1、Mathemitica数学物理学报2023,43A(4):994-1002Cientiahttp:/一类（1+1）维变系数复方程的可积性研究张金玉王丹耿勇杨苗苗三(齐鲁工业大学（山东省科学院）数学与统计学院济南2 50 353)摘要：该文基于双Bell多项式与Hirota双线性算子之间的关系，研究了一类（1+1）维变系数复方程的可积性首先通过适当的变换，构造出方程的双线性表达式、双线性Backlund变换，又通过Hopf-Cole变换得到方程的Lax对，从而证明该方程具有Lax可积性.关键词：（1+1）维变系数复方程；Bell多项式；Hirota双线性形式；Backlund变换；Lax对.MR
2、(2010）主题分类：35Q55中图分类号：0 17 5.2 9文章编号：10 0 3-3998(2 0 2 3)0 4-994-0 9王晓丽*文献标识码：A1引言非线性科学是继量子理论和相对论之后2 0 世纪自然科学的重大发展孤子理论作为非线性科学重要组成部分已经广泛应用于流体力学、等离子体物理、非线性光学等物理学领域内，引起了许多数学家和物理学家的关注可积性是孤子理论的一个重要研究内容，研究非线性方程的可积性有助于人们分析和理解它所反映的自然现象 1-4 非线性方程的可积性定义目前尚无定论，但通常可以通过精确解、对称性、Backlund变换、Lax对等来描述迄今为止，人们已经提出并发展了许
3、多研究非线性方程可积性的方法，例如反散射变换法 5-8 、Darboux变换法 9-11、Backlund变换法 12-14、截断Painlev展开法 15-18 、Hirota双线性法 19-2 4 等其中，Hirota双线性法是研究方程可积性一种直接有效的方法，这一方法与 Bell 多项式紧密联系。Bell 多项式是1934 年 Bell 首次提出的 2 5,随后 Lambert26-27等建立了Bell多项式和Hirota双线性算子之间的联系，为求解方程的双线性形式提供了很大便利。近年来，范恩贵教授等 2 2,2 8-34 基于Bell 多项式方法研究了非等谱和变系数非线性演化方程的双线
4、性Backlund 变换、Lax对，验证了方程的可积性.本文的目的是基于Bell多项式研究一类（1+1)维变系数复方程iut+auaa+ipuaaa+alulu+3iplulua=0,收稿日期：2 0 2 2-0 8-2 6；修订日期：2 0 2 3-0 4-10E-mail:;基金项目：国家自然科学基金（12 2 7 50 17）、山东省自然科学基金（ZR2019PA020，ZR 2 0 2 0 M A 0 49）和齐鲁工业大学(山东省科学院）（2 0 2 2 PX092)Supported by the NSFC(12275017),the NSFSD(ZR2019PA020,ZR2020
5、MA049)and the QLU(2022PX092)*通讯作者(1.1)No.4其中是关于变量和t的函数，lul=uu*，表示复共轭，是任意常数该方程可用于描绘等离子体物理、流体动力学、非线性光学中的超短脉冲、非线性传输、非线性晶格的动力学演化等众多物理现象当=0，=1，=2 时，该方程是著名的自聚焦复mKdV方程(1.2)复mKdV方程用来描述短脉冲在光纤中的传播 35.扎其劳教授等 36-37 研究了方程（1.2)的Lax对、无穷守恒律，利用Darboux矩阵方法构造了该方程的广义Darboux变换，并得到了N阶怪波解。当=1，=0,=1时，该方程为经典的薛定谔方程(1.3)薛定调方程
6、通常用来描述非线性介质中缓变波包和一般小振幅的演化 38 前人已经研究了该方程的Backlund 变换、Lax对、无穷守恒律和孤子解等可积性 2 0 本文主要目的是运用Bell多项式和Hirota双线性方法研究方程（1.1）的双线性形式、双线性Backlund变换和Lax 对.张金玉等：一类（1+1)维变系数复方程的可积性研究ut+uaa+6|ul2 ua=0.iut+uaa+lul u=0.9952双线性算子与Bell 多项式的定义及性质在本节中，我们将简单地介绍Hirota 双线性算子和Bell 多项式的定义和性质 2 2,34,39-40 .定义2.1Hirota双线性算子定义为DPDP
7、.DPn Drf(X,t)g(X,t)121c1Xn其中 p1,P2,Pn，r 是非负整数，f是关于X和t的函数，g是关于 X和 t的函数,X=(a1,a2,.,an),X=(ri,a2,.,an).定义2.2 Bell 多项式又称为Y-多项式，定义为其中=(a,n)是定义在 C 上的 n元函数，=1,n,a=(ri=0,.,n1;.;rt=0,.,nt).例如，当=(,t)时，对应的二维Y-多项式为Yr,t=pr,t+papt,Y2r,t=p2r,t+2apt+2pa,tpr+pt.定义2.3双Bell多项式又称为-多项式，定义为其中pria1,riat=P12PntUria1,rtat,如
8、果r1+.+r为奇数,如果r1+.+ri为偶数.P2f(X,t)g(X,t)|x=x,t=t,=e-ari.r;e,(2.1)(2.2)1(2.3)996这里=(a1,an）和 w=w(a1,an）是 C 上的 n元函数.例如，当=(,t)和w=w(,t)时，对应的-多项式为Ve(e,w)=a，V2 a (u,w)=+W2 a,Y3(u,w)=v+3vaW2a+V3a,Yr,t(v,w)=VaUt+Wa,t:定义2.4P-多项式定义为例如，当w=w(c,t)时，对应的 P-多项式为P2(w)=W2a，Pr,t (w)=Wa t，I性质2.1Y-多项式在Hopf-Cole变换u=ln之下可线性化
