1、.第二节多元微分的几何应用空间曲线的切线与法平面设空间曲线 的参数方程为x=(t),y=(t),z=(t),t ,.假定(t)，(t)，(t)都在,上可导，且(t)，(t)，(t)不同时为零.曲线上一点M(x0,y0,z0)对应的参数为 t0.记 f(t)=(t),(t),(t)，t ,.由向量值函数的导向量的几何意义知，向量 T=f(t0)=(t0),(t0),(t0)是曲线 在点 M 处的一个切向量，从而曲线 在点 M 处的切线方程为x x0(t0)=y y0(t0)=z z0(t0).通过点 M 且与切线垂直的平面称为曲线 在点 M 处的法平面，它是通过点 M(x0,y0,z0)且以 T
2、=f(t0)为法向量的平面，法平面方程为(t0)(x x0)+(t0)(y y0)+(t0)(z z0)=0.曲面的切平面与法线设曲面 由方程 F(x,y,z)=0 给出，M(x0,y0,z0)是曲面 上一点，并设函数 F(x,y,z)的一阶偏导数在该点连续且不同时为零.向量n=(Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)是曲面 在点 M 的切平面的一个法向量，该切平面的方程为Fx(x0,y0,z0)(x x0)+Fy(x0,y0,z0)(y y0)+Fz(x0,y0,z0)(z z0)=0.通过点 M(x0,y0,z0)且垂直于该点处的切平面的直线称为曲面在
3、该点的法线.法线方程是x x0Fx(x0,y0,z0)=y y0Fy(x0,y0,z0)=z z0Fz(x0,y0,z0).例 10.曲面 z=x2+y2与平面 2x+4y z=0 平行的切平面的方程是.方向导数设函数 z=f(x,y)在点 P0(x0,y0)的某个邻域 U(P0)内有定义，射线l:x=x0+tcos,y=y0+tcos(t 0)以点 P0为起点，P(x0+tcos,y0+tcos)为射线 l 上另一点，且 P U(P0).若函数增量f(x0+tcos,y0+tcos)f(x0,y0)与 P 到 P0的距离|PP0|=t 的比值f(x0+t cos,y0+t cos)f(x0,
4、y0)t当 P 沿着 l 趋于 P0(即 t 0+)时的极限存在，则称此极限为函数 f(x,y)在点 P0处沿着方向 l 的方向导数，记作fl?(x0,y0)，即fl?(x0,y0)=limt0+f(x0+tcos,y0+tcos)f(x0,y0)t.梯度设函数 f(x,y)在平面区域 D 内具有一阶连续偏导数，则对于每一点 P0(x0,y0)D，都可定出一个向量 fx(x0,y0)i+fy(x0,y0)j，该向量称为函数 f(x,y)在点 P0(x0,y0)的梯度，记作 gradf(x0,y0)或 f(x0,y0)，即gradf(x0,y0)=f(x0,y0)=fx(x0,y0)i+fy(x
5、0,y0)j,其中 =xi+yj 称为(二维的)向量微分算子或 Nabla 算子，f=fxi+fyj.三元函数的梯度可类似定义.方向导数存在的充分条件若函数 f(x,y)在点 P0(x0,y0)处可微分，el=(cos,cos)是与方向 l 同向的单位向量，则fl?(x0,y0)=fx(x0,y0)cos+fy(x0,y0)cos=gradf(x0,y0)el=|gradf(x0,y0)|cos,其中 cos，cos 是方向 el的方向余弦，为梯度向量 gradf(x0,y0)与向量 el之间的夹角.对三元函数的方向导数，有类似的结论.方向导数与梯度的关系由方向导数存在的充分条件可知，当 =0
6、 时，即 el与梯度 grad f(x0,y0,z0)的方向相同时，函数f(x,y,z)沿这个方向增加最快，且在这个方向的方向导数达到最大，此时fl?(x0,y0,z0)=|grad f(x0,y0,z0)|；当 =时，即 el与梯度 grad f(x0,y0,z0)的方向相反时，函数f(x,y,z)沿这个方向减少最快，且在这个方向的方向导数达到最小，此时fl?(x0,y0,z0)=|grad f(x0,y0,z0)|；当 =2时，即 el与梯度 grad f(x0,y0,z0)的方向正交时，函数f(x,y,z)在这个方向的变化率为 0，此时fl?(x0,y0,z0)=0.例 11.设 n 是曲面 2x2+3y2+z2=6 在点 P(1,1,1)处的指向外侧的法向量，求函数 u=6x2+8y2z在点 P 处沿方向 n 的方向导数.思考(2022，一)函数 f(x,y)=x2+2y2在点(0,1)处的最大方向导数为.?见讲义第二节同步习题.