1、2003年数学（三）真题解析一、填空题（1）【答案】（2,+*）.【解】当力 HO 时 9 ff(x)=A jca_1 cos +j?A_2sin；JC JC当工=0时9由厂(0)=lim I)-/=limjrA_1 cos丄存在，得入1且十(0)=0,H-*0 x x-0 X(0,工=O9于是八乂)=1-2 1 因为 lim/()=/70)=0,所以 A 2.Ajc cos-x sin,力工 0,工。I x JC(2)【答案】4J.【解】设切点为(无()90)，令=3jc2 3a2=0,得工舟=aS由 0=云一322 6,得 b=(3a2 工約=2a$工09 故快二仏.(3)【答案】/.【解
2、】令0()=(工9夕)|0=工1，0夕一工1 9则 工)山 dy h/jjdz dy=/J dr J dy=a2 D D0(4)【答案】一1.【解】由 AB=(E(Eaaaa r r)(E)(E+aaT)=E+(laalaa 1 1 aaaa aaaaT T q/a 丿 a=E+(11aaaaT T 2aaa2aaa r r =E E +-1 2a)aa r r =E=E得-1 2a=0,解得 a=1 或 q=9 因为 a 0 JC H-0 3C故工=0为g（_z）的可去间断点，应选（D）.方法点评：本题考查函数间断点及其类型.注意如下知识点：（1）若/（）可导且为奇函数，则/（0）=0 JL
3、/（X）为偶函数；（2）若fd）可导且为偶函数，则fx）为奇函数且/70）=0.（2）【答案】（A）.【解】因为f,y）可微且在（工。，九）处取极小值，所以（乂0，o）=0,于；（Zo,$0）=0,而-j-fCjc0,y）I=于；（力0,夕0）=0,应选（A）.d_y I y=y0（3）【答案】（B）.oo oo【解】若”绝对收敛，即S山”丨收敛，n=1 n=l因为o w乜#也Wlsl，0W W w山”丨，所以由正项级数的比较审敛法得s山”严上与s 严 都收敛,n=l/n=/oo oo oo OO即 工久与一工q”都收敛，于是 工仇与 都收敛，应选（E）.=1 71=1 n=1 n=1OO o
4、o oo I I|8 I I _事实上，若工S条件收敛，则工山”丨发散，于是S S?及S 都n=1 n=1 n=1/n=1发散.（4）【答案】（C）.【解】由厂（A*）=l,得厂（A）=23,于是IA|=0.由 A|=（a+26）（tz6）2=0,得 a+2b=0 或a=b.而当a=b时，广（A）=1,故a+26=0,应选（C）.方法点评：本题考查矩阵与其伴随矩阵的秩之间的关系.X 9 r(A)n,设A为九阶矩阵9则r(A x)=5 1,r(A)=zz 1,o,r(A)sin(H2+3/2)dj?dj/*/n 2rer sin r02 dr=ire麻 2 e_r sin r2 d(r2)0=7
5、ree_/sin tdt 90e令e_z sin tdt=人，由分部积分法得o11=sin tAt0一 Jd(cos )=-el cos tcos tdt0=e_K+1 一el cos tdt e_K+1 一 oeTl d(sin t)0所以I】+1),it I 1 t _=e+1 一 e sine_z sin t dt=e-Tr+1 一 11?0D故+，f sin(工2 y2)dx dy=(en+1)=-(en+1)六、【解】方法一8 2n/(z)=1+丫(1)n=l 乙7100乙n=l(T 2)=l_*ln(l+_z2)(l Vh 1)00(_)”_n由 y(z)=0 得 工=0,1十工当
6、一 1 Vh 0；当 0 工 V 1 时,/7)0；当 0 工 C 1 时，/)0,则z=0为/(jc)的极大值点，极大值为/(0)=1.七、【解】(1)由 f(z)=y,(j?)+f(工)go=/2(x)+g2(X)=/(a-)+g(z)了 2/(jt)g(j：)=(2ex)2 2F(z),得FQ)满足的一阶微分方程为F(z)+2F(z)=4e.(2)由 F(h)+2F(工)=4疋工,得FQ)=(孑 e込clz+C)e2dj=Ce2x+孑,由 F(0)=/(0)g(0)=0,得 C-1,故 FQ)=e2x e_2x.八、【证明】因为于(工)在0,2上连续，所以于(工)在0,2上取到最小值加和
7、最大值M,于是 3m f(0)+/(1)+/X2)3M,即 m 1M.由介值定理，存在c E 0,2，使得/(c)=1.因为/Xc)=于(3)=1,所以由罗尔定理，存在 e(c,3)U(0,3)，使得=0.方法点评：本题考查介值定理及罗尔定理.设)在a，刃上连续，注意如下技巧：(1)若出现几个函数值之和时，一般对f(x)使用介值定理；(2)若出现的命题且w e a,b,般使用介值定理.九、【解】a 1+b55a2+bQ3Qi如S+b5a na n5a”+bn=(As+b)b i=in(1)当bHO且bHa,时，因为|A|H0,所以方程组只有零解；i=ln(2)当5=0或b=a(时，方程组有非零
8、解.1=1当b=0时，方程组的同解方程组为QiG a2x2+a”z”=0,不妨设5工0,则方程 组的通解为x=由A=时，+c”_ia-n50(Cj,C2,C”_i为任意常数);a3a3a”a”-1-1-15 工 2,1=1a2a30155-另a,i=l2i=l1a001000010000aia”工心1=1a2得r(A)=/i-l,因为A的每行元素之和为0,所以方程组AX=0的基础解系为(1,1,-,1)T十、【解】令人=，则 f=Xf=XT TAXAX .la0b 仁i020，x=工2b0一2丿L/2 3由A j+入 2+入 3=tr A,入1入2入3=I A|A-1(2)由 lAE-A|=0
9、-20A 2 00 入+2a=1,得 a=1,=2.、一12=2(2a+b),-2=0,得入 i=3,入2=入3=2.得当儿=一3 时，由(一3EA)x=0 即(3E+A)X=0,得=(1,0,2)丁 当入 2=入3=2 时，由(2E-A)X=(2E-A)X=0,得 2=(2,0,1厂，爲=(0,1,0)丁,因为5两两正交，所以单位化得/12010-2Y30取 2=(Yi,r2，人)=_2_V50丄V50002=0 002二次型在正交变换XQYXQY下的标准形为fXfXr rAXAXX=QY 9,.3%+2刃+2夕 3 100H、【解】当z VI时，F(h)=O；当攵8时，F(z)=l.当 1 8 时，FQ)=J：Y=F(X)的分布函数为 FY(y)=PYy-PF(X)j；,当夕 V 0 时 9 Fy(j/)=0；当夕$1时，Fy()=1；当 0 3；1 时，Fy(；y)=PF(X)Wy=P浓一 1W=PX(j/+l)3=F(jy+I)3=夕，0,j/0,于是Y的分布函数为Fy(y)=,0夕1,即YU(0,1).|1，皿 1，十二、【解】巧(“)=PUu=PX+Yu=PX=1PX+Y“|X=1+PX=2PX+YW|X=2-0.3PY W u 1+0.7PY W u 2=0.3F(zz 1)+0.7F(u 2),于是 g(“)=0.3/(zz 1)+0.If(m 2).