1、2021年中考数学真题分项汇编【全国通用】（第01期）专题7一元二次方程及应用（共30题）姓名：_ 班级：_ 得分：_一、单选题1（2021山东临沂市中考真题）方程的根是（ ）ABCD【答案】C【分析】利用因式分解法解方程即可得到正确选项【详解】解：，x+7=0，x-8=0，x1=-7，x2=8故选：C【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了2（2021浙江丽水市中考真
2、题）用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ）ABCD【答案】D【分析】先把常数项移到方程的右边，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，然后把方程左边利用完全平方公式写成平方形式即可【详解】解：，故选：D【点睛】本题考查利用配方法对一元二次方程求解，解题的关键是：熟练运用完全平方公式进行配方3（2021四川泸州市中考真题）关于x的一元二次方程的两实数根，满足，则的值是（ ）A8B16C 32D16或40【答案】C【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即韦达定理，先解得或，再分别代入一元二次方程中，利用完全平方公式变形解题即可【详解】解：一元二次方程或当时，原一元二次方程为，当时，原一元二次方程
3、为原方程无解，不符合题意，舍去，故选：C【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，韦达定理等知识，涉及解一元二次方程，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键4（2021四川广安市中考真题）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）A且BC且D【答案】A【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a+20且0，然后求出两不等式的公共部分即可【详解】解：关于x的一元二次方程有实数根，0且a+20，（-3）2-4（a+2）10且a+20，解得：a且a-2，故选：A【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根与=b2-4ac有如下关系：当0时，方程有两个
4、不相等的两个实数根；当=0时，方程有两个相等的两个实数根；当0时，方程无实数根5（2021湖南邵阳市中考真题）在平面直角坐标系中，若直线不经过第一象限，则关于的方程的实数根的个数为（ ）A0个B1个C2个D1或2个【答案】D【分析】直线不经过第一象限，则m=0或m0，分这两种情形判断方程的根【详解】直线不经过第一象限，m=0或m0，当m0时，方程变形为x+1=0，是一元一次方程，故有一个实数根；当m0时，方程是一元二次方程，且=，m0，-4m0, 1-4m10,0,故方程有两个不相等的实数根，综上所述，方程有一个实数根或两个不相等的实数根，故选D【点睛】本题考查了一次函数图像的分布，一元一次方
5、程的根，一元二次方程的根的判别式，准确判断图像不过第一象限的条件，灵活运用根的判别式是解题的关键6（2021四川眉山市中考真题）已知一元二次方程的两根为，则的值为（ ）ABC2D5【答案】A【分析】根据一元二次方程根的定义，得，结合根与系数的关系，得+=3，进而即可求解【详解】解：一元二次方程的两根为，即：，+=3，=-2(+)=-1-23=-7故选A【点睛】本题主要考查一元二次方程根的定义以及根与系数的关系，熟练掌握（a0）的两根为，则+=，=，是解题的关键7（2021浙江杭州市中考真题）已知和均是以为自变量的函数，当时，函数值分别为和，若存在实数，使得，则称函数和具有性质以下函数和具有性质
6、的是（ ）A和B和C和D和【答案】A【分析】根据题中所给定义及一元二次方程根的判别式可直接进行排除选项【详解】解：当时，函数值分别为和，若存在实数，使得，对于A选项则有，由一元二次方程根的判别式可得：，所以存在实数m，故符合题意；对于B选项则有，由一元二次方程根的判别式可得：，所以不存在实数m，故不符合题意；对于C选项则有，化简得：，由一元二次方程根的判别式可得：，所以不存在实数m，故不符合题意；对于D选项则有，化简得：，由一元二次方程根的判别式可得：，所以不存在实数m，故不符合题意；故选A【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式、二次函数与反比例函数的性质，熟练掌握一元二次方程根的判别式、