9、Ynia,ian(.)/u=ln t=性质2.2-多项式与Hirota双线性D-算子之间的关系为Ymaman u=n(G/F),=n(GF)=(GF)-D.D.F,其中n1+n+.+ni1.当G=F时，=0,w=2lnF,方程(2.8)可以写为Pna1.an(2 n F)=-2.D.F.性质2.3-多项式可以分为P-多项式和Y-多项式的组合形式数学物理学报Pa(u)=wa+3uiz.Vol.43A(2.4)(2.5)(2.6)(2.7)(2.8)(2.9)n1ni+.+ntri=o其中n1+n2+.+ni为偶数.例如，当=(a,t)=ln,=q(c,t)时，-多项式可以分为-多项式和-多项式的
10、组合Y(u,U+q)=Po(q)Yr(u),V2(v,U+q)=Po(q)Y2(u)+P2(q)Yo(u),Jt(u,U+q)=Po(q)Yt(u),Y3(u,U+Q)=Po(q)Y3a(u)+3P2a(q)Ya(u),(2.11)其中 Po(g)=1,Yo(u)=1.注2.1性质2.1和2.3在推导方程的Lax对时起到重要作用.nri=0i=qniTi(2.10)No.43方程的可积性研究3.1双线性表达式定理3.1作变换=号可得方程（1.1)的双线性表达式为(iDt+D+iD)g f=0,其中f是实函数，g是复函数，g*是g的共轭.证做变换u=e,其中是关于和t的函数，将其代入方程(1.1
11、),得到it+a(o+Ua)+i(u+30aU+v3a)+ave+*+3iuae+=0,引入辅助变量W得到ivt+(u2+Waa)-(w-v)aa+i(u+3wa Waa+V3a)-3ipua(w-)a+ave+3ipe+=0,其中w是关于和t的函数应用公式（2.4)和(2.6),方程(3.3)可写为如下-多项式与P-多项式的形式(3.4a)P2a(w-u)=e+o*.(3.4b)最后，结合性质2.2，做变量变换U=ln可以得到方程（1.1）的双线性形式(iDt+D+iD)gf=0,D2f f=gg*.证毕.3.2双线性Backlund变换定理3.2 令u=予，u=为方程(1.1）的两个不同解
12、，可以得出方程（1.1)的双线性Backlund 变换为iDt+D+iiDt+D2+iB(张金玉等：一类（1+1)维变系数复方程的可积性研究D2f f=gg*,iVt(v,w)+V2a(v,w)+iV3r(V,w)=0,w=ln(gf),3D3D432D3D4997(3.1)(3.2)(3.3)(3.5)(3.6a)(3.6b)g=0,f=0,Daf.f=gg,998其中f,f为实函数，9,g 为复函数.证假定=ln，w=l n(g f），=l n，w =l n(g f ）是方程（3.4）的两个不同解，则我们有ilt(u,w)+ay2r(u,w)+iBy3a(u,w)-iyt(v,w)+aY2
13、r(v,w)+iY3r(v,w)=0,(3.7)(3.8)应用(2.4)和(2.6)，(3.7)和(3.8)式可以写成i(u-)t+(+a)(u-Va)+(w-w)aal+i(s+a)(ag-a)+号(0 +)(w-w)2a3为求出方程（1.1)的双线性Backlund变换，考虑引入混合变量U1=lnWi=ln(gg),w2=ln(ff),w3=ln(fg),w4=ln(gf).我们得到以下关系式-=U1-V2=W4-W3,w-W=U1+V2=V3+U4,+*=-3+1-2，+*=-s +2 i,U=2-V3=V4-U1.那么(3.9)和(3.10)式改写为i(v1-v2)t+(v4-V3)(
14、u1-v2),+(u3+V4)2al+i/+(4-v3)(1-v2)a+号(4-v3)(v3+04)2a+332(u2 a=e-s(eu2-ut选取约束条件eu1-u2,32数学物理学报Pa(w-)-Pa(w-)-e+e+=0.3+2(-w)2a(e-)2a=e+e+*g,U2=1nVol.43A+W)=0,(3.10),U3=ln,U4=lnu+U=W1-W2=V4-V3,w+w=W1+w2=W3+W4,(u1-v2)3a+(u1-2)j31-V2U2-U12e(3.9)(3.11)(3.12)/=0,(3.13)(3.14)(3.15)通过共轭关系，把(3.15)式代入(3.14)式得到(
15、v2),=e0-3.运用(3.11)和(3.12)式定义的变量关系，在条件(3.15)的约束下，经过大量计算，方程(3.13)化为i(1-2)t+(1)+(w1)2-(v2)-(w2)2+i(1)3+3(1)(w1)2a+(u1)2 a+3(u2)(u2)a(2)(3.16)32U1一V2）=0.4(3.17)No.4即iv1,t+(ui,+w1,ar)i 2,+(z2,+w2,a)+ip把(3.18)、(3.15)和(3.16)式写成V-多项式形式ilt(v1,wi)+y2(vi,wi)+i(1,W1)iVt(v2,W2)+V2(v2,W2)+iV3(V2,W2)V(u3,W3)=eU1-0
16、22e张金玉等：一类（1+1)维变系数复方程的可积性研究+(ui,+3u1,rW1,a+U1,3a)y399932V1,a43V2,=0.433240,W20,(3.18a)(3.18b)(3.19a)(3.19b)(3.19c)y(U4,W4)二2e2-V1(3.19d)V(u2,w2)=es-v3.结合性质2.2 可得方程（1.1)的双线性Backlund变换32iDt+D+iD332iDt+D?+ipD3(3.19e)二04D&4f=0,Daf.f=g*g.证毕.3.3Lax 对定理3.3大方程(1.1)的 Lax对为MN(3.20)其中2+M：B2N245u2321000证设（u,w）
17、，（u,w）是方程(3.4)的两个不同解，运用(3.12)式中的式子4=U1+和U3=V2U,将其代入(3.15)式可得(3.21a)2(u2)a=Ua+U1-U22借助Hopf-Cole变换i=ln1和V2=lnb2,分别代入(3.2 1)和(3.18)式可得方程的Lax对为数学物理学报(u1)=-Ux+2V1Vol.43A(3.21b)(3.22)其中2M=心22A:一Q2B2+3Waa+20aa+),2(2+3wa-2a+2).2结合(3.4)式可验证相容性条件Mt-N+M,M=0成立由(3.1)和(3.4b)式分别得出u=ln u,Waa=gr-N+(u3+3uaWaa+v+2a)Wa
