1、第七章复数7.2复数的四则运算7.2.2复数的乘、除运算课后篇巩固提升必备知识基础练1.(2019全国卷)设z=i(2+i),则z=() A.1+2iB.-1+2iC.1-2iD.-1-2i答案D解析z=2i+i2=-1+2i,则z=-1-2i.故选D.2.若z=1+2i,则4izz-1=()A.1B.-1C.iD.-i答案C解析4izz-1=4i(1+2i)(1-2i)-1=i,故选C.3.(2019全国卷)若z(1+i)=2i,则z=()A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i答案D解析z=2i1+i=2i(1-i)(1+i)(1-i)=2+2i2=1+i.故选D.4.已知复数z1=3
2、+4i,z2=a+i,且z1z2是实数,则实数a等于()A.34B.43C.-43D.-34答案A解析z1z2=(3+4i)(a-i)=3a+4+(4a-3)i,因为z1z2是实数,所以4a-3=0,即a=34.5.设z=1-i1+i+2i,则|z|=()A.0B.12C.1D.2答案C解析z=1-i1+i+2i=(1-i)(1-i)(1-i)(1+i)+2i=-i+2i=i,则|z|=1,故选C.6.已知复数z满足1-iz-2=1+i,则在复平面内,复数z对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案D解析1-iz-2=1+i,z-2=1-i1+i=(1-i)2(1+i)
3、(1-i)=-i,z=2-i,z的对应点为(2,-1).故选D.7.(2021山东枣庄期末)方程x2+2x+2=0在复数范围内的解为x=.答案-1i解析由求根公式可得,x=-222-4122=-22i2=-1i.8.已知复数z=1-ii(i是虚数单位),则z2=;|z|=.答案2i2解析z=1-ii=(1-i)(-i)-i2=-1-i,z2=(-1-i)2=2i,|z|=2.9.计算:(1)-12+32i(2-i)(3+i);(2)(2+2i)2(4+5i)(5-4i)(1-i).解(1)-12+32i(2-i)(3+i)=-12+32i (7-i)=3-72+73+12i.(2)(2+2i)
4、2(4+5i)(5-4i)(1-i)=4i(4+5i)5-4-9i=-20+16i1-9i=-4(5-4i)(1+9i)82=-4(41+41i)82=-2-2i.10.已知x=1+i是方程x2+bx+c=0的一个根(b,c为实数).(1)求b,c的值;(2)试判断x=1-i是否为方程的根.解(1)因为1+i是方程x2+bx+c=0的根,所以(1+i)2+b(1+i)+c=0,即(b+c)+(2+b)i=0,于是b+c=0,2+b=0,解得b=-2,c=2,故b的值为-2,c的值为2.(2)由(1)方程可化为x2-2x+2=0,把x=1-i代入方程左边得x2-2x+2=(1-i)2-2(1-i
5、)+2=0,显然方程成立,所以x=1-i也是方程的根.关键能力提升练11.(多选题)设z1,z2是复数,则下列命题中是真命题的是()A.若|z1-z2|=0,则z1=z2B.若z1=z2,则z1=z2C.若|z1|=|z2|,则z1z1=z2z2D.若|z1|=|z2|,则z12=z22答案ABC解析A,|z1-z2|=0z1-z2=0z1=z2z1=z2,真命题;B,z1=z2z1=z2,真命题;C,|z1|=|z2|z1|2=|z2|2z1z1=z2z2,真命题;D,当|z1|=|z2|时,可取z1=1,z2=i,显然z12=1,z22=-1,即z12z22,假命题.12.若复数z=21+
