列等式左端括号中填入适当的函数 使等式成立.（）；（）购课认准QQ12 57796650加QQ1257796650获取完整版资料新浪微博：考研数学高老师 1 第三章 微分中值定理与导数的应用 第一节 微分中值定理 一、罗尔定理 0000000,0.f xxU xxxU
34、xf xf xf xf xfx设函数在点 的某邻域内有定义,并且在 处可导,如果对于任意的有（或）那么费马引理 1,2,3,0.f xa ba bf af ba bf如果函数满足（）在闭区间上连续；（）在开区间内可导；（）在区间端点处的函数值相等,即那么在内至少有一点使罗尔定理 11234,0,.f xxxxxfx例不用求出函数的导数 说明方程有几个实根并指出它们所在的区间1120110011020,10.nnnnnna xa xaxxxa nxa nxax例若方程有一个正根证明方程必有一个小于 的正根 123123133,:,0.f xa bf xf xf xaxxxbx xf例若函数在内具
35、有二阶导数 且其中证明 在内至少有一点,使 40,0,0,0,0.f xaaf aaff 例设在上连续,在内可导 且证明:,使 二、拉格朗日中值定理 1,2,.f xa ba ba bf bf afba如果函数满足（）在闭区间上连续；（）在开区间内可导；那么在内至少有一点使拉格朗日中值定理 ,0.f xIIf xI如果函数在区间 上连续 内可导且导数恒为,则在区间 上是一个常数函数为常数的条件 5arcsinarccos11.2xxx 例证明恒等式:（）6lim,lim.xxfxkf xaf x例设求70ln 1.1xxxxx例证明当时,80,:ln.abaabababb例设证明 购课认准QQ
36、12 57796650加QQ1257796650获取完整版资料新浪微博：考研数学高老师 2 三、柯西中值定理 1,2,3,0,.f xF xa ba bxa bFxf bf afa bF bF aF如果函数及满足（）在闭区间上连续；（）在开区间内可导；（）对任一那么在内至少有一点使柯西中值定理 90,ln.abf xa ba bba bf bf afa 例设函数在闭区间上连续 在内可导,试利用柯西中值定理,证明:使 第二节 洛必达法则 102,0;3 lim,limlim.xaxaxaxaf xF xafxFxFxfxFxf xfxF xFx（）时,函数及都趋于（或）；（）在点 的某去心邻域内
37、及都存在且（）存在（或为无穷大）则 0102lim,03lim04xaxafxFxfxFx（）使用洛必达法则要注意检查条件,如或；（）若求导后的极限不存在也不为则法则失效；（）若求导后的极限仍然是或,则可继续尝试使用洛必达法则；（）使用洛必达法则时应尽可能结合等价代换、重要极限、恒等变形等以简化运算.注:320002sin1lim.0sintan21 lim2 lim.0sinln3:1 lim02 lim,040:1 limln02 lim sectan.5xxxnnxxxnxxxxxxxxxxxxxxnnxexx nxx例求例求下列 型极限:（）；（）例求下列型极限（）（）；（）（）.例求
38、下列和型极限（）（）；（）例tan000012,1:1 lim2 lim3 limarctan.xxxxxxxxx求下列0及型极限（）；（）；（）购课认准QQ12 57796650加QQ1257796650获取完整版资料新浪微博：考研数学高老师 3 第三节 泰勒公式 一、泰勒公式 00200000000,.2!nnnf xxnxfxfxxf xf xfxxxxxxxoxxn 如果函数在 处具有 阶导数 那么存在 的一个邻域 对于该邻域内任一 有泰勒公式1 0201020000000102,.2!nnnnnf xxnf xaaxxaxxaxxoxxfxfxaf xafxaan 如果函数在 处具有
39、 阶导数且则注:泰勒公式的唯一性 01210000000001,2!1!nnnnf xxnxfxfxff xf xfxxxxxxxxxnnxx 如果函数在 的一个邻域内具有阶导数 那么对于该邻域内任一有其中 介于 与 之间.泰勒公式200,x 若取则上述泰勒公式分别又称.注:麦克劳林公式 二、几个重要函数的麦克劳林公式 2333324423322111,2!3!1sin,3!11cos1,2!4!11ln 1,23111.2!xexxxo xxxxo xxxxo xxxxxo xxxxo x 1tan3.f xx例 求的带有佩亚诺余项的 阶麦克劳林公式 30sincos2lim.sinxxxx
40、x例求 2220cos3lim.ln 1xxxexxx例求 购课认准QQ12 57796650加QQ1257796650获取完整版资料新浪微博：考研数学高老师 4 2222011124lim.cossinxxxxxex例求 25ln 1003.nf xxxxnfn例求函数在处的 阶导（）第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性 一、函数单调性的判定法 ,00,f xIIfxfxf xI设函数在 上连续 在 上满足（或）则函数在 上单调增加（单调减少）.定理1:除最多有限个点外0只有驻点 导数为 的点 和不可导点才可能成为单调区间的分界点.注:32129123.f xxxx例 确定函数的单调区间12:
