1、不定积分的概念与性质 第 课15课题不定积分的概念与性质课时2课时（90 min）教学目标知识技能目标：（1）理解原函数与不定积分的概念及其相互关系。（2）理解不定积分的几何意义。（3）理解不定积分的基本性质。（4）熟记基本积分公式。思政育人目标：通过引例，引出原函数和不定积分的概念，通过图形介绍不定积分的几何意义，使学生体会到数学是源于生活的；引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯；培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力。教学重难点教学重点：不定积分的概念和基本性质，不定积分的基本公式教学难点：不定积分的几何意义教学方法讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法教学用具电脑、投影仪、多媒体
2、课件、教材教学设计第1节课：考勤（2 min）知识讲解（33 min）课堂测验（10 min）第2节课：知识讲解（30 min）课堂测验（10 min）课堂小结（5 min）教学过程主要教学内容及步骤设计意图第一节课考勤（2 min）n 【教师】清点上课人数，记录好考勤n 【学生】班干部报请假人员及原因培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况知识讲解（33 min）n 【教师】讲解原函数与不定积分的概念，并通过例题介绍其应用在运动学中常常会遇到相反的问题，即已知变速直线运动的质点在时刻的瞬时速度，求质点的位移函数，即已知函数的导数，求原来的函数这种问题在自然科学和工程技术问题中都普遍存在为了便
3、于研究，引入以下定义定义1 如果在区间上，可导函数的导数为，即对任意，都有或，那么函数就称为在区间I上的原函数例如，因在变速直线运动中，所以位移函数是速度函数的原函数再如，因，所以是在上的一个原函数；因，所以是在上的一个原函数一个函数具备什么样的条件，才一定存在原函数呢？下面给出一个定理定理 如果函数在区间I上连续，那么在区间I上一定存在可导函数，使对任意都有简言之，连续函数一定有原函数由于初等函数在其定义区间上都是连续函数，所以初等函数在其定义区间上都有原函数定义2 设是函数定义在区间I上的原函数，则函数的所有原函数称为在区间上的不定积分，记作 其中，记号称为积分号，称为被积函数，称为被积表
4、达式，称为积分变量例1 求函数的不定积分解 因为，即是的一个原函数，所以例2 求函数的不定积分解 因为，即是的一个原函数，所以例3 求函数的不定积分解 当时，所以当时，所以综上所述，得到n 【学生】掌握常微分方程的基本概念n 【教师】讲解不定积分的几何意义，并通过例题介绍其应用当积分常数C取不同值时，函数的所有原函数的图形为一族曲线，称为的积分曲线族这族曲线可以由其中的任意一条曲线沿y轴方向上下平移而得到，且对应同一横坐标的点x处的切线互相平行，如图4-1所示图4-1例4 设曲线通过点且其上任意一点处的切线斜率为，求此曲线的方程解 设所求的曲线方程为，按题设，曲线上任意一点处的切线斜率为，即是
5、的一个原函数，因为，所以曲线方程为，将，代入，得因此，所求曲线方程为例5 在自由落体运动中，已知物体下落的时间为，求时刻的下落速度和下落距离解 设时刻的下落速度为，则加速度（其中g为重力加速度）因此，当时，所以于是下落速度设下落距离为，则所以，当时，所以于是下落距离n 【学生】理解不定积分的几何意义学习原函数与不定积分的概念，不定积分的几何意义。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化课堂测验（10 min）n 【教师】出几道测试题目，测试一下大家的学习情况n 【学生】做测试题目n 【教师】公布题目正确答案，并演示解题过程n 【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧通过测试，了解
6、学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象第二节课知识讲解（30 min）n 【教师】讲解不定积分的基本性质由不定积分的定义可直接推出下列性质：性质1 （1）或；（2）或n 【教师】讲解不定积分的基本积分公式，并通过例题介绍其应用由此可见，微分运算与求不定积分的运算互为逆运算根据这一性质，我们把基本导数公式表加以逆推便可得到基本积分公式（1）(k是常数)；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）以上13个基本积分公式，是求不定积分的基础，必须牢记下面举例说明积分公式（2）的应用例6 求解 例7 求解 例8 求解 下面给出积分
7、公式（5）的应用例9 求解 由导数的线性运算性质可得不定积分的线性运算法则：性质2 (k是常数，)性质3 例10 求解 例11 求解 例12 求解 例13 求解 例14 求解 例15 求解 例16 求解 利用积分公式和性质直接积分，我们称之为直接积分法利用直接积分法计算函数积分时，有时还要先对被积函数进行拆项再积分，这称之为拆项积分法n 【学生】理解不定积分的基本性质，掌握基本积分公式学习不定积分的基本性质和基本积分公式。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化课堂测验（10 min）n 【教师】出几道测试题目，测试一下大家的学习情况n 【学生】做测试题目n 【教师】公布题目正确答案，并演示解
8、题过程n 【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象课堂小结（5 min）n 【教师】简要总结本节课的要点本节课学习了原函数与不定积分的概念，不定积分的几何意义，不定积分的基本性质，基本积分公式的相关知识及其应用。课后大家要多加练习，巩固认知。n 【学生】总结回顾知识点n 【教师】布置课后作业：习题4.1总结知识点，巩固印象教学反思本节课效果不错，激发了学生的学习兴趣，并引导学生进行探究。本节课中鼓励学生主动参与活动，使其获取了积极的体验，并让学生主动提出解决问题的途径，教师则扮演学生学习的组织者、参与者、帮助者、引导者和促进者，使学生真正成为学习的主体。9目 录