1、第十章综合训练一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.在第3,6,16路公共汽车的一个停靠站,假定这个停靠站在同一时刻只能停靠一辆汽车,有一位乘客需乘3路或6路车到厂里.已知3路车、6路车在5分钟内到此停靠站的概率分别为0.2和0.6,则此乘客在5分钟内能乘到所需车的概率为()A.0.2B.0.6C.0.8D.0.12答案C解析由已知乘3路车、6路车彼此互斥,故乘客在5分钟内乘到车的概率为0.2+0.6=0.8.2.(2021福建漳州期末)甲、乙两人玩“石头、剪刀、布”游戏(石头赢剪刀,剪刀赢布,布赢石头),现两人同时随机出拳,则游戏只进行一回合就分出胜负的概率是(
2、)A.13B.12C.23D.56答案C解析甲、乙两人同时随机出拳一次的可能结果共有33=9种,其中游戏只进行一回合就分出胜负的可能结果共有3+3=6种,故所求概率为P=69=23.3.(2021山东青岛期末)甲、乙两个箱子中各装有10个大小相同的球,其中甲箱中有5个红球、5个白球,乙箱中有8个红球、2个白球.掷一枚质地均匀的骰子,如果点数为1,2,5,6,从甲箱子随机摸出1个球;如果点数是3,4,从乙箱子中随机摸出1个球,则摸出红球的概率为()A.310B.25C.35D.710答案C解析掷到点数为1,2,5,6的概率为46=23,从甲箱子摸到红球的概率为510=12,掷到点数为3,4的概率
3、为26=13,从乙箱子摸到红球的概率为810=45,故摸出红球的概率P=2312+1345=35.4.现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次,至少击中3次的概率.先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数,指定0,1,2,3表示没有击中目标,4,5,6,7,8,9表示击中目标,以4个随机数为一组,代表射击4次的结果,经随机模拟产生了20组随机数,根据以下数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为()75270293714098570347437386366947141746980371623326168045601136619597742476104281A.0.4B.0.45C.0.5
4、D.0.55答案A解析在20组数据中,至少击中3次的为7527,9857,8636,6947,4698,8045,9597,7424,共8次,故该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为820=0.4.5.某城市一年的空气质量状况如下表所示:污染指数T不大于30(30,60(60,100(100,110(110,130(130,140概率P1101613730215130其中当污染指数T50时,空气质量为优;当50T100时,空气质量为良;当100a的概率是()A.45B.35C.25D.15答案D解析该试验的样本空间=(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3
5、,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),共有15个样本点,ba包含的样本点有(1,2),(1,3),(2,3),共3个,所以ba的概率是315=15.7.甲袋装有m个白球,n个黑球,乙袋装有n个白球,m个黑球(mn),现从两袋中各摸一个球,A=“两球同色”,B=“两球异色”,则P(A)与P(B)的大小关系为()A.P(A)P(B)D.视m,n的大小而定答案A解析设A1=“取出的都是白球”,A2=“取出的都是黑球”,则A1,A2互斥且A=A1A2,P(A)=P(A1)+P(A2)=mn(m+n)2+mn(m+n)2=2mn(m+n)
6、2.设B1=“甲袋取出白球乙袋取出黑球”,B2=“甲袋取出黑球乙袋取出白球”,则B1、B2互斥且B=B1B2,P(B)=P(B1)+P(B2)=m2(m+n)2+n2(m+n)2=m2+n2(m+n)2.由于mn,故2mnm2+n2.故P(A)P(B).故选A.二、选择题:在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.8.一个质地均匀的正四面体,四个面分别标有数字1,2,3,4,抛掷这个正四面体一次,观察它与地面接触的面上的数字得到样本空间=1,2,3,4,设事件E=1,2,事件F=1,3,事件G=2,4,则()A.E与F不是互斥事件B.F与G是对立事件C.E与F是独立事件D.F与G是独立事件答案
7、AB解析根据题意,事件E=1,2,即正四面体与地面接触的面上的数字为1或2,事件F=1,3,即正四面体与地面接触的面上的数字为1或3,事件G=2,4,即正四面体与地面接触的面上的数字为2或4,依次分析选项:对于A,当正四面体与地面接触的面上的数字为1时,事件E,F都发生,则E与F不是互斥事件,A正确;对于B,F与G一定有且只能有1个发生,是对立事件,B正确;对于C,E与F不是独立事件,C错误;对于D,F与G不是独立事件,D错误.9.甲、乙两人下棋,和棋的概率为12,乙获胜的概率为13,则下列说法错误的是()A.甲获胜的概率是16B.甲不输的概率是12C.乙输了的概率是23D.乙不输的概率是12