18、号+lulm，将其代入(3.2 2)式可得Lax对(3.2 0）式。证毕4结论本文研究了一类（1+1）维变系数复方程，当取定系数后，该方程可以返回到著名的复mKdV方程和经典的薛定谔方程我们基于Bell多项式求出了该方程的双线性形式、双线性Backlund变换和Lax对，验证了该方程的Lax可积性非线性方程的可积性是孤立子研究的一个核心问题之一研究非线性方程的可积性为解释等离子体、光学、流体力学中的物理现象开辟了一条新途径.参考文献1 Li L,Duan C N,Yu F J.An improved Hirota bilinear method and new application for
19、a nonlocal integrablecomplex modified Korteweg-de Vries(MKdV)equation.Phys Lett A,2019,383:1578-15822 Zhang Y P,Liu J,Wei G M.Lax pair,auto-Backlund transformation and conservation law for a generalizedvariable-coeficient KdV equation with external-force term.Appl Math Lett,2015,45:58-633 Jia T T,Ga
20、o Y T,Yu X,et al.Lax pairs,infinite conservation laws,Darboux transformation,bilinearforms and solitonic interactions for a combined Calogero-Bogoyavlenski-Schiff-type equation.Appl MathLett,2021,114:1067024 Lv X,Hua Y F,Chen S J,et al.Integrability characteristics of a novel(2+1)-dimensional nonlin
21、ear model:Painleve analysis,soliton solutions,Backlund transformation,Lax pair and infinitely many conservationlaws.Commun Nonlinear Sci,2021,95:105612No.4张金玉等：一类（1+1)维变系数复方程的可积性研究10015 Ablowitz M J,Clarkson P A.Soliton,Nonlinear Evolution Equations and Inverse Scatting.Cambridge:Cambridge Universit
22、y Press,19916 Fang F,Hu B B,Zhang L.Inverse scattering transform for the generalized derivative nonlinear Schrodingerequation via matrix Riemann-Hilbert problem.Math Probl Eng,2022:Article ID 39673287 Butler S,Joshi N.An inverse scattering transform for the lattice potential KdV equation.Inverse Pro
23、bl,2010,26:1150128 Gao X D,Zhang S.Inverse scattering transform for a new non-isospectral integrable non-linear AKNSmodel.Therm Sci,2017,21:S153-S1609谷超豪，胡和生，周子翔。孤立子理论中的达布变换及其几何应用。上海：上海科学技术出版社，1999Gu C H,Hu H S,Zhou Z X.Darboux Transformation in Soliton Theory and Geometric Application.Shanghai:Shan
24、ghai Science and Technology Press,19991o Mikhailov A V,Papamikos G,Wang J P.Darboux transformation for the vector sine-Gordon equationand integrable equations on a sphere.Lett Math Phys,2016,106(7):973-99611 Feng L L,Yu F J,Li L.Darboux transformation for coupled non-linear Schrodinger equation and
25、itsbreather solutions.Z Naturforsch,2016,72(1):1-712 Miura M R.Backlund Transformation.Berlin:Springer,197813 Rogers C,Shadwick W F.Backlund Transformations and Their Applications.New York:Academic Press,198214 Huang Y.New no-traveling wave solutions for the Liouville equation by Backlund transforma
