1、-1-2008 年考研数学（三）真题解析年考研数学（三）真题解析一、选择题(1)【答案】B【详解】0000()lim()limlim0 xxxxf t dtg xf xfx，所以0 x 是函数()g x的可去间断点(2)【答案】C【详解】00000()()()()()()aaaaaxfx dxxdf xxf xf x dx af af x dx其中()af a是矩形 ABOC 面积，0()af x dx为曲边梯形 ABOD 的面积，所以0()axfx dx为曲边三角形的面积(3)【答案】B【详解】240000(,0)(0,0)11(0,0)limlimlim0 xxxxxxf xfeefxxx
2、0011limlim1xxxxeexx，0011limlim1xxxxeexx 故(0,0)xf不存在242020000(0,)(0,0)11(0,0)limlimlimlim00yyyyyyyfyfeeyfyyyy所以(0,0)yf存在故选B.(4)【答案】A【详解】用极坐标得222()222011,()vuuf rrDf uvF u vdudvdvrdrvf r druv所以2Fvf uu.(5)【答案】C【详解】23()()EA EAAEAE，23()()EA EAAEAE.故,EA EA均可逆(6)【答案】D【详解】记1221D，则2121421ED，-2-又2121421EA，所以A
3、和D有相同的特征多项式，所以A和D有相同的特征值.又A和D为同阶实对称矩阵，所以A和D相似由于实对称矩阵相似必合同，故D正确.(7)【答案】A【详解】2max,ZZZZF zP ZzPX YzP Xz P YzF z F zFz.(8)【答案】D【详解】用排除法.设YaXb，由1XY，知道,X Y正相关，得0a，排除 A、C由(0,1),(1,4)XNYN，得0,1,EXEY所以()()E YE aXbaEXb01,ab 所以1b.排除 B.故选择D.二、填空题(9)【答案】1【详解】由题设知|0cx，所以22,()1,2,xxcf xxcxcxxc 因为 22limlim(1)1xcxcf
4、xxc，22limlimxcxcf xxc又因为()f x在(,)内连续，()f x必在xc处连续所以 limlim()xcxcf xf xf c，即2211ccc.(10)【答案】1ln32【详解】222111112xxxxfxxxxxx，令1txx，得 22tf tt所以 2 22 22 222222111ln2ln6ln2ln32222xf x dxdxxx.(11)【答案】4【详解】22221()2DDDxy dxdyx dxdyxy dxdy利用函数奇偶性21200124dr rdr.-3-(12)【答案】1yx【详解】由dyydxx，两端积分得1lnlnyxC，所以1xCy，又(1
5、)1y，所以1yx.(13)【答案】3【详解】A的特征值为1,2,2，所以1A的特征值为1,1 2,1 2，所以14AE的特征值为4 1 13 ，4 1 2 11，4 1 2 11 所以143 1 13BE .(14)【答案】112e【详解】由22()DXEXEX，得22()EXDXEX，又因为X服从参数为 1 的泊松分布，所以1DXEX，所以21 12EX ，所以21111222P Xee！.三、解答题(15)【详解】方法一方法一：22001sin1sinlimlnlimln 11xxxxxxxx32000sincos1sin1limlimlim366xxxxxxxxxx 方法二方法二：22
6、30001sincossincossinlimlnlimlim2sin2xxxxxxxxxxxxxxx洛必达法则20sin1lim66xxxx 洛必达法则(16)【详解】(I)22xdxydydzxyzdxdydz122dzx dxy dy 221x dxy dydz 1 (II)由上一问可知22,11zxzyxy，所以11221222,()()1111zzxyyxu x yxyxyxyxy-4-所以223322(1)2(1)2(12)2(12)11111xzuxxxx .(17)【详解】曲线1xy 将区域分成两个区域1D和23DD，为了便于计算继续对区域分割，最后为max,1Dxydxdy1
7、23DDDxydxdydxdydxdy11222221110002211xxdxdydxdydxxydy1512ln2ln24 19ln24(18)【详解】方法一方法一：(I)由积分的性质知对任意的实数t，202202ttttf x dxf x dxf x dxf x dx令2xu，则 202002ttttf x dxfu duf u duf x dx 所以 2020200ttttf x dxf x dxf x dxf x dxf x dx(II)由(1)知，对任意的t有 2220tf x dxf x dx，记 20af x dx，则 0()2xG xf u duax.所以，对任意的x，200
8、(2)()2(2)2xxG xG xf u dua xf u duax 22022220 xxf u duaf u dua所以 G x是周期为 2 的周期函数.方法二方法二：(I)设2()()ttF tf x dx，由于()(2)()0F tf tf t，所以()F t为常数，从而有()(0)F tF.而20(0)()Ff x dx，所以20()()F tf x dx，即220()()ttf x dxf x dx.(II)由(I)知，对任意的t有 2220tf x dxf x dx，记 20af x dx，则O0.52xD1D3D2-5-0()2xG xf u duax，20(2)2(2)xG
