1、教 案教学基本信息课题排列学科数学学段： 高中年级高二教材书名： 普通高中课程标准实验教科书 数学 选修2-2 （A版）出版社：人民教育出版社 出版日期：2007 年 1 月教学设计参与人员姓名单位设计者周明芝北京市陈经纶中学实施者周明芝北京市陈经纶中学指导者王文英北京市朝阳区教育研究中心课件制作者周明芝北京市陈经纶中学其他参与者教学目标及教学重点、难点1.通过实例让学生理解排列的概念，体验排列的基本特征，体会分步乘法计数原理与排列数的关系；2. 由分步乘法计数原理推导出排列数的计算公式，会求简单的排列数，理解的意义及、的条件及的计算公式；3. 通过自主探索，让学生经历“特殊一一般”的认知过程
2、，完善认知结构，领会归纳推理等数学思想方法.培养学生的数学归纳、逻辑推理等素养.教学重点:理解排列的意义，排列数公式，能运用所学排列数公式进行简单计算.教学难点:排列的概念，排列数的抽象概括过程.教学过程(表格描述)教学环节主要教学活动设置意图复习【活动1】上一节我们已经学过分类加法计数原理和分步乘法计数原理，请同学们回忆一下，什么是分类加法计数原理？什么是分步乘法计数原理？【预设】分类加法计数原理是做一件事，完成它可以有类办法，第一类办法中有种不同的方法，第二类办法中有种不同的方法，第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法.分步乘法原理是做一件事，完成它需要分成个步骤，做第一
3、步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有.种不同的方法.【活动2】从甲地到乙地有2种走法，从乙地到丙地有4种走法，从甲地不经过乙地到丙地有3种走法，则从甲地到丙地有多少种不同的走法？【预设】分两类，一是从甲地经乙地到丙地，有24种，二是直接从甲地到丙地，有3种，所以从甲地到丙地的不同走法的种数为243=11.用问题检测学生的认知基础，帮助学生回忆相关知识，搭起新旧知识间的桥梁.引入在课本P9例9中我们看到，用分步乘法计数原理解决这个问题时，因做了一些重复性的工作而显得繁琐，能否对这一类计数问题给出一种简洁的方法呢？为了寻求简便的计数方法，我们先来分析这
4、类问题的两个简单例子.用学生熟悉的问题来实践和反思，为新课的展开作好了铺垫，体会学习是一个不断优化改进的过程.新课【问题1】从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？【预设】学生在看到此题时，迅速对自己的知识进行提取与重组，将问题转化为:从甲、乙、丙3名同学中每次选出2名，按照参加上午的活动在前，参加下午的活动在后的顺序排列，求一共有多少种不同的排法.【问题2】从1,2,3,4这4个数字中，每次取出三个排成一个三位数，一共可得到多少个不同的三位数？【追问】问题2与问题1有相似之处，这个问题我们可不可以转化为:从4个数字
5、中，每次取出3个，按“百”、“十”、“个”位的顺序排成一列，就得到一个三位数，因此，有多少不同的排法就有多少不同的三位数？在学生归纳的基础上总结、完善排列的定义:一般地，从个不同的元素中取出（）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同的元素中取出个元素的一个排列.【概念辨析】（1）问题2中的123与134是相同的排列吗？【预设】不是，因为数字取得不同因此是不同的排列.（2）问题2中的123与132是相同的排列吗？【预设】不是，123与132即使数字完全相同，因为顺序不同，也是不同的排列.所有不同的排列个数就称为排列数，即从个不同的元素中取出（）个元素的所有不同排列的个数叫做从个不同元素中取
6、出个元素的排列数，用表示.【问题3】在前而两个问题中，我们可以知道，.那么、各是多少呢？ 【预设】可以看成从个元素中取2个元素，得到的排列数，可以用分步乘法计数原理，分为两步，可以得到；同理可以看成从个元素中取3个元素，得到的排列数，可以用分步乘法计数原理，分为三步，得到.一般地我们就可以得到，这里都是正整数，并且.这个公式就叫做排列数公式.特别地，当时，即从个不同的元素中全部取出的一个排列，叫做个元素的一个全排列，记为.从具体问题出发，学生进行思考和讨论，最后在学生归纳的基础上总结、完善排列的定义.提高的归纳、分析问题的能力以及数学语言表达的能力. 这一抽象的数学符号不好理解，让学生尝试把它
7、还原到实际情景的问题中，就能容易理解.利用两个基本原理，让学生经历推导出“排列数公式”的过程，让学生了解到“排列”的本质也是一种计数方法“排列数公式”也是一种特殊的计数公式.将这一知识点和两个计数基本原理建立新的联系，使新旧知识融会贯通.例题【例1】(1)写出从4个不同的元素中任取2个元素的所有排列;(2)写出从5个不同的元素中任取3个元素的所有排列.【分析】按照排列的定义进行解答【解答】（1）；（2）【例2】 (1)有7本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？(2)有7种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？【分析】按照排列的定义进行
