1、4.2.1 等差数列的概念思维导图常见考法考点一 判断是否为等差数列【例1】（2020上海高二课时练习）下列数列中，不是等差数列的是（ ）A1，4，7，10BCD10，8，6，4，2【答案】C【解析】根据等差数列的定义，可得：A中，满足（常数），所以是等差数列；B中，（常数），所以是等差数列；C中，因为，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列；D中，满足（常数），所以是等差数列.故选：C.根据等差数列的定义，只需任意相邻的后一项与前一项的差为定值即可【一隅三反】1（2019山西应县一中期末（理）若是等差数列，则下列数列中也成等差数列的是( )ABCD【答案】C【解析】A: =（an+an+1）
2、（an+1an）=d2a1+（2n1）d，与n有关系，因此不是等差数列B:= 与n有关系，因此不是等差数列.C:3an+13an=3（an+1an）=3d为常数，仍然为等差数列；D: 当数列an的首项为正数、公差为负数时，|an|不是等差数列；故选：C2（2020全国高一课时练习）已知下列各数列，其中为等差数列的个数为（ ） 4，5，6，7，8， 3，0，-3，0，-6， 0，0，0，0， A1B2C3D4【答案】C【解析】第一个数列是公差为的等差数列.第二个数列是摆动数列，不是等差数列.第三个是公差为的等差数列.第四个是公差为的等差数列.故有个等差数列，所以选C.3（2020全国课时练习）已
3、知数列，c为常数，那么下列说法正确的是（ ）A若是等差数列时，不一定是等差数列B若不是等差数列时，一定不是等差数列C若是等差数列时，一定是等差数列D若不是等差数列时，一定不是等差数列【答案】D【解析】当是等差数列时，由等差数列的性质可知，一定是等差数列，A错；对于数列：1，2，4，5，令，则为等差数列，B错；当c为0时， 0，0，0，0是等差数列，但不是等差数列，C错故选D考点二 求等差数列的项或通项【例2】（1）（2020兴安县第三中学期中）由=4，确定的等差数列，当an=28时，序号等于（ ）A9B10C11D12（2）（2020广西南宁三中开学考试）在单调递增的等差数列中，若，则（ ）A
4、BC0D【答案】（1）A（2）C【解析】（1）因为，所以，所以，解得故选：A（2）因为是等差数列，所以，解得：，故选：C【一隅三反】1（2020江苏江都邵伯高级中学月考）等差数列中，则（ ）A2B5C11D13【答案】A【解析】因为，得，又，得，由得：，故.故选：A.2（2020兴安县第三中学期中）在数列中，=2，则的值为（ ）A96B98C100D102【答案】D【解析】因为=2，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，所以故选：D3（2020广西南宁三中开学考试）数列中，那么这个数列的通项公式是（ ）ABCD【答案】B【解析】因为，所以数列是以5为首项，3为公差的等差数列，则.故选：B
5、考点三 等差中项【例2】（1）（2020全国高一课时练习）已知，则a,b的等差中项为（ ）ABCD（2）（2020昆明市官渡区第一中学开学考试（文）已知，并且成等差数列，则的最小值为_.【答案】（1）A（2）16【解析】（1），的等差中项为，故选A.（2）由题可得：，故【一隅三反】1.（2020广东濠江金山中学高一月考）在等差数列中，若，则_【答案】60；【解析】在等差数列中，解得，故答案为：602（2020全国其他（理）已知数列为等差数列，若，且与的等差中项为6，则（ ）A0B1C2D3【答案】D【解析】设的公差为.数列为等差数列，且与的等差中项为6，解得，故选：D3（2019兴安县第三中学
6、期中）已知等差数列的前三项为，则此数列的首项=_ 【答案】【解析】依题意可得，解得，故等差数列的前三项为，所以故答案为：考点四 证明数列为等差数列【例4】（2019全国高一课时练习）设数列an满足当n1时，an，且a1.(1)求证：数列为等差数列；(2)a1a2是否是数列an中的项？如果是，求出是第几项；如果不是，请说明理由【答案】(1)见证明；(2) a1a2是数列an中的项，是第11项【解析】(1)证明：根据题意a1及递推关系an0.因为an.取倒数得4，即4(n1)，所以数列是首项为5，公差为4的等差数列(2)解：由(1)，得54(n1)4n1，.又，解得n11.所以a1a2是数列an中
7、的项，是第11项【一隅三反】1（2020全国高一课时练习）已知，在数列中，。（1）证明：是等差数列。（2）求的值。【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）证明：当时，因为，所以，即。易知，所以，即。所以是首项为，公差为的等差数列。（2）由（1）知，所以，所以。2（2019全国课时练习）已知数列中，数列满足（1）求证：数列是等差数列；（2）求数列中的最大项和最小项【答案】（1）证明见解析；（2）最小项为且，最大项为且【解析】（1）因为，所以又，所以数列是以为首项，1为公差的等差数列（2）由（1）知，则设，则在区间和上为减函数所以当时，取得最小值为1，当时，取得最大值为3故数列中的最小项为且，最
8、大项为且3（2020全国高一课时练习）已知数列an满足(an11)(an1)3(anan1)，a12，令bn.(1)证明：数列bn是等差数列；(2)求数列an的通项公式【答案】(1) 见证明；(2) an.【解析】(1)证明：，即bn1bn，bn是等差数列(2)b11，an.考点五 等差数列的单调性【例5】（2020黑龙江道里哈尔滨三中高二期末（理）设是等差数列，则“”是“数列是递增数列”的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】在是等差数列，若，可得，所以数列是递增数列，即充分性成立；若数列是递增数列，则必有，即必要性成立，所以“”是“数列是递增数列”的充分必要条件.故选：C.【一隅三反】1（2020全国高二）首项为21的等差数列从第8项起开始为正数，则公差d的取值范围是（ ）Ad3BdC3dD30又a73a38=a1+6d3a1+2d=2a18，a14，04，a4=a2+2d1+10=11，即a4的取值范围为4,11，故答案为4,11. 9 / 9