9、 xf u dua x由于对任意x，(2)2(2)2()G xf xaf xa，()2()G xf xa所以(2)()0G xG x，从而(2)()G xG x是常数即有(2)()(2)(0)0G xG xGG所以 G x是周期为 2 的周期函数.(19)【详解】方法一方法一：设nA为用于第n年提取(109)n万元的贴现值，则(1)(109)nnArn故1111110919102009(1)(1)(1)(1)nnnnnnnnnnnnnAArrrr设1()(1,1)nnS xnxx 因为21()()()(1,1)1(1)nnxxS xxxxxxx 所以11()()42011.05SSr(万元)故
10、2009 4203980A (万元)，即至少应存入 3980 万元.方法二方法二：设第t年取款后的余款是ty，由题意知ty满足方程1(1 0.05)(109)ttyyt，即11.05(109)ttyyt(1)(1)对应的齐次方程11.050ttyy的通解为(1.05)ttyC设(1)的通解为*tyatb，代入(1)解得180a，3980b 所以(1)的通解为(1.05)1803980ttyCt由0yA，0ty 得3980AC0C 故A至少为 3980 万元(20)【详解】(I)证法一证法一：-6-2222122121213210122122112221301240134(1)2(1)3231(
11、1)0nnnaaaaaaaaaAraraaaaaaanaanararanannnan 证法二证法二：记|nDA，下面用数学归纳法证明(1)nnDna当1n 时，12Da，结论成立当2n 时，2222132aDaaa，结论成立假设结论对小于n的情况成立将nD按第 1 行展开得221221221210212121222(1)(1)nnnnnnnaaaaDaDaaaDa Danaanana故|(1)nAna证法三证法三：记|nDA，将其按第一列展开得2122nnnDaDa D，所以211212()nnnnnnDaDaDa Da DaD222321()()nnnnaDaDaDaDa-7-即12122(
12、)2nnnnnnnnDaaDaa aaDaa D2121(2)(1)nnnnnaaDnaaD1(1)2(1)nnnnaaana(II)因为方程组有唯一解，所以由AxB知0A，又(1)nAna，故0a 由克莱姆法则，将nD的第 1 列换成b，得行列式为2221122(1)(1)112102121221122nnn nnnaaaaaaaaDnaaaaa 所以11(1)nnDnxDna(III)方程组有无穷多解，由0A，有0a，则方程组为12101101001000nnxxxx 此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为1n，所以方程组有无穷多解，其通解为10000100,TTkk为任意常数(21)【
13、详解】(I)证法一证法一：假设123,线性相关因为12,分别属于不同特征值的特征向量，故12,线性无关，则3可由12,线性表出，不妨设31122ll，其中12,l l不全为零(若12,l l同时为 0，则3为 0，由323A可知20，而特征向量都是非 0 向量，矛盾)11,A 22A32321122All，又311221122()AA llll 112221122llll，整理得：11220l-8-则12,线性相关，矛盾.所以，123,线性无关.证法二证法二：设存在数123,k k k，使得1122330kkk(1)用A左乘(1)的两边并由11,A 22A得1123233()0kkkk(2)(
14、1)(2)得113220kk(3)因为12,是A的属于不同特征值的特征向量，所以12,线性无关，从而130kk，代入(1)得220k，又由于20，所以20k，故123,线性无关.(II)记123(,)P ，则P可逆，123123(,)(,)APAAAA 1223(,)123100(,)011001 100011001P所以1100011001P AP.(22)【详解】(I)1201(0,)11112(0)(0)()122(0)22P XYP ZXP XYXP YdyP X(II)()ZFzP ZzP XYz,1,0,1P XYz XP XYz XP XYz X 1,1,01,1P YzXP Y
15、z XP YzX 1 1 01 1P YzP XP Yz P XP YzP X 1113P YzP YzP Yz1(1)()(1)3YYYFzFzFz-9-所以1()(1)()(1)3ZYYYfzfzfzfz1,1230,z 其它(23)【详解】(I)因为2(,)XN，所以2(,)XNn，从而2,EXDXn因为221()()E TE XSn221()EXE Sn221()()DXEXE Sn222211nn所以，T是2的无偏估计(II)方法一方法一：22()()D TETET，()0E T，22()1E S所以2()D TET442222()SE XXSnn4224221()()()()E X
16、E XE SE Snn因为(0,1)XN，所以1(0,)XNn，有10,EXDXn，221EXDXEXn所以22422221()()()()()E XD XEXDnXD XEXn2221()DnXD Xn2221132nnn 2422222()1ESESDSESDS因为2222(1)(1)(1)nSWnSn，所以2(1)DWn，又因为22(1)DWnDS，所以22(1)DSn,所以4211(1)1nESnn 所以22232 11111nETnn nnn 2(1)n n.方法二方法二：当0,1时-10-221()()D TD XSn(注意X和2S独立)222222221111(1)(1)DXDSDnXDnSnnnn