7、二次函数与反比例函数的性质是解题的关键8（2021浙江台州市中考真题）关于x的方程x24xm0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）Am2Bm2Cm4Dm4【答案】D【分析】根据方程x24xm0有两个不相等的实数根，可得，进而即可求解【详解】解：关于x的方程x24xm0有两个不相等的实数根，解得：m4，故选D【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握ax2+bxc0（a0）有两个不相等的实数根，则判别式大于零，是解题的关键9（2021云南中考真题）若一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ ）ABC且D且【答案】D【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到
8、a0且=22-4a0，然后求出两不等式的公共部分即可【详解】解：根据题意得a0且=22-4a0，解得a1且a0故选：D【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根与=b2-4ac有如下关系：当0时，方程有两个不相等的实数根；当=0时，方程有两个相等的实数根；当0时，方程无实数根10（2021山东泰安市中考真题）已知关于x的一元二次方程标有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）ABC且D【答案】C【分析】由一元二次方程定义得出二次项系数k0；由方程有两个不相等的实数根，得出“0”，解这两个不等式即可得到k的取值范围【详解】解：由题可得：,解得：且；故选：C【点
9、睛】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，涉及到了解不等式等内容，解决本题的关键是能读懂题意并牢记一元二次方程的概念和根的判别式的内容，能正确求出不等式（组）的解集等，本题对学生的计算能力有一定的要求11（2021四川南充市中考真题）已知方程的两根分别为，则的值为（ ）ABCD【答案】B【分析】根据一元二次方程解的定义及根与系数的关系可得，再代入通分计算即可求解【详解】方程的两根分别为，=-1故选B【点睛】本题考查了一元二次方程解的定义及根与系数的关系，熟练运用一元二次方程解的定义及根与系数的关系是解决问题的关键12（2021四川凉山彝族自治州中考真题）函数的图象如图所示，则关于x的一元二
10、次方程的根的情况是（ ）A没有实数根B有两个相等的实数根C有两个不相等的实数根D无法确定【答案】C【分析】根据一次函数图象经过的象限找出k、b的正负，再结合根的判别式即可得出0，由此即可得出结论【详解】解：观察函数图象可知：函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，k0，b0在方程中，=，一元二次方程有两个不相等的实数根故选：C【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系以及根的判别式，根据一次函数图象经过的象限找出k、b的正负是解题的关键13（2021四川泸州市中考真题）直线l过点(0，4)且与y轴垂直，若二次函数（其中x是自变量）的图像与直线l有两个不同的交点，且其对称轴在y轴右侧，则a的
11、取值范围是（ ）Aa4Ba0C0a4D0a4【答案】D【分析】由直线l：y=4，化简抛物线，令，利用判别式，解出，由对称轴在y轴右侧可求即可【详解】解：直线l过点(0，4)且与y轴垂直，直线l：y=4，二次函数（其中x是自变量）的图像与直线l有两个不同的交点，又对称轴在y轴右侧，0a4故选择D【点睛】本题考查二次函数与直线的交点问题，抛物线对称轴，一元二次方程两个不等实根，根的判别式，掌握二次函数与直线的交点问题转化为一元二次方程实根问题，根的判别式，抛物线对称轴公式是解题关键第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题14（2021上海中考真题）若一元二次方程无解，则c的取值范
12、围为_【答案】【分析】根据一元二次方程根的判别式的意义得到0，然后求出c的取值范围【详解】解：关于x的一元二次方程无解，解得，的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的判别式=b2-4ac：当0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根15（2021湖南岳阳市中考真题）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为_【答案】9【分析】直接利用根的判别式进行判断即可【详解】解：由题可知：“=0”，即；故答案为：9【点睛】本题考查了用根的判别式判断一元二次方程根的情况，解决本题的关键是牢记：0时，该方程有两个
13、不相等的实数根；=0时，该方程有两个相等的实数根；0时，该方程无实数根16（2021江西中考真题）已知，是一元二次方程的两根，则_【答案】1【分析】直接利用根与系数的关系求解即可【详解】解：，是一元二次方程的两根，故答案为：1【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，若是方程()的两根，则，17（2021四川遂宁市中考真题）如图都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第_个图形共有210个小球【答案】20【分析】根据已知图形得出第n个图形中黑色三角形的个数为1+2+3+n=，列一元二次方程求解可得【详解】解：第1个图形中黑色三角形的个数1，第2个图形中黑色三角形的个数3