41、13.xxx 例证明 当时,2 222243:lnln.abebabae例证明 当e时,4ln0 xaxa例讨论方程（其中）有几个实根？二、曲线的凹凸性与拐点 12121212(),()(),(),22f xa bx xa bxxf xf xxxff xa b 设在区间上连续,如果对,且时,恒有（）则称在上的图形是凸（凹）的.定义1:00000(),()()(),(),f xa ba bx xa bxxf xfxxxf xf xa b 设在区间上连续,在内可导,若对且时,恒有（）则称在上的图形是凸（凹）的.定义2:(),()0()0,(),f xa ba bfxfxf xa b设在区间上连续,
42、在内二阶可导,若（）则称在上的图形是凸（凹）的.定理2:00,.f xxf x连续曲线的凹与凸的分界点称为曲线的拐点定义3:0000,0.xf xyf xfxfx若是曲线的拐点 则或不存在定理3（必要条件）:购课认准QQ12 57796650加QQ1257796650获取完整版资料新浪微博：考研数学高老师 5 00000000,1,2,f xxxfxxxf xfxxxf x设在 处连续 在 的某去心邻域二阶可导.（）若在 两侧变号,则是拐点；（）若在 两侧不变号,则不是拐点.定理4（第一判别法）:000000000.10,20,f xxfxfxxf xfxxf x设在 处三阶可导,（）若,则是
43、拐点；（）若,则可能是拐点,也可能不是拐点.定理5（第二判别法）:435341.yxx例求曲线的凹凸区间及拐点 2263,.yk xk例求中 的值 使曲线拐点处的法线通过原点 1212127,0,01,11.f xa bfxa bx xtft xtxt f xtf x 例设在内二阶可导,且证明对于内任意两点及有 第五节 函数的极值与最大值最小值 一、函数的极值及其求法 00000(),.f xxxf xf xf xf xf xf xxf x设在点 的某邻域内有定义 如果对于该去心邻域内任一 有（或）那么称是函数的一个极大值（或极小值）;相应的 称为函数的一个极大值点（或极小值点）定义1:极值是
44、一个局部（邻域）概念,极大不一定是最大,极小也不一定是最小.注:000,0.xyf xfxfx若 是函数的极值点 则或不存在定理1（必要条件）:00000000,1,2f xxxfxxxfxxfxxfxxx设在 处连续 在 的某去心邻域可导.（）若在 两侧变号,则 是极值点,且若由正变负是极大值点,由负变正是极小值点；（）若在 两侧不变号,则 不是极值点.定理2（第一判别法）:00000000000.100,0,20f xxfxfxxfxxfxxfxx设在 处二阶可导,（）若,则 是极值点,且若是极小值点,是极大值点；（）若,则 可能是极值点,也可能不是极值点.定理3（第二判别法）:23141
45、f xxx例求函数的极值.购课认准QQ12 57796650加QQ1257796650获取完整版资料新浪微博：考研数学高老师 6 3323320,y xxyxyy x例已知函数由确定 求的极值.10000000000030,0.:1200nnnnf xxnfxfxfxfxnf xxnf xxfxf xfxf x例设函数在 处有 阶导数,且证明（）当 为奇数时,在 处不取极值；（）当 为偶数时,在 处取极值,且当时,为极大值,当时,为极小值.42cosxxf xeex例求函数的极值.二、最大值最小值问题(),()(,)(),(),(),.f xa bf xa bf xa bf xa bf xa
46、b求连续函数在闭区间上的最值的方法第一步：求出在内的所有驻点和不可导的点；第二步：计算在上述驻点、不可导点和端点处的函数值；第三步：比较,其中最大的即为在上的最大值,最小的即为在上的最小值 000()(,),(),f xa bxxxf xa b设连续函数在内有唯一极值点,若是极大（小）值点则是上的最大（小）值.注:25323,4f xxx例求函数在上的最大值与最小值.61,.xaf xaaxx aax a 例设在内的驻点为问 为何值时,最小？并求出最小值 第六节 函数图形的描绘 1.铅直渐近线 limlimxaxaf xf xxa 或是铅直渐近线；2.水平渐近线 lim,xf xbxyb 当时
47、是水平渐近线；3.斜渐近线 lim0,lim,xxf xkf xkxbxykxbx 且当时是斜渐近线.2,3.xxyf xx把中的改为可得曲线在时的水平或斜渐近线注:购课认准QQ12 57796650加QQ1257796650获取完整版资料新浪微博：考研数学高老师 7 1121xyxe例求曲线的所有渐近线.第七节 曲率 32232221.,12.,13.yyy xKyxx ty xy xKyy txyRK 曲线由直角坐标方程给出 则曲率；曲线由参数方程给出 则曲率；曲率半径 1lnyx例对数曲线上哪一点处的曲率半径最小？并求出该点处的曲率半径.购课认准QQ12 57796650加QQ1257796650获取完整版资料