6、i,其中i为虚数单位,则下列结论正确的是()A.z的虚部为-iB.|z|=2C.z的共轭复数为-1-iD.z2为纯虚数答案D解析z=21+i=2(1-i)(1+i)(1-i)=1-i.z的虚部为-1,A错误;|z|=1+1=2,B错误;z=1+i,C错误;z2=(1-i)2=-2i,为纯虚数,D正确.13.若复数z=a+2i2-i为纯虚数(aR,i为虚数单位),则复数z+1+i的虚部为()A.2iB.2C.3iD.3答案B解析a+2i2-i=(a+2i)(2+i)(2-i)(2+i)=2a-25+(4+a)i5为纯虚数,2a-25=0且4+a50,解得a=1,z=i,z+1+i=1+2i,其虚
7、部为2.故选B.14.(多选题)(2021江苏邳州校级期中)已知z1与z2是共轭复数,以下说法一定正确的是()A.z12|z2|2B.z1z2=|z1z2|C.z1+z2RD.1z2=z1答案BC解析设z1=a+bi(a,bR),则z2=a-bi.z12=a2-b2+2abi,当ab0时,z12为虚数,由虚数与实数不能比较大小可知A错误;z1z2=(a+bi)(a-bi)=a2+b2,|z1z2|=|a2+b2|=a2+b2,故B正确;z1+z2=a+bi+a-bi=2aR,故C正确;1z2=1a-bi=a+bi(a-bi)(a+bi)=a+bia2+b2,若a2+b21,则a+bia2+b2
8、a+bi,故D错误.故选BC.15.(2021上海杨浦校级三模)若复数(1+ai)(2-i)在复平面上对应的点在直线y=x上,则实数a=.答案3解析(1+ai)(2-i)=2-i+2ai+a=(a+2)+(2a-1)i,复数(1+ai)(2-i)在复平面上对应的点的坐标为(a+2,2a-1),则2a-1=a+2,即a=3.16.关于x的方程3x2-a2x-1=(10-x-2x2)i有实数根,则实数a的值等于.答案11或-715解析设方程的实数根为x=m,则原方程可变为3m2-a2m-1=(10-m-2m2)i,所以3m2-a2m-1=0,10-m-2m2=0,解得a=11或-715.17.已知
9、复数z满足(1+2i)z=4+3i.(1)求复数z;(2)若复数(z+ai)2在复平面上对应的点在第一象限,求实数a的取值范围.解(1+2i)z=4+3i,z=4+3i1+2i=(4+3i)(1-2i)(1+2i)(1-2i)=10-5i5=2-i.z=2+i.(2)(z+ai)2=(2+i+ai)2=4-(a+1)2+4(a+1)i,复数(z+ai)2在复平面上对应的点在第一象限,4-(a+1)20,4(a+1)0,解得-1a1,即实数a的取值范围为(-1,1).18.已知复数z=2+i(i是虚数单位)是关于x的实系数方程x2+px+q=0的根.(1)求p+q的值;(2)复数w满足zw是实数
10、,且|w|=25,求复数w的值.解(1)关于x的实系数方程x2+px+q=0的虚根是互为共轭复数的,所以它的另一根是2-i,根据根与系数的关系可得p=-4,q=5,p+q=1.(2)设w=a+bi(a,bR).由(a+bi)(2+i)=(2a-b)+(a+2b)iR,得a+2b=0.又|w|=25,则a2+b2=20,解得a=4,b=-2或a=-4,b=2,因此w=4-2i或w=-4+2i.学科素养创新练19.设z是虚数,=z+1z是实数,且-12.(1)求|z|的值及z的实部的取值范围;(2)设u=1-z1+z,证明u为纯虚数.(1)解因为z是虚数,所以可设z=x+yi,x,yR,且y0.所以=z+1z=x+yi+1x+yi=x+yi+x-yix2+y2=x+xx2+y2+y-yx2+y2i.因为是实数且y0,所以y-yx2+y2=0,所以x2+y2=1,即|z|=1.此时=2x.因为-12,所以-12x2,从而有-12x1,即z的实部的取值范围是-12,1.(2)证明设z=x+yi,x,yR,且y0,由(1)知,x2+y2=1,u=1-z1+z=1-(x+yi)1+(x+yi)=(1-x-yi)(1+x-yi)(1+x)2+y2=1-x2-y2-2yi(1+x)2+y2=-y1+xi.因为x-12,1,y0,所以y1+x0,所以u为纯虚数.5