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课后限时集训23 利用导数解决函数的零点问题.doc

1、课后限时集训(二十三)利用导数解决函数的零点问题建议用时:40分钟1(2020石家庄模拟)已知函数f(x)2a2ln xx2(a0)(1)当a1时,求曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线方程;(2)求函数f(x)的单调区间;(3)讨论函数f(x)在区间(1,e2)内零点的个数(e为自然对数的底数)解(1)当a1时,f(x)2ln xx2,f(x)2x,f(1)0,又f(1)1,曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线方程为y10.(2)f(x)2a2ln xx2,f(x)2x.x0,a0,当0xa时,f(x)0;当xa时,f(x)0.f(x)在(0,a)上单调递增,在(a,)上单调递减(3

2、)由(2)得f(x)maxf(a)a2(2ln a1)讨论函数f(x)的零点情况如下:当a2(2ln a1)0,即0a时,函数f(x)无零点,函数f(x)在(1,e2)内无零点当a2(2ln a1)0,即a时,函数f(x)在(0,)内有唯一零点a,而1ae2,函数f(x)在(1,e2)内有一个零点当a2(2ln a1)0,即a时,f(1)10,f(a)a2(2ln a1)0,f(e2)2a2ln e2e44a2e4(2ae2)(2ae2)当2ae20,即a时,f(e2)0,由函数的单调性可知,函数f(x)在(1,a)内有唯一零点x1,在(a,e2)内有唯一零点x2,f(x)在(1,e2)内有两

3、个零点当2ae20,即a时,f(e2)0,由函数的单调性可知,f(x)在(1,e2)内只有一个零点综上所述,当0a时,函数f(x)在(1,e2)内无零点;当a或a时,函数f(x)在(1,e2)内有一个零点;当a时,函数f(x)在(1,e2)内有两个零点2已知函数f(x)xexa(x1)2.(1)若ae,求函数f(x)的极值;(2)若函数f(x)有两个零点,求实数a的取值范围解(1)由题意知,当ae时,f(x)xexe(x1)2,函数f(x)的定义域为(,),f(x)(x1)exe(x1)(x1)(exe)令f(x)0,解得x1或x1.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表所示:x(,1

4、)1(1,1)1(1,)f(x)00f(x)极大值极小值e所以当x1时,f(x)取得极大值;当x1时,f(x)取得极小值e.(2)方法一:分类讨论法f(x)(x1)exa(x1)(x1)(exa)若a0,易知函数f(x)在(,)上只有一个零点,故不符合题意若a0,当x(,1)时,f(x)0,f(x)单调递减;当x(1,)时,f(x)0,f(x)单调递增由f(1)0,且f(1)e2a0,当x时,f(x),所以函数f(x)在(,)上有两个零点若ln a1,即0a,当x(,ln a)(1,)时,f(x)0,f(x)单调递增;当x(ln a,1)时,f(x)0,f(x)单调递减又f(ln a)aln

5、aa(ln a1)20,所以函数f(x)在(,)上至多有一个零点,故不符合题意若ln a1,即a,当x(,)时,f(x)0,f(x)单调递增,故不符合题意若ln a1,即a,当x(,1)(ln a,)时,f(x)0,f(x)单调递增;当x(1,ln a)时,f(x)0,f(x)单调递减又f(1)0,所以函数f(x)在(,)上至多有一个零点,故不符合题意综上,实数a的取值范围是(,0)方法二:数形结合法令f(x)0,即xexa(x1)20,得xexa(x1)2.当x1时,方程为e1a0,显然不成立,所以x1不是方程的解,即1不是函数f(x)的零点当x1时,分离参数得a.记g(x)(x1),则g(

6、x).当x1时,g(x)0,函数g(x)单调递减;当x1时,g(x)0,函数g(x)单调递增当x0时,g(x)0;当x时,g(x)0;当x1时,g(x);当x时,g(x).故函数g(x)的图象如图所示作出直线ya,由图可知,当a0时,直线ya和函数g(x)的图象有两个交点,此时函数f(x)有两个零点故实数a的取值范围是(,0)3(2019全国卷)已知函数f(x)ln x.(1)讨论f(x)的单调性,并证明f(x)有且仅有两个零点;(2)设x0是f(x)的一个零点,证明曲线yln x在点A(x0,ln x0)处的切线也是曲线yex的切线解(1)f(x)的定义域为(0,1)(1,)因为f(x)0,所以f(x)在(0,1),(1,)单调递增因为f(e)10,f(e2)20,所以f(x)在(1,)有唯一零点x1(ex1e2),即f(x1)0.又01,fln x1f(x1)0,故f(x)在(0,1)有唯一零点.综上,f(x)有且仅有两个零点(2)因为eln x0,故点B在曲线yex上由题设知f(x0)0,即ln x0,连接AB,则直线AB的斜率k.曲线yex在点B处切线的斜率是,曲线yln x在点A(x0,ln x0)处切线的斜率也是,所以曲线yln x在点A(x0,ln x0)处的切线也是曲线yex的切线 5

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