1、2.3简单的三角恒等变换必备知识基础练1.已知为第一象限角,且tan =43,则sin 2的值为() A.55B.-55C.55D.15答案C解析因为为第一象限角,且tan =43,所以cos =35,而2是第一或第三象限角.当2是第一象限角时,sin 2=1-cos2=55;当2是第三象限角时,sin 2=-1-cos2=-55,故sin 2=55.2.在ABC中,若cos A=13,则sin2B+C2+cos 2A=()A.-19B.19C.-13D.13答案A解析sin2B+C2+cos 2A=1-cos(B+C)2+2cos2A-1=1+cosA2+2cos2A-1=-19.3.已知f
2、(x)=sin x+3cos x,且锐角满足f()=2,则=.答案6解析因为f(x)=sin x+3cos x=212sinx+32cosx=2sinx+3,又因为锐角满足f()=2,所以2sin+3=2,解得=6.4.设是第二象限角,tan =-43,且sin2cos2,则cos2=.答案-55解析因为是第二象限角,所以2可能是第一或第三象限角.又sin2cos2,所以2为第三象限角,所以cos20.因为tan =-43,所以cos =-35,所以cos2=-1+cos2=-55.关键能力提升练5.若函数f(x)=(1+3tan x)cos x,则f12=() A.6-22B.-3C.1D.
3、2答案D解析f(x)=1+3sinxcosxcos x=cos x+3sin x=2sinx+6,f12=2sin12+6=2sin4=2.6.若3x4,则1+cosx2+1-cosx2=()A.2cos4-x2B.-2cos4-x2C.2sin4-x2D.-2sin4-x2答案C解析因为3x4,所以32x22,sinx20.于是1+cosx2+1-cosx2=cosx2+sinx2=cosx2-sinx2=222cosx2-22sinx2=2sin4-x2.7.(多选题)若4,2,sin 2=378,则()A.cos 2=78B.cos 2=-18C.tan =-37D.sin =34答案B
4、D解析由于4,2,则22,所以cos 20.因为sin 2=378,所以cos 2=-1-sin22=-1-3782=-18,所以tan 2=sin2cos2=378-18=-37,所以sin =1-cos22=1-(-18)2=34.8.已知等腰三角形的顶角的余弦值等于725,则它的底角的余弦值为()A.34B.35C.12D.45答案B解析设等腰三角形的顶角为,底角为,则cos =725.又=2-2,即cos =cos2-2=sin2=1-cos2=1-7252=35.9.(多选题)有以下四个关于三角函数的命题,其中正确的是()A.xR,sin2x2+cos2x2=12B.x,yR,sin
5、(x-y)=sin x-sin yC.x0,1-cos2x2=sin xD.若sin x=cos y,则x+y=2答案BC解析因为sin2x2+cos2x2=112,所以A为假命题;当x=y=0时,sin(x-y)=sin x-sin y,所以B为真命题;因为1-cos2x2=1-(1-2sin2x)2=|sin x|=sin x,x0,所以C为真命题;当x=2,y=2时,sin x=cos y,但x+y2,所以D为假命题.10.(多选题)如果若干个函数的图象经过平移后能够重合,则这些函数为“互为生成函数”.下列函数中,与f(x)=sin x+cos x构成“互为生成函数”的有()A.f1(x
6、)=2sin x+2B.f2(x)=2(sin x+cos x)C.f3(x)=sin xD.f4(x)=2cosx2sinx2+cosx2答案AD解析f(x)=sin x+cos x=2sinx+4,f1(x)=2sin x+2,将f1(x)图象向下平移2个单位长度,再向左平移4个单位长度即可与f(x)图象重合;f2(x)=2(sin x+cos x)=22sinx+4=2sinx+4,f2(x)图象无法经过平移与f(x)图象重合;C.f3(x)=sin x,f3(x)图象无法经过平移与f(x)图象重合;f4(x)=2cosx2sinx2+cosx2=2cosx2sinx2+2cos2x2=
7、sin x+cos x+1=2sinx+4+1,将f4(x)图象向下平移1个单位长度,与f(x)图象重合.故A,D中的函数与f(x)“互为生成函数”.11.已知sinx+3=-33,则cos x+cosx-3=.答案-1解析因为sinx+3=-33,所以cos x+cosx-3=cos x+12cos x+32sin x=32cos x+32sin x=332cos x+12sin x=3sinx+3=-1.12.已知cosx-6=m,则cos x+cosx-3=.答案3m解析因为cos x+cosx-3=cos x+cos xcos 3+sin xsin 3=32cos x+32sin x=
8、3cosx-6,所以cos x+cosx-3=3m.13.已知sin =1213,sin(+)=45,均为锐角,求cos 2的值.解02,cos =1-sin2=513,02,02,0+,若0+2,sin(+)sin ,+,0,与已知矛盾,2+,cos(+)=-35,cos =cos(+)-=cos(+)cos +sin(+)sin =-35513+451213=3365.02,024,cos 2=1+cos2=76565.学科素养创新练14.已知sin A+sin B+sin C=0,cos A+cos B+cos C=0,求证:cos2A+cos2B+cos2C=32.证明由已知,得sin
9、 A+sin B=-sin C,cos A+cos B=-cos C.和差化积,得2sinA+B2cosA-B2=-sin C.2cosA+B2cosA-B2=-cos C.当cosA-B2=0时,sin C=cos C=0,不满足题意,cosA-B20.易知cosA+B2,cos C均不为0.,得tanA+B2=tan C.cos(A+B)=1-tan2A+B21+tan2A+B2=1-tan2C1+tan2C=cos 2C.2+2,得2+2cos(A-B)=1,即cos(A-B)=-12,cos2A+cos2B+cos2C=12(1+cos 2A+1+cos 2B+1+cos 2C)=32+122cos(A+B)cos(A-B)+cos 2C=32+122cos2C-12+cos2C=32.5