1、8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积(人教A版普通高中教科书数学必修第二册第八章)深圳市第七高级中学 游云峰本节课选自普通高中课程标准数学教科书-必修第二册（人教A版）第八章立体几何初步，本节课主要学习棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的表面积、体积公式及其求法，还有简单组合体的体积的求解。教材从分析简单几何体的侧面展开图得到了它们的表面积公式，体现了立体问题平面化的解决策略，这是本节课的灵魂，也是立体几何的灵魂，在立体几何中，要注意将立体问题转化为平面几何问题，在教学中应加以重视。一、教学目标与数学学科素养课程目标1通过对棱柱、棱锥、棱台的研究，掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积计算公式2
2、能运用棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题数学学科素养1.数学抽象：棱柱、棱锥、棱台的体积公式；2.数学运算：求多面体或多面体组合体的表面积和体积；3.数学建模：数形结合，运用棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题.二、教学重难点1.教学重点：棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积；2.教学难点：求棱柱、棱锥、棱台有关的组合体的表面积与体积三、教学过程1.表面积1.1创设情境，引入课题【实际情境】在生产生活中，会遇到包装盒用纸量的计算问题用纸量的大小跟围成几何体各个面的面积密切相关规定：多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积之和【设计意图】表面积的求解不
3、是凭空产生的，用包装盒用纸问题这一实例，让学生感受“求表面积”这样的问题是客观存在的，是源于实际生活的.1.2复习回顾，探索新知【问题】：在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？【设计意图】通过复习回顾，让学生感受到求解表面积的转化思想，进而用于解决本节课的新问题情境。【探究】棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？【思考1】棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？棱柱的侧面展开图是由平行四边形组成的平面图形；【思考2】棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？棱锥的侧面展开图是由三角形组成
4、的平面图形；【思考3】棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？棱台的侧面展开图是由梯形组成的平面图形。【小结】求棱柱、棱锥、棱台的侧面积的问题就可转化为求平行四边形、三角形、梯形的面积问题，而计算它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和。【设计意图】通过初中正方体，长方体表面积的求法，提炼出求解表面积的基本思想方法，并且在探究棱柱，棱锥，棱台的基础上，了解从空间问题到平面问题转化的思路，形成求解表面积问题的一般方法.1.3典例分析，举一反三例1 已知如图，四面体的棱长均为，求它的表面积【答案】【解析】因为四面体SABC的四个面是全等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其中任何一个
5、面面积的4倍不妨求SBC的面积，过点S作SDBC，交BC于点D，如图所示因为BCSBa，SD,所以SSBCBCSDaaa2.故四面体SABC的表面积S4a2a2.跟踪训练一：已知一个正四棱锥P-ABCD的侧棱长为5，底面的边长为6，求它的表面积解题技巧（求多面体表面积注意事项） 1多面体的表面积转化为各面面积之和2解决有关棱台的问题时，常用两种解题思路：一是把基本量转化到梯形中去解决；二是把棱台还原成棱锥，利用棱锥的有关知识来解决2.体积2.1复习回顾，引入课题还记得以前学过的特殊棱柱正方体、长方体的体积公式吗？(a为正方体的棱长)(a、b、c为长方体的长、宽、高)正方体、长方体的体积公式可以
6、统一为：sh2.2探索新知【思考1】棱柱的体积公式是什么？如何计算它的体积？一般地，如果棱柱的底面积是S，高是h,那么这个棱柱的体积V棱柱=sh【思考2】棱锥的体积公式是什么？如何计算它的体积？一个三棱柱可以分解成三个体积相等的三棱锥，如图所示：如果一个棱柱和一个棱锥的底面积相等，高也相等，那么，棱柱的体积是棱锥的体积的3倍.因此，一般地，如果棱锥的底面面积为S，高为h，那么该棱锥的体积【思考3】棱台的体积公式是什么？如何计算它的体积？【思考3】棱柱、棱锥、棱台的体积公式之间有什么关系？你能用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来解释这种关系吗？【设计意图】通过初中正方体，长方体体积公式，归纳出求解棱柱
7、的体积公式。然后将棱柱分解，进而求出棱锥的体积公式。接着将棱台看成大棱锥截取一个小棱锥，通过一些相似知识的应用，进而得出棱台的体积公式。过程中让学生体会化归的基本思想方法，并且在探究棱柱，棱锥，棱台的基础上，感受求解体积问题的一般方法。最后再从形和数的角度让学生感受棱柱，棱锥，棱台的结构特征及其联系。2.3典例分析，举一反三例3 如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高都是0.5m，公共面是边长为1m的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米（精确到）？【答案】【解析】由题意知长方体的体积，棱锥的体积，所以这个漏斗的容积.跟踪训练二：如图，已知ABCDA1B1C1D
8、1是棱长为a的正方体，E为AA1的中点，F为CC1上一点，求三棱锥A1D1EF的体积.解：(1)由V三棱锥A1D1EFV三棱锥FA1D1E，SA1D1EEA1A1D1a2，又三棱锥FA1D1E的高为CDa，V三棱锥FA1D1Eaa2a3，V三棱锥A1D1EFa3解题技巧(求棱柱、棱锥、棱台体积的注意事项)1常见的求几何体体积的方法公式法：直接代入公式求解等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积2求几何体体积时需注意的问题柱、锥、台的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算3. 归纳小结，提炼升华1、求几何体的表面积2、求几何体体积的常用方法4. 课外作业四、教学反思本节课的重点是掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积计算公式和应用，通过本节课的例题及练习，学生基本掌握.而本节课的难点可以通过三组体积公式对比，寻找其联系(棱台上底面和下底面面积一样时，图形变成棱柱，对应的公式，经推导也就变成棱柱的体积公式了; 棱台上底面无限缩小至点时，图形变成棱锥，对应的公式，经推导也就变成棱锥的体积公式了.)使学生对其更加理解.再有解决实际问题时可先抽象出几何图形，再利用相关公式解决.9