1、第一章直线与圆2圆与圆的方程2.4圆与圆的位置关系课后篇巩固提升合格考达标练1.圆O1:x2+y2-2x=0和圆O2:x2+y2-4y=0的位置关系是()A.相离B.相交C.外切D.内切答案B解析由题意可知圆O1的圆心O1(1,0),半径r1=1,圆O2的圆心O2(0,2),半径r1=2,又r2-r1O1O2=50),(x-3)2+(y+1)2=r2(r0)外切,则正实数r的值是()A.10B.102C.5D.5答案B解析两圆外切,则两圆心距离等于两圆的半径之和,即(3-0)2+(-1-0)2=2r,解得r=102,故选B.10.过点M(2,-2)以及圆x2+y2-5x=0与圆x2+y2=2交
2、点的圆的方程是()A.x2+y2-154x-12=0B.x2+y2-154x+12=0C.x2+y2+154x-12=0D.x2+y2+154x+12=0答案A解析设经过圆x2+y2-5x=0与圆x2+y2=2交点的圆的方程是x2+y2-5x+(x2+y2-2)=0,再把点M(2,-2)代入,可得4+4-10+(4+4-2)=0,解得=13,故要求的圆的方程为x2+y2-154x-12=0.11.(2020安徽无为中学高二月考)已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1和两点A(-m,0),B(m,0)(m0),若圆C上存在点P,使得APB=90,则m的最大值为()A.7B.6C.5D.4答案B
3、解析由题意知,点P在以原点(0,0)为圆心,以m为半径的圆上,又因为点P在已知圆上,所以只要两圆有交点即可,所以|m-1|5m+1,即4m6,所以m的最大值是6,故选B.12.圆C1:x2+y2+2ax+2ay+2a2-1=0与圆C2:x2+y2+2bx+2by+2b2-2=0的公共弦长的最大值是()A.12B.1C.32D.2答案D解析由x2+y2+2ax+2ay+2a2-1=0,得(x+a)2+(y+a)2=1,圆心C1(-a,-a),半径r1=1;由x2+y2+2bx+2by+2b2-2=0,得(x+b)2+(y+b)2=2,圆心C2(-b,-b),半径r2=2,即两圆圆心在直线y=x上
4、,半径分别为1和2,两圆公共弦长的最大值为小圆的直径,即最大值为2.13.(多选题)(2020山东枣庄高二月考)已知圆C1:x2+y2=r2,圆C2:(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)交于不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2),下列结论正确的有()A.a(x1-x2)+b(y1-y2)=0B.2ax1+2by1=a2+b2C.x1+x2=aD.y1+y2=2b答案ABC解析由题意,由圆C2的方程可化为x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0,两圆的方程相减可得直线AB的方程为2ax+2by-a2-b2=0,即2ax+2by=a2+b2,分别把A(x1,y1),B(x2,y2
5、)两点代入可得2ax1+2by1=a2+b2,2ax2+2by2=a2+b2,两式相减可得2a(x1-x2)+2b(y1-y2)=0,即a(x1-x2)+b(y1-y2)=0,所以选项AB正确;由圆的性质可得,线段AB与线段C1C2互相平分,所以x1+x2=a,y1+y2=b,所以选项C正确,选项D不正确.故选ABC.14.若点P在圆x2+y2=1上,点Q在圆(x+3)2+(y-4)2=4上,则|PQ|的最小值为.答案2解析由题意可知,圆x2+y2=1的圆心坐标为A(0,0),半径r=1,圆(x+3)2+(y-4)2=4的圆心坐标为B(-3,4),半径R=2.d=|AB|=32+42=51+2
6、=R+r,两圆的位置关系是外离.又点P在圆A上,点Q在圆B上,则|PQ|的最小值为d-(R+r)=5-(1+2)=2.15.(2020浙江温州高二期末)已知圆C1:x2+y2=1和圆C2:(x-4)2+(y-3)2=r2(r0)外切,则r的值为,若点A(x0,y0)在圆C1上,则x02+y02-4x0的最大值为.答案45解析(1)由于两圆外切,所以(4-0)2+(3-0)2=r+1,r=4.(2)点A(x0,y0)在圆C1上,所以x02+y02=1,且-1x01,所以x02+y02-4x0=1-4x0.因为-1x01,所以x02+y02-4x0的最大值为5.此时x0=-1.16.(2020山东
7、泰安一中高二月考)在平面直角坐标系xOy中,圆O:x2+y2=4与圆C:(x-3)2+(y-1)2=8相交于P,Q两点.(1)求线段PQ的长;(2)记圆O与x轴正半轴交于点M,点N在圆C上滑动,求MNC面积最大时的直线NM的方程.解(1)圆C的一般方程为x2+y2-6x-2y+2=0,由圆O与圆C方程相减可知,相交弦PQ的方程为3x+y-3=0.点(0,0)到直线PQ的距离d=310=31010,PQ=24-(31010)2=3105.(2)MC=2,|NC|=22,SMNC=12|MC|NC|sinMCN=2sinMCN.当MCN=90时,SMNC取得最大值.此时MCNC,又kCM=1,则直
8、线NC的方程为y=-x+4.由y=-x+4,(x-3)2+(y-1)2=8,得N(1,3)或N(5,-1).当点N为(1,3)时,kMN=-3,此时MN的方程为3x+y-6=0.当点N为(5,-1)时,kMN=-13,此时MN的方程为x+3y-2=0.MN的方程为3x+y-6=0或x+3y-2=0.新情境创新练17.已知圆C的圆心在直线l:2x-y=0上,且与直线l1:x-y+1=0相切.(1)若圆C与圆x2+y2-2x-4y-76=0外切,试求圆C的半径;(2)满足已知条件的圆显然不止一个,但它们都与直线l1相切,我们称l1是这些圆的公切线.这些圆是否还有其他公切线?若有,求出公切线的方程;
9、若没有,说明理由.解(1)设圆C的圆心坐标为(a,2a),则半径r=|a-2a+1|12+12=|a-1|2,两圆的圆心距为(a-1)2+(2a-2)2=5|a-1|=10r,因为两圆外切,所以10r=r+9,r=10+1.(2)如果存在另一条切线,则它必过l与l1的交点(1,2),若斜率不存在,则直线方程为:x=1,圆心C到它的距离|a-1|=r=|a-1|2,由于方程需要对任意的a都成立,因此无解,所以它不是公切线,若斜率存在,设公切线方程为y-2=k(x-1),则d=|ka-2a+2-k|1+k2=r=|a-1|2对任意的a都成立,|(k-2)(a-1)|1+k2=|a-1|2,|k-2|1+k2=12,两边平方并化简得k2-8k+7=0,解得k=1或k=7,当k=1时,直线与l1重合,当k=7时,直线方程为7x-y-5=0,故还存在一条公切线,其方程为7x-y-5=0.5