1、第8章函数应用8.1二分法与求方程近似解8.1.1函数的零点8.1.2用二分法求方程的近似解课后篇巩固提升必备知识基础练1.函数f(x)=x2-bx+1有一个零点,则b的值为()A.2B.-2C.2D.3答案C解析因为函数有一个零点,所以=b2-4=0,所以b=2.故选C.2.(2021广西河池高一期末)函数f(x)=2x+ln x-1的零点所在的区间为()A.1,32B.32,2C.0,12D.12,1答案D解析函数f(x)=2x+ln x-1为(0,+)上的增函数,由f(1)=10,f12=2-ln 2-132-ln 2-1=12-ln 21,则函数f(x)的零点为()A.12,0B.-2
2、,0C.12D.0答案D解析当x1时,由f(x)=0,得2x-1=0,所以x=0;当x1时,由f(x)=0,得1+log2x=0,所以x=12,不成立,所以函数的零点为0,故选D.4.函数f(x)的图象是连续不断的曲线,在用二分法求方程f(x)=0在(1,2)内近似解的过程中,可得f(1)0,f(1.25)0,则方程的解所在区间为()A.(1.25,1.5)B.(1,1.25)C.(1.5,2)D.不能确定答案A解析由于f(1.25)f(1.5)0,f(0)0,f(2)0,即8+a0,a0,a0,解得-3a0.8.判断函数f(x)=ln x+x2-3的零点的个数.解(方法一)令f(x)=ln
3、x+x2-3=0,所以原函数零点的个数即为函数y=ln x与y=3-x2的图象交点个数.在同一坐标系下,作出两函数的图象(如图).由图象知,函数y=3-x2与y=ln x的图象只有一个交点,从而ln x+x2-3=0有一个根,即函数y=ln x+x2-3有一个零点.(方法二)由于f(1)=ln 1+12-3=-20,所以f(1)f(2)0时,函数f(x)=ax2-x-1为开口向上的抛物线,且f(0)=-10,所以f(x)必有一个负零点,符合题意;当a0时,x=12a0,f(0)=-10,所以=1+4a=0,即a=-14,此时f(x)=-14x2-x-1=-x2+12=0,所以x=-2,符合题意
4、.综上所述,a的取值范围是aa0或a=-14.关键能力提升练10.若函数f(x)=x2-ax+b的两个零点是2和3,则函数g(x)=bx2-ax-1的零点是()A.-1和16B.1和-16C.12和13D.-12和3答案B解析函数f(x)=x2-ax+b的两个零点是2和3,2+3=a,23=b,即a=5,b=6,g(x)=6x2-5x-1,g(x)的零点为1和-16,故选B.11.下列函数不能用二分法求零点的是()A.f(x)=3x-2B.f(x)=log2x+2x-9C.f(x)=(2x-3)2D.f(x)=3x-3答案C解析二分法的主要原理是零点存在定理,即f(a)f(b)0,g(x)=f
5、(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是()A.-1,0)B.0,+)C.-1,+)D.1,+)答案C解析函数g(x)=f(x)+x+a存在2个零点,即关于x的方程f(x)=-x-a有2个不同的实数根,即函数f(x)的图象与直线y=-x-a有2个交点,作出直线y=-x-a与函数f(x)的图象,如图所示,由图可知,-a1,解得a-1,故选C.14.(2021山东德州高一期末)已知mina,b表示a,b两个数中较小的一个,则函数f(x)=min|x|,1x2-12的零点是()A.2,12B.2,-2,12,-12C.(2,0),12,0D.-12,0,12,0,(-2,0),(2,
6、0)答案B解析当|x|1x2时,可解得-1x0或0x0的解集为(1,3),则不等式cx2+bx+a0的解集为13,1答案CD解析对于A,-x2+2x-10可化为x2-2x+10,即(x-1)20,解得x=1,故A错误;对于B,令x2+x-2=0,解得x1=1,x2=-2,则函数y=x2+x-2的零点为1和-2,故B错误;对于C,因为方程2x2-kx+3=0没有实数根,所以=k2-240,解得-26k0的解集为(1,3),所以1,3为方程ax2+bx+c=0的两个根,且a0可化为3ax2-4ax+a0,即3x2-4x+10,解得13x1,故A错误;函数的图象关于y轴对称,故B正确;当x-1,0)
7、时,f(x)有最小值2,但没有最大值,故C正确;令g(x)=f(x)-x2+1=0,设h(x)=x2-1,则函数f(x)和函数h(x)的图象有两个交点,即函数g(x)有两个零点,故D正确.故选BCD.18.若关于x的方程|x2-4x|-a=0有四个不相等的实根,则实数a的取值范围是.答案(0,4)解析由|x2-4x|-a=0,得a=|x2-4x|,作出函数y=|x2-4x|的图象,则由图象可知,要使方程|x2-4x|-a=0有四个不相等的实根,则0a4.19.已知函数f(x)=3x+x,g(x)=log3x+2,h(x)=log3x+x的零点依次为a,b,c,则a,b,c的大小关系是.答案ab
8、c解析画出函数y=3x,y=log3x,y=-x,y=-2的图象,如图所示.观察图象可知,函数f(x)=3x+x,g(x)=log3x+2,h(x)=log3x+x的零点依次是点A,B,C的横坐标,由图象可知abc.20.(2020山东日照五莲高一期中)已知一次函数f(x)满足2f(2)-3f(1)=5,2f(0)-f(-1)=1.(1)求函数f(x)的解析式;(2)若函数g(x)=f(x)-x2,求函数g(x)的零点.解(1)设f(x)=kx+b(k0),由条件得2(2k+b)-3(k+b)=5,2b-(-k+b)=1,解得k=3,b=-2,故f(x)=3x-2.(2)由(1)知g(x)=3
9、x-2-x2=-x2+3x-2,令-x2+3x-2=0,解得x=2或x=1,所以函数g(x)的零点是2和1.21.用二分法求函数f(x)=(x+1)(x-2)(x-3)-1在区间(-1,0)内的零点的近似值(精确到0.1).解f(-1)=-10,故函数f(x)的零点在区间(-1,0)内.用二分法逐步计算,列表如下:中点的值中点的函数值区间x1=-1+02=-0.5f(x1)=3.3750(-1,-0.5)x2=-1-0.52=-0.75f(x2)=1.578 1250(-1,-0.75)x3=-1-0.752=-0.875f(x3)0.392 60(-1,-0.875)x4=-1-0.8752
10、=-0.937 5f(x4)-0.277 10(-0.937 5,-0.875)因为-0.937 5和-0.875精确到0.1的近似数都是-0.9,因此可取-0.9为所求函数在区间(-1,0)内的零点的近似值.学科素养拔高练22.(2020广东佛山一中高一月考)设函数f(x)=mx2+(2m+1)x+2(mR).(1)求不等式f(x)0的解集;(2)已知g(x)=f(x)+(1-m)x2-(4m+1)x+m-2(mR),设x1,x2为方程g(x)=0的两根,且x12,试求实数m的取值范围.解(1)若m=0,由f(x)=x+20,得x-2;若m0,由f(x)=0,得x1=-1m,x2=-2,当m0时,解不等式f(x)0可得x-1m或x-2;当0m12时,解不等式f(x)0可得-2x-1m.综上,当m=0时,原不等式的解集为x|x-2;当m0时,原不等式的解集为xx-1m或x-2;当0m12时,原不等式的解集为x-2x-1m.(2)由题意可得g(x)=x2-2mx+m(mR),因为x1,x2为g(x)=0的两根,且x12,所以g(1)=1-m0,g(2)=4-3m1,m43,所以m的取值范围为43,+.8