8、答案BCD解析甲、乙两人下棋,和棋的概率为12,乙获胜的概率为13,甲获胜的概率是1-12-13=16,故A正确;甲不输的概率是1-13=23,故B不正确;乙输了的概率是1-13-12=16,故C不正确;乙不输的概率是12+13=56.故D不正确.故选BCD.10.以下对各事件发生的概率判断正确的是()A.甲、乙两人玩剪刀、石头、布的游戏,则玩一局甲不输的概率是13B.每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和,例如8=3+5,在不超过14的素数中随机选取两个不同的数,其和等于14的概率为115C.将一个质地均匀的正方体骰子(每个面上分别写有数字1,2,3,4,5,6)先后抛掷2次,观察向上的点
9、数,则点数之和是6的概率是536D.从三件正品、一件次品中随机取出两件,则取出的产品全是正品的概率是12答案BCD解析对于A,画树形图如下:从树形图可以看出,所有可能出现的结果共有9种,这些结果出现的可能性相等,P(甲获胜)=13,P(乙获胜)=13,故玩一局甲不输的概率是23,故A错误;对于B,不超过14的素数有2,3,5,7,11,13共6个,从这6个素数中任取2个,设x1,x2分别为取得的2个素数,则(x1,x2)表示样本点,该试验的样本空间=(2,3),(2,5),(2,7),(2,11),(2,13),(3,5),(3,7),(3,11),(3,13),(5,7),(5,11),(5
10、,13),(7,11),(7,13),(11,13),共15种结果,其中和等于14的只有(3,11),所以在不超过14的素数中随机选取两个不同的数,其和等于14的概率为115,故B正确;对于C,总共有66=36(种)情况,设A=“点数之和是6”,则A=(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),共5种情况,则所求概率是536,故C正确;对于D,记三件正品为A1,A2,A3,一件次品为B,设x1,x2分别表示取出的两件产品,则(x1,x2)表示样本点.该试验的样本空间=(A1,A2),(A1,A3),(A1,B),(A2,A3),(A2,B),(A3,B),共6个样本点,设A=“
11、两件都是正品”,则A=(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),共3个样本点,则所求概率为P=36=12,故D正确.11.(2021山西吕梁期末)如图,由A1,A2,A3,A4四个电子元件分别组成甲、乙两种系统,设每个电子元件能正常工作的概率均为p(0p1),则()A.甲系统正常工作的概率为8p4B.甲系统正常工作的概率为2p2-p4C.乙系统正常工作的概率为1-(1-p)2D.甲系统正常工作的概率小于乙系统正常工作的概率答案BD解析甲系统正常工作的对立事件是A1,A2中至少一个元件不能正常工作,且A3,A4中至少一个元件不能正常工作,甲系统正常工作的概率为P=1-(1-p2)(1-p2
12、)=2p2-p4,故A错误,B正确;乙系统正常工作的情况为:A1,A2中至少一个元件能正常工作,且A3,A4中至少一个元件能正常工作,乙系统正常工作的概率为P=1-(1-p)21-(1-p)2=p4-4p3+4p2,故C错误;0p1,(2p2-p4)-(p4-4p3+4p2)=-2p2(1-p)20,甲系统正常工作的概率小于乙系统正常工作的概率,故D正确.三、填空题12.下列试验是古典概型的为.从6名同学中选出4人参加竞赛,每人被选中的概率;同时掷两颗骰子,点数和为6的概率;近三天中有一天降雨的概率;10人站成一排,其中甲、乙相邻的概率.答案解析在中,从6名同学中选出4人参加竞赛,每人被选中的
13、概率,这个试验具有古典概型的两个特征:有限性和等可能性,故是古典概型;在中,同时掷两颗骰子,点数和为6的概率,这个试验具有古典概型的两个特征:有限性和等可能性,故是古典概型;在中,近三天中有一天降雨的概率,没有等可能性,故不是古典概型;10人站成一排,其中甲、乙相邻的概率,这个试验具有古典概型的两个特征:有限性和等可能性,故是古典概型.13.管理人员从一池塘中捞出30条鱼做上标记,然后放回池塘,将带标记的鱼完全混合于鱼群中.10天后,再捕上50条,发现其中带标记的鱼有2条.根据以上数据可以估计该池塘约有条鱼.答案750解析设池塘约有n条鱼,则含有标记的鱼的概率为30n,由题意得30n50=2,
14、n=750.14.为了践行习总书记提出的“绿水青山就是金山银山,坚持人与自然和谐共生”的理念,我市在经济快速发展的同时,更注重城市环境卫生的治理,经过几年的治理,市容市貌焕然一新,为了调查市民对城区环境卫生的满意程度,研究人员随机抽取了1 000名市民进行调查,并将满意程度统计成如图所示的频率分布直方图,其中a=2b.若按照分层随机抽样的方式从分数在50,60),60,70)内的市民中随机抽取5人,再从这5人中随机抽取2人,则至少有1人的分数在50,60)内的概率为.答案710解析由频率分布直方图得,(0.01+a+b+0.035+0.01)10=1,a+b=0.045,又a=2b,解得a=0
15、.030,b=0.015.50,60),60,70)两段频率比为0.10.15=23,按照分层随机抽样的方式从分数在50,60)内的市民中抽取2人,记为a1,a2,从分数在60,70)内的市民中抽取3人,记为b1,b2,b3,设x1,x2分别表示从这5人中抽取的2人,则数组(x1,x2)表示该试验的样本点.该试验的样本空间=(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(b1,b2),(b1,b3),(b2,b3),共10个样本点,其中,至少有1人的分数在50,60)内包含的样本点有7个,至少有1人的分数在50,60)内的概率P