14、=1+2，第3个图形中黑色三角形的个数6=1+2+3，第4个图形中黑色三角形的个数10=1+2+3+4，第n个图形中黑色三角形的个数为1+2+3+4+5+n=，当共有210个小球时，解得：或(不合题意，舍去)，第个图形共有210个小球故答案为：【点睛】本题考查了图形的变化规律，解一元二次方程，解题的关键是得出第n个图形中黑色三角形的个数为1+2+3+n18（2021四川广安市中考真题）一个三角形的两边长分别为3和5，第三边长是方程x2-6x+8=0的根，则三角形的周长为_【答案】12【分析】先求方程x2-6x+8=0的根，再由三角形的三边关系确定出三角形的第三边的取值范围，即可确定第三边的长，
15、利用三角形的周长公式可求得这个三角形的周长【详解】三角形的两边长分别为3和5，5-3第三边5+3，即2第三边8，又第三边长是方程x2-6x+8=0的根，解之得根为2和4，2不在范围内，舍掉，第三边长为4即勾三股四弦五，三角形是直角三角形三角形的周长：3+4+5=12故答案为12【点睛】本题考查了解一元二次方程和三角形的三边关系属于基础题型，应重点掌握19（2021甘肃武威市中考真题）已知关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值是_【答案】1【详解】试题分析：根据一元二次方程根的判别式，可由方程有两个相等的实数根可的=b2-4ac=4-4m=0，解得m=1.故答案为1.考点：一元二次方程根的判别
16、式20（2021江苏连云港市中考真题）已知方程有两个相等的实数根，则=_【答案】【详解】试题分析：有两个相等的实数根，=0，9-4k=0，k=故答案为考点：根的判别式21（2021四川成都市中考真题）若m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值是_【答案】-3【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到，则，根据根与系数的关系得出，再将其代入整理后的代数式计算即可【详解】解：m，n是一元二次方程的两个实数根，=1+2（-2）=-3故答案为：-3【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，也考查了一元二次方程的解22（2021浙江丽水市中考真题）数学活动课上，小云和小王
17、在讨论张老师出示的一道代数式求值问题：已知实数同时满足，求代数式的值结合他们的对话，请解答下列问题：（1）当时，a的值是_（2）当时，代数式的值是_【答案】或1 7 【分析】（1）将代入解方程求出，的值，再代入进行验证即可；（2）当时，求出，再把通分变形，最后进行整体代入求值即可【详解】解：已知，实数，同时满足，-得， 或 +得，（1）当时，将代入得， 解得， ， 把代入得，3=3，成立；把代入得，0=0，成立；当时，a的值是1或-2故答案为：1或-2；（2）当时，则，即 故答案为：7【点睛】此题主要考查了用因式分解法解一元二次方程，完全平方公式以及求代数式的值和分式的运算等知识，熟练掌握运算
18、法则和乘法公式是解答此题的关键三、解答题23（2021四川南充市中考真题）已知关于x的一元二次方程（1）求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根（2）如果方程的两个实数根为，且k与都为整数，求k所有可能的值【答案】（1）见解析；（2）0或-2或1或-1【分析】（1）计算判别式的值，然后根据判别式的意义得到结论；（2）先利用因式分解法得出方程的两个根，再结合k与都为整数，得出k的值；【详解】解：（1）=无论k取何值， 方程都有两个不相等的实数根（2）=0，或，当，时，k与都为整数，k=0或-2当，时，k与都为整数，k=1或-1k所有可能的值为0或-2或1或-1【点睛】本题考查了根的判别式以
19、及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当0时，方程有两个不等的实数根”；（2）利用因式分解法求出方程的解24（2021浙江嘉兴市中考真题）小敏与小霞两位同学解方程的过程如下框：小敏：两边同除以，得，则小霞：移项，得，提取公因式，得则或，解得，你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“”；若错误请在框内打“”，并写出你的解答过程【答案】两位同学的解法都错误，正确过程见解析【分析】根据因式分解法解一元二次方程【详解】解：小敏：两边同除以，得，则（）小霞：移项，得，提取公因式，得则或，解得，（）正确解答：移项，得，提取公因式，得，去括号，得，则或，解得，【点睛】本题考查因式分解法解
