1、6.2.4平面向量的数量积（第二课时）(人教A版普通高中教科书数学必修第二册第六章)深圳市宝安中学（集团）高中部 陈少晗一、教学目标掌握平面向量数量积的运算律,能运用运算律解决相关问题.二、教学重难点1.教学重点：掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式.2.教学难点：理解平面向量数量积的运算律.三、教学过程【复习引入】回顾：向量a，b的数量积的含义是什么？向量的数量积具有哪些运算性质？ 【预设的答案】 ab|a|b|cos，其中为向量a，b的夹角.设a，b是非零向量，它们的夹角是，e是与b方向相同的单位向量，则(1)aeea|a|cos.(2)abab0.(3)当a与b同向时，ab|a|b|；
2、当a与b反向时，ab|a|b|，特别地，aa|a|2或|a|.(4)|ab|a|b|.【设计意图】复习回顾向量数量积第一课时的主要内容，为第二课时的学习做好准备.1.呈现背景，提出问题探究：类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算律，你能得到数量积的哪些运算律？【活动预设】展示数学乘法运算的运算律，及前两节所学的向量的线性运算律，学生类比出数量积的一些运算律.【预设的答案】 运算律实数乘法向量数量积判断正误交换律abbaabba正确结合律(ab)ca(bc)(a)b=(ab)a(b)a(bc)(ab)c正确错误分配律(ab)cacbc(ab)cacbc正确 【设计意图】引导学生类比已学内容，做出
3、猜想，为引入本节的数量积运算律做铺垫.2.分析联想，寻求方法活动：尝试说明上述猜想正确与否，并给出证明：（1） abba； （2）(a)b=(ab)a(b)； a(bc)(ab)c （3）(ab)cacbc.【活动预设】教师带领学生讨论，学生尝试说明以上猜想正确与否.【预设的答案】（1）交换律显然成立.（2）数乘结合律：(a)b=(ab)a(b)(a)b=|a|b|cos 1 (ab)=|a|b|cos 2 a(b)=|a|b|cos 3 对分类讨论可以说明数乘结合律是成立的. 数量积结合律： 思考： a(bc)(ab)c成立吗？由于 a(bc)表示与a共线的向量，(ab)c表示与c共线的向量
4、，所以这个式子不成立.（3）分配律：(ab)cacbc教师讲授：利用ab的投影向量等于a与b的投影向量之和可以证明.【设计意图】培养学生的归纳总结能力；鼓励学生大胆猜想，小心求证；紧扣向量的数量积定义进行运算律的验证，便于理解向量数量积的运算律.3.猜想验证，得出结论向量数量积的运算律：（1） abba；（交换律） （2）(a)b=(ab)a(b)；（数乘结合律）（3）(ab)cacbc.（分配律）例1：我们知道，对于任意的，恒有对于任意向量a，b,是否也有下面类似的结论？(ab)a(a+b)2=a2+2abb2 (ab)(ab)=a2b2【活动预设】学生可利用分配律和交换律自行推导，加深对数
5、量积运算律的理解.【设计意图】通过数量积运算律的探索过程，学生已感受到类比推理的魅力.进一步类比实数范围内常用的结论，可以得到向量范围内的常用结论.4.运用新知，巩固内化例2：已知|a|6，|b|4，a，b的夹角是，求(a2b)(a3b).【活动预设】学生动手操作，尝试初步运用. 【设计意图】应用向量运算律解决计算问题，对初学者来说是有些难度的，教师根据运算律详细展示计算过程，加深巩固学生对新知识的把握.例3：已知|a|3，|b|4，且a，b不共线. 当k为何值时，向量akb与akb互相垂直？【活动预设】引导学生开动脑筋，考虑将几何问题与向量联系起来.【设计意图】通过此题让学生感受向量处理问题的优势. 通过向量运算将几何问题转化为代数问题，这为解决几何问题提供了新的思路.5.回顾反思，拓展问题问题1. 向量的数量积运算律是怎样的？问题2. 类比实数中的结论，数量积是否有相似的结论呢？比如abbc(b0)ac（消去律）等是否也成立呢？【设计意图】（1） 回顾总结本节的主要内容，加深印象；（2） 突出本节课类比推理，将未知化已知的思想方法，给学生留下想象的空间，让学生自 主探索，激发兴趣，获得成就感.3