26、tion method.Nonlinear Dynam,2013,72:87-9015 Zeng Z F,Liu J G.Multiple soliton solutions,soliton-type solutions and hyperbolic solutions for theBenjamin-Bona-Mahony equation with variable coefficients in rotating fluids and one-dimensional trans-mitted waves.Int J Nonlin Sci Num,2016,17(5):195-20316
27、Wu H L,Chen Q Y,Song J F.Backlund transformation,residual symmetry and exact interaction solutionsof an extended(2+1)-dimensional Korteweg-de Vries equation.Appl Math Lett,2022,124:10764017 Wei G M,Gao Y T,Hu W,et al.Painlev analysis,auto-Backlund transformation and new analyticsolutions for a gener
28、alized variable-coefficient Korteweg-de Vries(KdV)equation.Eur Phys J B,2006,53:343-35018 Ma Y X,Tian B,Qu Q X,et al.Backlund transformations,kink soliton,breather-and travelling-wavesolutions for a(3+1)-dimensional B-type Kadomtsev-Petviashvili equation in fluid dynamics.Chinese JPhys,2021,73:60061
29、219 Hirota R.The Direct Method in Soliton Theory.Berlin:Springer-verlag,200420】陈登远孤子引论北京：科学出版社，2 0 0 6Chen D Y.Soliton Theory.Beijing:Science Press,200621 Shan W R,Yan T Z,Lv X,et al.Analytic study on the Sawada-Kotera equation with a nonvanishingboundary condition in fluids.Commun Nonlinear Sci Num
30、er Simulat,2013,18:1568-157522许晓革，张小媛，孟祥花Bell多项式在变系数Gargner-KP方程中的应用。量子电子学报，2 0 19，33(6)：6 7 1-679Xu X G,Zhang X Y,Meng X H.Application of Bell polynomials in variable-coefficient Gargner-KPequation.Chinese J Quantum Elect,2019,33(6):671-67923 Qin B,Tian B,Wang Y F,et al.Bell-polynomial approach and
31、 Wronskian determinant solutions for threesets of differential-difference nonlinear evolution equations with symbolic computation.Z Angew MathPhys,2017,68:11124 Tang Y N,Yuen M W,Zhang L J.Double Wronskian solutions to the(2+1)-dimensional Broer-Kaup-Kupershmidt equation.Appl Math Lett,2020,105:1062
32、8525 Bell E T.Exponential polynomials.Ann Math,1934,35:258-27726 Gilson C,Lambert F,Nimmo J,et al.On the combinatorics of the Hirota D-operators.Proceedings RoyaSoci London Seri A-MPS,1996,452(1945):223-23427 Pelinovsky D,Springael J,Lambert F,et al.On modified NLS,Kaup and NLBq equations:differenti
33、altransformations and bilinearization.J Phys A:Math Gen,1997,30(24):8705-871728 Wang H,Xia T C.Bell polynomial approach to an extended Korteweg-de Vries equation.Math MethAppl Sci,2013,37(10):1476-148729 Fan E G,Chow K W.Darboux covariant Lax pairs and infinite conservation laws of the(2+1)-dimensio