20、一元二次方程，掌握因式分解的技巧准确计算是解题关键25（2021四川遂宁市中考真题）某服装店以每件30元的价格购进一批T恤，如果以每件40元出售，那么一个月内能售出300件，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10件，设T恤的销售单价提高元（1）服装店希望一个月内销售该种T恤能获得利润3360元，并且尽可能减少库存，问T恤的销售单价应提高多少元？（2）当销售单价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种T恤获得的利润最大？最大利润是多少元？【答案】（1）2元；（2）当服装店将销售单价50元时，得到最大利润是4000元【分析】（1）根据题意，通过列一元二次方程并求解，即可得到答案；（
21、2）设利润为M元，结合题意，根据二次函数的性质，计算得利润最大值对应的的值，从而得到答案【详解】（1）由题意列方程得：（x40-30） （300-10x）3360 解得：x12，x218要尽可能减少库存，x218不合题意，故舍去T恤的销售单价应提高2元；（2）设利润为M元，由题意可得： M（x40-30）（300-10x）-10x2200x3000 当x10时，M最大值4000元销售单价：401050元当服装店将销售单价50元时，得到最大利润是4000元【点睛】本题考查了一元二次方程、二次函数的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程、二次函数的性质，从而完成求解26（2021浙江中考真题）今年
22、以来，我市接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩某景区的游客人数三月份为4万人，五月份为5.76万人（1）求四月和五月这两个月中，该景区游客人数平均每月增长百分之几；（2）若该景区仅有两个景点，售票处出示的三种购票方式如表所示：购票方式甲乙丙可游玩景点和门票价格100元/人80元/人160元/人据预测，六月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有2万、3万和2万并且当甲、乙两种门票价格不变时，丙种门票价格每下降1元，将有600人原计划购买甲种门票的游客和400人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票若丙种门票价格下降10元，求景区六月份的门票总收入；问：将丙种门票价格下降多少元时，景区六月份的
23、门票总收入有最大值？最大值是多少万元？【答案】（1）20%；（2）798万元，当丙种门票价格降低24元时，景区六月份的门票总收人有最大值，为817.6万元【分析】（1）设四月和五月这两个月中，该景区游客人数的月平均增长率为，则四月份的游客为人，五月份的游客为人，再列方程，解方程可得答案；（2）分别计算购买甲，乙，丙种门票的人数，再计算门票收入即可得到答案；设丙种门票价格降低元，景区六月份的门票总收人为万元，再列出与的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解最大利润即可得到答案【详解】解：（1）设四月和五月这两个月中，该景区游客人数的月平均增长率为，由题意，得 解这个方程，得（舍去）答：四月和五月
24、这两个月中，该景区游客人数平均每月增长20%（2）由题意，丙种门票价格下降10元，得：购买丙种门票的人数增加：（万人），购买甲种门票的人数为：（万人），购买乙种门票的人数为：（万人），所以：门票收入问；（万元）答：景区六月份的门票总收入为798万元设丙种门票价格降低元，景区六月份的门票总收人为万元，由题意，得化简，得， ，当时，取最大值，为817.6万元 答：当丙种门票价格降低24元时，景区六月份的门票总收人有最大值，为817.6万元【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，二次函数的实际应用，掌握利用二次函数的性质求解利润的最大值是解题的关键27（2021重庆中考真题）重庆小面是重庆美食的名片
25、之一，深受外地游客和本地民众欢迎某面馆向食客推出经典特色重庆小面，顾客可到店食用（简称“堂食”小面），也可购买搭配佐料的袋装生面（简称“生食”小面）已知3份“堂食”小面和2份“生食”小面的总售价为31元，4份“堂食”小面和1份“生食”小面的总售价为33元（1）求每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是多少元？（2）该面馆在4月共卖出“堂食”小面4500份，“生食”小面2500份，为回馈广大食客，该面馆从5月1日起每份“堂食”小面的价格保持不变，每份“生食”小面的价格降低统计5月的销量和销售额发现：“堂食”小面的销量与4月相同，“生食”小面的销量在4月的基础上增加，这两种小面的总销售额在4月的
