1、4.2.2等差数列的前n项和公式第1课时等差数列的前n项和课后篇巩固提升必备知识基础练1.已知Sn为等差数列an的前n项和,a2+a5=4,S7=21,则a7的值为()A.6B.7C.8D.9答案D解析设an的公差为d,则a1+d+a1+4d=4,7a1+762d=21,解得a1=-3,d=2,所以a7=a1+6d=-3+62=9,故选D.2.(2021江西景德镇一中高二期中)等差数列an的前n项和为Sn,且a1+a3=2,a4-a2=2,则S5=()A.21B.15C.10D.6答案C解析设等差数列an的公差为d,a1+a3=2,a4-a2=2,2a1+2d=2,2d=2,解得a1=0,d=
2、1,则S5=0+5421=10.3.已知数列an的前n项和Sn=n2,则an等于()A.nB.n2C.2n+1D.2n-1答案D解析当n=1时,a1=S1=1;当n2时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1,且a1=1适合上式,故an=2n-1(nN*).4.已知数列an的通项公式为an=2n+1,令bn=1n(a1+a2+an),则数列bn的前10项和T10=()A.70B.75C.80D.85答案B解析an=2n+1,数列an是等差数列,首项a1=3,其前n项和Sn=n(a1+an)2=n(3+2n+1)2=n2+2n,bn=1nSn=n+2,数列bn也是等差数列,首项b1=
3、3,公差为1.其前10项和T10=103+10921=75,故选B.5.在我国古代著名的数学专著九章算术里有一段叙述:今有良马与驽马,发长安至齐,齐去长安三千里,良马初日行一百九十三里,日增十三里;驽马初日行九十七里,日减半里,良马先至齐,复还迎驽马.问:相逢时良马走了()A.17天B.18天C.15天D.16天答案D解析由题意知,良马每天所行路程成等差数列,记为an,则an是以193为首项,以13为公差的等差数列,其前n项和为An,驽马每天所行路程成等差数列,记为bn,则bn是以97为首项,以-12为公差的等差数列,其前n项和为Bn,设共用n天二马相逢,则An+Bn23 000,所以193n
4、+n(n-1)213+97n+n(n-1)2-126 000,化简得5n2+227n-4 8000,解得n16(nN*).6.已知等差数列an的前n项和为Sn,S1=1,S5=25,则S33=.答案3解析因为等差数列an中,a1=S1=1,设公差为d,则S5=5+10d=25,所以d=2.则S33=3(a1+a3)23=a2=a1+d=3.7.(2019全国)记Sn为等差数列an的前n项和.若a10,a2=3a1,则S10S5=.答案4解析设等差数列an的公差为d.a10,a2=3a1,a1+d=3a1,即d=2a1.S10S5=10a1+1092d5a1+542d=100a125a1=4.8
5、.为了参加5 000 m长跑比赛,李强给自己制订了10天的训练计划,第1天跑5 000 m,以后每天比前一天多跑400 m,李强10天一共跑了m.答案68 000解析将李强每一天跑的路程记为数列an,由题意知,an是等差数列,则a1=5 000,公差d=400.所以S10=10a1+10(10-1)2d=105 000+45400=68 000,故李强10天一共跑了68 000 m.9.已知数列an的前n项和为Sn=-2n2+3n+1.(1)求数列an的通项公式.(2)数列an是不是等差数列?解(1)当n=1时,a1=S1=2;当n2时,an=Sn-Sn-1=(-2n2+3n+1)-2(n-1
6、)2+3(n-1)+1=-4n+5.又当n=1时,a1=2不满足上式,所以数列an的通项公式为an=2,-4n+5,n=1,n2.(2)由(1)知,当n2时,an+1-an=-4(n+1)+5-(-4n+5)=-4,但a2-a1=-3-2=-5,所以数列an不是等差数列.关键能力提升练10.在等差数列an中,2a4+a7=3,则数列an的前9项和S9等于()A.3B.6C.9D.12答案C解析设等差数列an的公差为d,因为2a4+a7=3,所以2(a1+3d)+a1+6d=3,整理,得a1+4d=1,即a5=1,所以S9=9(a1+a9)2=9a5=9.11.若公差不为0的等差数列an的前21
7、项的和等于前8项的和,且a8+ak=0,则正整数k的值为()A.20B.21C.22D.23答案C解析设等差数列an的前n项和为Sn,由题意,得S21=S8,即a9+a10+a21=0.根据等差数列的性质,得13a15=0,即a15=0.故a8+a22=2a15=0,即k=22.故选C.12.已知等差数列an,a2=6,a5=15,若bn=a2n,则数列bn的前5项和等于()A.30B.45C.90D.186答案C解析由等差数列an易得公差d1=3.又bn=a2n,所以bn也是等差数列,公差d2=6.故S5=b1+b2+b3+b4+b5=a2+a4+a6+a8+a10=56+5426=90.1
8、3.(2020山东,14)将数列2n-1与3n-2的公共项从小到大排列得到数列an,则an的前n项和为.答案3n2-2n解析数列2n-1的项均为奇数,数列3n-2的所有奇数项均为奇数,所有偶数项均为偶数.并且显然3n-2中的所有奇数均能在2n-1中找到,所以2n-1与3n-2的所有公共项就是3n-2的所有奇数项,这些项从小到大排列式的新数列an为以1为首项,以6为公差的等差数列.所以an的前n项和为Sn=n1+n(n-1)26=3n2-2n.14.已知数列an的前n项和为Sn(Sn0),且满足an+2SnSn-1=0(n2),a1=12.(1)求证:1Sn是等差数列;(2)求数列an的通项公式
9、.(1)证明-an=2SnSn-1(n2),-Sn+Sn-1=2SnSn-1(n2).又Sn0(n=1,2,3,),1Sn-1Sn-1=2.又1S1=1a1=2,1Sn是以2为首项,2为公差的等差数列.(2)解由(1)可知1Sn=2+(n-1)2=2n,Sn=12n.当n2时,an=Sn-Sn-1=12n-12(n-1)=-12n(n-1)或当n2时,an=-2SnSn-1=-12n(n-1);当n=1时,S1=a1=12.故an=12,n=1,-12n(n-1),n2.学科素养创新练15.设Sn为数列an的前n项和,Sn=an-1(为常数,n=1,2,3,).(1)若a3=a22,求的值.(
10、2)是否存在实数,使得数列an是等差数列?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.解(1)因为Sn=an-1,所以a1=a1-1,a2+a1=a2-1,a3+a2+a1=a3-1.由a1=a1-1,可知1,所以a1=1-1,a2=(-1)2,a3=2(-1)3.因为a3=a22,所以2(-1)3=2(-1)4,解得=0或=2.(2)不存在.理由如下:假设存在实数,使得数列an是等差数列,则2a2=a1+a3,由(1)可得2(-1)2=1-1+2(-1)3,所以2(-1)2=22-2+1(-1)3=2(-1)2+1(-1)3,即1(-1)3=0,显然不成立,所以不存在实数,使得数列an是等差数列.5