1、计算流体力学讲义2015 第四讲 有限差分法（2）李新亮；力学所主楼219；82543801,知识点：离散误差的Fourier分析;间断周围数值振荡的原因、群速度控制（GVC）；模型方程向N-S方程的推广：流通矢量分裂,1,Copyright by Li Xinliang,课件下载：http:/,Copyright by Li Xinliang,2,知识回顾,1.有限差分基本原理,差商-微商,待定系数法,2.基本概念,差分格式、截断误差、精度,差分方程、修正方程,显格式、隐格式,全离散、半离散,守恒性、非守恒型,3.相容性、稳定性;Lax等价定理,Copyright by Li Xinlian
2、g,3,知识回顾:守恒型格式,写成差量形式,习惯写法：,Copyright by Li Xinliang,4,4.1 差分格式的误差分析,概念1：精度 vs.分辨率,描述 网格充分密集时差分格式的误差特性,描述网格有限的情况下，差分格式的误差特性,2 阶精度,误差,4阶精度,格式1,格式2,3阶精度,显然：足够小的情况下，格式1误差更小 并非足够小的情况下，格式2 有可能误差更小,精度特性,分辨率特性,Copyright by Li Xinliang,5,概念2：有效网格分辨率,目的：计算差分，,Case 1,Case 2,网格点数增加了一倍，但问题也复杂了一倍,用同一差分格式计算，两种工况误
3、差完全相同。,有效网格点数：一个波长里面的网格点数（PPW:Point per Wavelength),有效波数,10个点,20个点,1.耗散与色散误差,6,Copyright by Li Xinliang,精确解,1阶迎风,2阶迎风,数值实验,时间推进：3步TVD型Runge-Kutta,且时间步长足够小（误差忽略）空间离散：1阶及2阶迎风格式（20个网格点）,实验观察到的现象 两类误差：振幅误差 相位误差（波速误差）,的实部应当为0，虚部应当为,Copyright by Li Xinliang,7,上述现象误差源分析,误差可忽略（高阶格式，步长充分小）,误差源,差分误差对方程（解）误差的影
4、响,半离散分析：假设时间推进是精确的，仅分析空间离散带来的误差（难度小、常用）全离散分析：同时分析时、空离散的误差（难度大）,假设对于：,有,隐含假设:线性差分格式 非线性系统作用于单波，会产生多个谐波,精确解,精确差分格式（谱方法）:,修正波数,Copyright by Li Xinliang,8,令：,（1）式化为：,“半离散化”：空间导数差分计算，时间方程（常微）精确计算,如果，无误差,分析（修正波数）与误差的关系,理想情况：的误差导致解的幅值误差 耗散误差 的误差导致解传播速度的误差 色散误差,假设对于：,有,差分误差与方程解误差的关系,反映了一个波内的点数。PPW（波内的点数）=,C
5、opyright by Li Xinliang,9,耗散、色散误差分别由修正波数的实部和虚部决定。,关键参数：修正波数,含义：反应波数（谱）空间内差分的误差,任意函数：,定义：,求导数，精确解,差分解,Fourier 分析的任务计算出，并考差其与 的逼近程度。,考察格式分辨率（resolution）的重要指标 精度：反映 时的情况 分辨率：网格点数很少（例如波里面只有6个点）时的性能对于多尺度问题，分辨率更重要。牺牲精度，提高分辨率,优秀的差分格式，1个波长里面6个点 即可,精度 分辨率,Copyright by Li Xinliang,10,如何计算修正波数？,定义：,方法1.理论计算 根据差分具体表达式及定义计算,例1：,令,则：,于是：,1阶迎风,