1、杰端吡坯2 8 2 3)G S M 明 德弘设催精门1 0 4，一研 专 用金榜时代考研数学系列|V 研客及全国各大考研培训学校指定用书数学最后多套卷名校冲刺版数学一编著李永乐武忠祥 王式安 刘喜波申亚男章纪民 宋浩 姜晓千 陈默周洋鑫 硕哥微信扫码免设领取本书配套精讲课名校，我来啦!份名校的学M，不一定能让你走上巅峰。但是，能让你有更多的选择，能的，这就是名校学历的用处e a 部。中国农业出版社孟C H I N A A G R I C U L T U R E P R E S S在费2 0 2 3 考研数学保命班只讲必考题型、必考方法.必考技巧迅速提高解题能力，节省宝贵的时间C 于保命1 0
2、0 分，冲刺1 2 0!金榜茗师倾力打造去年报著1 0 0 0+学员，备受好评专题+冲刺串讲，茗师实时直播互动，省时省力更高效!分析必考题型，理庸重难点!小题有方法，大题有思路，必拿步分学练测评，餐学陪伴，全程答疑，能妥提分。帮助基础弱的同学充满信心进考场，让基础好的同学在考场上发挥更从容在最后的考研数学冲刺阶段，借力使力才不费力!赠送3.上岸帆布包（李爷爷签宫版）1.含师满分真题笔记资料-5.金榜题名盒2.全科知识汇总思维导图 4.考试8 件套便全生业。E W B P 道Q帆布级考研数学（1 个。超机发费）置注宣望复回远大动的进李小%背且金榜湖名燕全科知识汇e 您维每围金柳题名盒考试总件套阳
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4、3 0 1）考生注意事项1.答题前，考生须在试题册指定位置上填写考生编号和考生姓名;在答题卡指定位置上填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。2.选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内，超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题册上答题无效。3.填（书）写部分必须使用黑色字迹签字笔书写，字迹工整、笔迹清楚，涂写部分必须使用2 B 铅笔填涂。4.考试结束，将答题卡和试题册按规定交回。考生编号考生姓名一、选择题1 1 0 小题，每小题5 分.共5 0 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的。一s i n
5、0（1）设f（x）=，其中a，b 为常数且b 0.若f（x）在 x=0 处二阶可导，则0.r=0(A)a-b 1.(B)0 2.(D)0 a-b 2.（2）有一长度为5 m 的梯子贴靠在铅直的墙面上.假设t=0 时梯子的下端开始沿地面以3 m/s 匀速离开墙角滑动，则在何时梯子上端沿墙面下滑的速度也为3 m/s立乙、2豆门：(A)1=5、2 s.w c u-号区（D u-晋s.（3）已知偶函数/（z）在（-，十）上连续，F（x）=【0（x-1）d，则（A）F（x）是偶函数.（B）F（x r）是奇函数.（C）F（x）既非奇函数，也非偶函数.（D）F（x）的奇偶性无法确定.（4）下列结论中正确的是
6、u。收敛，则l i m m 1 1.（A）若正项级数。发散，则1 i m m 2 1.（B）若正项级数年一1 1 0 时.存在函数u（z，炒）使得d u=二二y 2 d r 十（土y）d y，其中。为常数.求化十飞字己（1 9）（本题满分 1 2 分）设u=1，u =2，u。=u m-1 十u，2（n 3）.（）证明号-u，2 u。-（n 3）;的敛散性.一三谨迳义千（2 0）（本题满分1 2 分）设a 0 （1）a。满足莱布尼茨判别法的条件，则它必然绝对收敛.（D）若交错级数（-1）a。不满足莱布尼茨判别法的条件，则它必然发散.。一（5）设A 为m n 矩阵，则齐次线性方程组 A A T x
7、=0 仅有零解的充要条件是（B）A 的列向量组线性相关.（A）A 的列向量组线性无关.（D）A 的行向量组线性相关.（C）A 的行向量组线性无关.。云”三它”百言名石丁百“中言言（6）设A，P，Q 均为3 阶矩阵，且P T A P=23+1），则Q A Q 为击听，.p(B)，s o长j ,sc)(D)试卷二 第1 页（共3 页）（7）下列结论中正确的是（A）若n 阶实矩阵A 与B 等价，则A 与B 合同.（B）若n 阶实矩阵A 与B 合同，则A 与B 等价.（C）若n 阶实矩阵A 与B 相似，则A 与B 合同.（D）若n 阶实矩阵A 与B 合同，则A 与B 相似.（8）连续型随机变量 X 与
8、X 有不同的概率密度，X 的概率密度/（x）可能为(A)-1(B)（-0 x 十o）.(-0 8 r +0)迎(2:岂可e l(C):它e i-1(-o o x +).x(-1 x 1-e .(B)1-2 e .(D)2 e.（1 0）一个袋子中装有白球和黑球，有放回的取n 次，其中有k 个白球，则袋子中黑球数和白球数之比R 的最大似然估计为C 1 B R 4.心：(D R-1-g乙心二、填空题1 1 1 6 小题，每小题5 分，共 3 0 分.（1 1）f（x）=x a r c t a n.x I n x 十T 的麦克劳林级数展开式为_ _ _ _（1 2）已知艺【I n n+a l n（n