16、=710.四、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.将一枚质地均匀且四个面上分别标有1,2,3,4的正四面体先后抛掷两次,其底面落于桌面上,记第一次朝下面的数字为x,第二次朝下面的数字为y.(1)求满足条件“xy为整数”的事件的概率;(2)求满足条件“x-y2”的事件的概率.解根据题意,可以用(x,y)来表示得到的点数情况,则试验的样本空间=(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共16种情况.(1)记“xy为整数”为事件A,则
17、A=(1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(3,3),(4,1),(4,2),(4,4),共8种情况,则P(A)=816=12.(2)记“x-y0,由前三年六月份各天的最高气温数据,得当温度大于等于20 的天数为90-(2+16)=72,估计Y大于零的概率P=7290=45.18.(2021天津河西期末)甲、乙两位同学参加某高校的入学面试.入学面试中有3道难度相当的题目,已知甲答对每道题目的概率都是35,乙答对每道题目的概率都是12.若每位面试者共有三次机会,一旦某次答对抽到的题目,则面试通过,否则就一直抽题到第3次为止.假设对抽到的不同题目能否答对是相互独立的,且甲、乙两人互不影响
18、.(1)求甲第二次答题通过面试的概率;(2)求乙最终通过面试的概率;(3)求甲、乙两人至少有一人通过面试的概率.解(1)设甲第二次答题通过面试为事件A,则P(A)=1-3535=625.(2)设乙最终通过面试为事件B,对立事件为乙最终没通过面试,P(B)=1-121-121-12=18,P(B)=1-18=78.(3)设甲、乙两人至少有一人通过面试为事件C,对立事件为甲、乙两人都没有通过面试,P(C)=1-351-351-3518=1125,P(C)=1-1125=124125.19.(1)掷两枚质地均匀的骰子,计算点数和为7的概率;(2)利用随机模拟的方法,试验120次,计算出现点数和为7的
19、频率;(3)所得频率与概率相差大吗?为什么会有这种差异?解(1)设第一枚骰子向上的点数记为x1,第二枚骰子向上的点数记为x2,则可用数组(x1,x2)表示样本点.该试验的样本空间=(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6);(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6);(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),
20、(6,6),共36种情况,其中点数和为7的有6种情况,概率P=636=16.(2)试验120次后得到结果如下表格:635135664254664264224636422655535112322462523212636131122264641251235246253265413131154313524215522622616542251442112542266236416234313116246434224562541634226412235441545221453566136511144151543236445242155226226165422553521632246252321263规定每
21、个表格中的第一个数字代表第一枚骰子出现的数字,第二个数字代表第二枚骰子出现的数字,从表格中可以查出点数和为7的有23个数据,点数和为7的频率为231200.19.(3)由(1)中点数和为7的概率为160.17,由(2)点数和为7的频率为231200.19,两者相差虽然不大,但有一定差异.一般来说频率与概率有一定的差距,因为模拟的次数不多,不一定能反映真实情况.20.某小组共有A,B,C,D,E五名同学,他们的身高(单位:m)以及体重指标(单位:kg/m2)如下表所示:同学ABCDE身高1.691.731.751.791.82体重指标19.225.118.523.320.9(1)从该小组身高低于
22、1.80的同学中任选2人,求选到的2人身高都在1.78以下的概率;(2)从该小组同学中任选2人,求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在18.5,23.9)中的概率.解(1)设x1,x2分别表示从身高低于1.80的同学中任选的2人,则数组(x1,x2)表示样本点,该试验的样本空间=(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D),共6个样本点.由于每个人被选到的机会均等,因此这些样本点的出现是等可能的.设A=“选到的2人身高都在1.78以下”,则A=(A,B),(A,C),(B,C),共3个样本点.因此选到的2人身高都在1.78以下的概率为P=36=12.(2)从该小组同学中任选2人,则该试验的样本空间=(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E),共10个样本点.由于每个人被选到的机会均等,因此这些样本点的出现是等可能的.设B=“选到的2人身高都在1.70以上且体重指标都在18.5,23.9)内”,则B=(C,D),(C,E),(D,E),共3个样本点.因此选到的2人身高都在1.70以上且体重指标都在18.5,23.9)中的概率为P1=310.10