1、高阶导数、隐函数与参数方程确定的函数的求导法则 第 课8课题高阶导数、隐函数与参数方程确定的函数的求导法则课时2课时（90 min）教学目标知识技能目标：（1）掌握高阶导数的定义及计算。（2）理解显函数和隐函数的定义。（3）理解由参数方程确定的函数的导数。思政育人目标：通过先求一阶导数，再逐步向上求解的方式，使学生认识到做任何事情都要一步一个脚印，没有捷径可寻，更不能一蹴而就，培养学生脚踏实地的做事态度；引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯；培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；树立学生实事求是、一丝不苟的科学精神。教学重难点教学重点：高阶导数的概念、显函数和隐函数的定义教学难点：高
2、阶导数的计算教学方法讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学设计第1节课：考勤（2 min）知识讲解（33 min）课堂测验（10 min）第2节课：知识讲解（20 min）问题讨论（10 min）课堂测验（10 min）课堂小结（5 min）教学过程主要教学内容及步骤设计意图第一节课考勤（2 min）n 【教师】清点上课人数，记录好考勤n 【学生】班干部报请假人员及原因培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况知识讲解（33 min）n 【教师】讲解高阶导数的概念自由落体运动方程为，其在时刻的速度，但如果我们要求物体在时刻的加速度，则，即我们将称为的二阶
3、导数，记为一般地，有如下定义：定义 如果函数的导数在点处可导，即存在，则称为函数在点处的二阶导数，记作，或类似地，二阶导数的导数称为的三阶导数，三阶导数的导数称为的四阶导数，依此类推，的阶导数的导数称为的n阶导数，分别记作或或二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数为方便起见，函数本身称为零阶导数，而称为一阶导数n 【学生】掌握高阶导数的概念n 【教师】讲解高阶导数的计算，并通过例题讲解介绍其应用例1 设，求解 ，例2 设，求解 ，例3 求指数函数的n阶导数解 ，所以例4 求的n阶导数解 对，依此类推可求得用类似的方法可求得例5 求幂函数的n阶导数解 ，当时，例6 求函数的n阶导数解 ，依此类推可求
4、得若，存在n阶导数，由导数四则运算法则易知：下面求的n阶导数公式，由求导运算法则可得：，用数学归纳法可证明上述的n阶导数公式称为莱布尼兹（Leibniz）公式，这个公式可通过二项展开式公式记忆二项展开式如下：将的二项展开式等式左端用的n阶导代替，等式右边的k次幂换成k阶导，零阶导理解为函数本身，这样得的n阶导数公式（莱布尼兹公式）为例7 ，求解 令，因为，由莱布尼兹公式可得 n 【学生】掌握高阶导数的计算学习高阶导数的概念和计算。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化课堂测验（10 min）n 【教师】出几道测试题目，测试一下大家的学习情况n 【学生】做测试题目n 【教师】公布题目正确答案，
5、并演示解题过程n 【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象第二节课知识讲解（20 min）n 【教师】讲解复合函数的求导法则，并通过例题讲解介绍其应用函数表示两个实数集之间的对应关系，这种对应关系根据实际情况往往要通过不同的方式来表达例如，我们前面研究的函数和，这些函数的因变量均可以用关于自变量的代数式表示，这种函数称为显函数再如，椭圆方程，其自变量与因变量之间的对应关系通过关于，的方程，表示这种函数称为隐函数在物理学、工程技术和经济学中，变量之间的函数关系一般要通过方程表示定义1 在一个方程中，若在某一数集D内任意
6、取值都有唯一确定的y使是该方程的解，那么就称在数集D上确定了一个隐函数例1 求由方程确定的隐函数的导数解 是的函数，将方程两边同时对求导得，即，解得例2 求由方程确定的隐函数的导数解 方程两边对求导（注意是的函数）得当时，解得例3 求双曲线在点处切线方程解 方程两边同时对求导得，求得所以，双曲线在点处切线斜率为，从而所求切线方程为，化简得对于某些显函数，利用常规的方法求导很复杂，也比较难求，如幂指函数和多个函数乘除开方求导，这时我们可对函数表达式两边取对数，简化函数，再用隐函数求导方法求出函数的导数，这种求导数的方法通常称为取对数求导法下面通过几个例子来说明这种方法例4 求幂指数函数的导数解
7、函数两边取对数得，方程两边对x求导得所以，例5 求函数的导数解 函数两边取对数得，方程两边对求导，得，所以，n 【学生】理解隐函数的导数n 【教师】讲解由参数方程确定的函数的导数，并通过例题讲解介绍其应用定义2 若参数方程确定了y与x的函数关系，则此函数称为由参数方程确定的函数在解决实际问题时，往往需要计算由参数方程确定的函数的导数，但由参数方程消去t确定y与x的关系方程通常很困难，因此，需要研究直接由参数方程计算函数导数的方法，具体内容如下设由参数方程确定y是x的函数，可导，且，是单调连续的，其反函数为在上述条件下，由复合函数求导与反函数求导法则可得所以，由参数方程确定的函数的导数为例6 已
8、知椭圆的参数方程为求椭圆在相应点处的切线方程解 当时，设椭圆上的对应点为，则，设点切线的斜率为，则因此，所求切线方程为，化简得若由参数方程确定的隐函数存在二阶导数，则由可得，所以例7 设摆线方程为，求解 ，所以n 【学生】理解由参数方程确定的函数的导数学习隐函数与参数方程确定的函数的求导法则。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化问题讨论（10 min）n 【教师】组织学生讨论以下问题1关于，的方程都能确定是的函数吗？2由参数方程确定的函数的导数为，则函数的二阶导数为，这一结论是否正确？n 【学生】讨论、发言通过课堂讨论，活跃课堂气氛，加深学生对知识点的理解课堂测验（10 min）n 【教师
9、】出几道测试题目，测试一下大家的学习情况n 【学生】做测试题目n 【教师】公布题目正确答案，并演示解题过程n 【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象课堂小结（5 min）n 【教师】简要总结本节课的要点本节课学习了高阶导数、隐函数与参数方程确定的函数的求导法则的相关知识及其应用。课后大家要多加练习，巩固认知。n 【学生】总结回顾知识点n 【教师】布置课后作业：习题2.3，习题2.4总结知识点，巩固印象教学反思本节课效果不错，每个学生都积极参与到教学活动中，发挥了自己的价值。在教学中分析了学生的特点，根据不同学生的学习情况采用了灵活多样的教学方法，营造出一种平等和谐、活跃有序的课堂氛围。11目 录