26、基础上增加求a的值【答案】（1）每份“堂食”小面价格是7元，“生食”小面的价格是5元（2）a的值为8【分析】（1）设每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是x、y元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可；（2）根据题意列出一元二次方程，解方程即可【详解】解：（1）设每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是x、y元，根据题意列方程组得，解得，答：每份“堂食”小面价格是7元，“生食”小面的价格是5元（2）根据题意得，解得，（舍去），答：a的值为8【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用和一元二次方程的应用，解题关键是找准题目中的等量关系，列出方程，熟练运用相关知识解方程28（2021四川乐山
27、市中考真题）已知关于的一元二次方程（1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；（2）二次函数的部分图象如图所示，求一元二次方程的解【答案】（1）；（2），【分析】（1）根据0时，一元二次方程有两个不相等的实数根求解m的取值范围即可；（2）根据二次函数图象与x轴的交点的横坐标就是当y=0时对应一元二次函数的解，故将x=1代入方程中求出m值，再代入一元二次方程中解方程即可求解【详解】解：（1）由题知，（2）由图知的一个根为1，即一元二次方程为，解得，一元二次方程的解为，【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式、解一元一次不等式、解一元一次方程、解一元二次方程，会解一元二次方程，熟练掌握一元二次方
28、程根的判别式与根的关系是解答的关键29（2021重庆中考真题）某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产A产品，乙车间生产B产品，去年两个车间生产产品的数量相同且全部售出已知A产品的销售单价比B产品的销售单价高100元，1件A产品与1件B产品售价和为500元（1）A、B两种产品的销售单价分别是多少元？（2）随着5G时代的到来，工业互联网进入了快速发展时期今年，该工厂计划依托工业互联网将乙车间改造为专供用户定制B产品的生产车间预计A产品在售价不变的情况下产量将在去年的基础上增加a%；B产品产量将在去年的基础上减少a%，但B产品的销售单价将提高3a%则今年A、B两种产品全部售出后总销售额将在去年的基础上增
29、加%求a的值【答案】（1）A产品的销售单价为300元，B产品的销售单价为200元；（2）20【分析】（1）设B产品的销售单价为x元，则A产品的销售单价为（x+100）元，根据题意列出方程解出即可；（2）设去年每个车间生产产品的数量为t件，根据题意根据题意列出方程解出即可；【详解】解：（1）设B产品的销售单价为x元，则A产品的销售单价为（x+100）元根据题意，得解这个方程，得则答：A产品的销售单价为300元，B产品的销售单价为200元（2）设去年每个车间生产产品的数量为t件，根据题意，得 设a%=m，则原方程可化简为解这个方程，得（舍去）a=20答：a的值是20【点睛】本题考查了一元一次方程的
30、应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元二次方程30（2021四川泸州市中考真题）一次函数y=kx+b（k0）的图像与反比例函数的图象相交于A(2，3)，B(6，n)两点（1）求一次函数的解析式（2）将直线AB沿y轴向下平移8个单位后得到直线l，l与两坐标轴分别相交于M，N，与反比例函数的图象相交于点P，Q，求的值【答案】（1）一次函数y=，（2）【分析】（1）利用点A(2，3)，求出反比例函数，求出 B(6，1)，利用待定系数法求一次函数解析式；（2）利用平移求出y=，联立，求出P(-6,-1),Q(-2,-
31、3),在RtMON中，由勾股定理MN=,PQ=即可【详解】解：（1）反比例函数的图象过A(2，3)，m=6,6n=6，n=1，B（6,1）一次函数y=kx+b（k0）的图像与反比例函数的图象相交于A(2，3)，B(6，1)两点，解得，一次函数y=，（2）直线AB沿y轴向下平移8个单位后得到直线l，得y=，当y=0时，当x=0时，y=-4，M（-8，0），N（0，-4），消去y得，解得，解得，P(-6,-1),Q(-2,-3),在RtMON中，MN=,PQ=，【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数解析式与一次函数解析式，利用平移求平移后直线l.，解方程组，一元二次方程，勾股定理，掌握待定系数法求反比例函数解析式与一次函数解析式，利用平移求平移后直线l.，解方程组，一元二次方程，勾股定理是解题关键 26 / 26原创原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！