8、分析，分清是否是排列问题.【解答】(1)从7本不同的书中选3本送给3名同学，相当于从7个元素中任取3个元素的一个排列，所以共有A765210(种)不同的送法(2)从7种不同的书中买3本书，这3本书并不要求都不相同，根据分步乘法计数原理，共有777343(种)不同的送法【反思】典型的排列问题，用排列数计算其排列方法数；若不是排列问题，需用计数原理求其方法种数排列的概念很清楚，要从“个不同的元素中取出个元素”即在排列问题中元素不能重复选取，而在用分步乘法计数原理解决的问题中，元素可以重复选取【例3】用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数?【分析】因为数字中有0，所以要注意隐含条件
9、“百位不能为0”.【解答】法1：法2：【例4】证明【分析】用排列数公式进行推导【解答】证明: 即【例5】3名男生、4名女生按照不同的要求排队，求不同的排队方法的种数(1)全体站成一排，男、女各站在一起；(2)全体站成一排，男生必须站在一起；(3)全体站成一排，男生不能站在一起；(4)全体站成一排，男、女各不相邻【分析】考查排列的应用，属于元素“相邻”与“不相邻”问题，常用方法为“捆绑法”和“插空法”.【解答】(1)男生必须站在一起是男生的全排列，有A种排法；女生必须站在一起是女生的全排列，有A种排法；全体男生、女生各视为一个元素，有A种排法由分步乘法计数原理知，共有AAA288(种)排队方法(
10、2)三个男生全排列有A种方法，把所有男生视为一个元素，与4名女生组成5个元素全排列，有A种排法故有AA720(种)排队方法(3)先安排女生，共有A种排法；男生在4个女生隔成的五个空中安排，共有A种排法，故共有AA1 440(种)排法(4)排好男生后让女生插空，共有AA144(种)排法【反思】处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素【例6
11、】有六个人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？(1)甲不能在两端；(2)甲、乙必须在两端；(3)甲不在最左端，乙不在最右端解(1)先考虑甲有A种方案，再考虑其余5人全排列，故NAA480(种)；(2)先安排甲、乙有A种方案，再安排其余4人全排列，故NAA48(种)；(3)方法一甲在最左端的站法有A种，乙在最右端的站法有A种，且甲在最左端而乙在最右端的站法有A种，共有A2AA504(种)站法方法二以元素甲分类可分为两类：a.甲站最右端有A种，b.甲在中间4个位置之一，而乙不在最右端有AAA种，故共有AAAA504(种)站法反思与感悟“在”与“不在”排列问题解题原则及方法(1)原则：解“在
12、”与“不在”的有限制条件的排列问题时，可以从元素入手也可以从位置入手，原则是谁特殊谁优先(2)方法：从元素入手时，先给特殊元素安排位置，再把其他元素安排在其他位置上，从位置入手时，先安排特殊位置，再安排其他位置虽然此题比较简单，但是却能让学生理解排列的本质是什么（即排列也是一种计数方式）;并且让学生明白只有满足什么条件时才是一种排列.学生分析这两个问题的区别，并且说出哪个是排列问题?哪个不是?为什么?可以提高学生的辨别能力，促进学生的理解.使学生从不同的思路去思考解答此题，训练学生分析问题的能力.此公式在以后的学习中有着广泛的用途，是概率统计问题的工具，因此作为例题的形式，使学生不但记住，而且
13、会推导.让学生能熟悉排列的定义并能加以灵活地应用，提高学生分析问题、解决问题的能力.总结【总结】请同学们总结一下1. 本节课学到了哪些知识？2. 如何获得这些知识的？3. 有什么体会等等？【预设】1. 本节课主要学习了排列的定义、排列数的计算. 排列的根本特征是每一个排列不仅与选取的元素有关，而且与元素的排列顺序有关这就说，在判断一个问题是否是排列问题时，可以考虑所取出的元素，任意交换两个，若结果变化，则是排列问题，否则不是排列问题2. 在两个计数基本原理的基础上进行了新知识的探求，“排列”的本质也是一种计数方法，“排列数公式”也是一种特殊的计数公式.3. 我们是通过观察、归纳、猜想等环节获得这些知识的.这也是研究问题的一般方法.引导学生完成课堂小结，梳理知识、方法、体会等.作业1.计算. 2分别求出符合下列要求的不同排法的种数(1)6名学生排3排，前排1人，中排2人，后排3人；(2)6名学生排成一排，甲不在排头也不在排尾；(3)6人排成一排，甲、乙不相邻进一步巩固所学知识，提高分析问题、解决问题的能力.