34、nalbreaking soliton equation.J Math Phys,2011,52:023504100230 Hon Y C,Fan E G.Binary Bell polynomial approach to the non-isospectral and variable-coefficient KPequations.Ima J Appl Math,2012,77:236-25131 Fan E G.The integrability of nonisospectral and variable-coefficient KdV equation with binary Be
35、ll poly-nomials.Phys Lett A,2011,375:493-49732 Li M,Xiao J H,Yan T Z,et al.Integrability and soliton interaction of a resonant nonlinear Schrodingerequation via binary Bell polynomials.Nonlinear Anal-Real,2013,14:1669-167933 Hu X R,Chen Y.A direct procedure on the integrability of nonisospectral and
36、 variable-coeficient mkdvequation.J Nonlinear Math Phy,2012,19:16-2634郝晓红，程智龙。一类广义浅水波KdV方程的可积性研究。数学物理学报，2 0 19,39A(3)：451-46 0Hao X H,Cheng Z L.The integrability of the KdV-Shallow Water Waves equation.Acta Math Sci,2019,39A(3):451-46035 Li Y H,Li R M,Xue B,et al.A generalized complex mKdV equation:
37、Darboux transformations andexplicit solutions.Wave Motion,2020,98:10263936 Zha Q L,Li Z B.Darboux transformation and multi-solitons for complex mKdV equation.Chinese PhysLett,2008,25:8-1137 Zha Q L.Nth-order rogue wave solutions of the complex modifed Korteweg-de Vries equation.PhysScripta,2013,87:0
38、6540138 Lu D C,Seadawy A,Arshada M.Applications of extended simple equation method on unstable nonlinearSchrodinger equations.Optik,2017,140:136-14439】高静。扩展KP方程的周期波解以及可积性质潍坊学院学报，2 0 15,15(2)：1-6Gao J.Strong stability of non-autonomous system with respect to partial variables.J Weifang Univ,2015,15(2
39、):1-640罗天琦，黄欣。Bell多项式在（2+1)维Nizhnik方程组中的应用。四川师范大学学报（自然科学版)，2 0 15,38(6)：861-866Luo T Q,Huang X.Bell Polynomials application in(2+1)-dimensional Nizhnik equations.J Sichuan NormUniv(Nat Sci),2015,38(6):861-866数学物理学报Vol.43AThe Integrability to a(1+1)Dimensional Variable CoefficientComplex EquationZhan
40、g Jinyu Wang DanGeng Yong Yang Miaomiao Wang Xiaoli(School of Mathematics and Statistics,Qilu University of Technology(Shandong Academy of Sciences),Jinan250353)Abstract:In this paper,we study the integrability of a(1+1)-dimensional variable coeficientcomplex equation based on the relationship betwe
41、en multi-dimensional binary bell polynomialand Hirota bilinear operator.Firstly,the bilinear form and bilinear Backlund transformationof the equation are constructed by appropriate transformation.Then the lax pair is obtainedby Hopf-Cole transformation,which proves that the equation is Lax integrable.Key words:(1+1)-dimensional variable coefficient complex equation;Bell polynomials;Hirotabilinear form;Backlund transformation;Lax pair.MR(2010)Subject Classification:35Q55