9、+1）+创l n（n 2）】收敛，则a=_ _ _ _ _ p.(y )=0（1 3）初值问题、1 的解为_ _ _ _ _ _y(0)=1,y(0)=2闷（1 4）已知z=f（x 2，x g（y），其中f 二阶偏导连续，g 可导，则;5.7 y（1 5）已知A 为n 阶不可逆矩阵，A 为A 的伴随矩阵，为A 的两个不同的列向量，则齐次线性方程组 A x=0 的通解为x =_ _ _ _.（1 6）设随机变量X 与Y 相互独立且均服从正态分布N（2，d），且P X-1 -呈.则P m a x（X，Y）2，m i n（X，Y）一1 =_ _ _ _ 三、解答题;1 7 2 2 小题，共 7 0
10、分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（1 7）（本题满分1 0 分）记求极限I n【（1+-n+lK2 4/试卷二 第2 页（共3 页）（1 8）（本题满分1 2 分）设偶函数f（z）可导f（x）0，n（z）=|I x-4 f（2）d，【-a，l a 0.（）证明g （x）单调递增;（）求g（x）的最小值 m（a）;（）若m（a）=f（a）-a*-1，求 f（x）.（1 9）（本题满分1 2 分）%l“谱十叫设椭球豫面;2=1（a 0，b 0，c 0）上点P（z，y，x）处的切平面为丑，原点到C沁”A C6的距离为 p.录证-（b e+a e 十a 8）.，3 a b r（2 0）（本
11、题满分1 2 分z 的和函数.-1)2。32 m)!略（2 1）（本题满分1 2 分）公0心心字e f t是对称矩阵A=乏已知p=的单位特征向量.求以为第一列的响确”，吟。正交矩阵P，使得在正交变换x=P 下，二次型f=x T A x 化为标准形，并写出标准形，其中x=(z 1,z,x 3),J=(y:3,y 3 s T.（2 2）（本题满分1 2 分）0 z 1,z,设随机变量Z 的概率密度为/（z）=2 一z，,1 2,其他。0,心-1,z 2 11,Z 1,2 号v-50,令随机变量 X=Z 1.己乙1,z（）试求X 和 Y 的联合分布律;（）X 与Y 是否相互独立，并说明理由;）|产+
12、y+i ，函数八）在x=0处可导，且f（O）=0./（0）0.若当t 0 时，F t）为的k 阶无穷小，则太等于(A)2.乙(B)3.(D)5.二a r c t a n d r（b 0）收敛，则（2）已知反常积分x*+2（B）a 1.（A）a -2 且b-a 1.（C）a -2 且b-a 1.（D a 0 且b-a 0.(C)a b 1）是总体N（0，d 3）的简单随机样本，其样本均值与样本方差分别为X=X 与S。一（X 一X）2，记T=n X-S，则方差 D T =-1六4 n 22 6(A);(B)-。n(n-1:n(-1:4 m+2 a(C):(D)-a.这平十（n 十1（9）已知随机变
13、量X 与Y 相互独立，且分布函数分别为x 0,(0.号o -1，E（a）-_F I(x)=.(-0 x +0),，部d,.t 1.则Z=X+Y 的分布函数F（x）=量F（r-1）.F,(2)+3 F(r-1 D.F-（x）+号(A)-|(B)-一-w己十子！(C)-F:(x-1).(D-泳边已十心、（1 0）设随机变量X E（2），Y N（号4），且X 和Y 的相关系数为0.1 2 5，则根据切比雪夫不等式可知P|X-Y|z ）中r l 的系数为_ _ _ _（1 4）过（1，2，3）且与曲面x=x（x y）所有切平面相互垂直的平面方程为_ _ _.(1 20。.2 A B E，则（A 0 一
14、2 A+3 A 7）-_ _（1 5）设矩阵B=1 1（1 6）设二维随机变量（X，Y）在区域G=（x y）|0 x 1，0 y 1 上服从均匀分布.令U =|X+Y I，F（u，z）是（U，V）的联合分布函数，则F（号与）=_ _ _.M!V-=/x-Y,试卷三 第2 页（共3 页）铺三、解答题1 7 2 2 小题，共7 0 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（1 7）（本题满分1 0 分）设f（x）在【0，1】上连续，f（x）d x=0，x f（x）d r=1，求证（1）日E【0，1】，使得|f（e）|4（）日【0，1】，使得|f（p）|=4.（1 8）（本题满分1 2 分）在椭
15、球面2/2 y z=1 上求一点，使函数/（x，y，z）=x y y 在该点沿方向l=i-j 的方向导数最大.（1 9）（本题满分1 2 分）设g（x，y）有连续一阶偏导数，L 为从点O（0，0）沿曲线y=s i n x 至点A（2 x，0）的有向弧段，计算曲线积分|,x y ,(x,y)+y y(x)+y+x s i n x d x+x y (x,y)+a p(x,y)+e -x d y.1=（2 0）（本题满分1 2 分）求级数区（2 m m）【1】g+1 的和，n!表示v 的双阶乘。1一L I N G（2 1）（本题满分1 2 分）已知三元二次型x T A x 经正交变换为2 y l 一
16、y 5-y，又知矩阵B 满足矩阵方程(g A)B A-=2 A B 4 E,且A a=a，其中a=（1，1，-1）7，A 为A 的伴随矩阵，求此二次型x B x 的表达式.（2 2）（本题满分1 2 分）一个罐子里装有黑球和白球，黑、白球数之比为a 1，现有放回地一个接一个地抽球，直至抽到黑球为止.记X 为所抽的白球个数.这样做了次以后，获得一组样本X；，X，.基于此，求未知参数a 的矩估计a u 和最大似然估计a l.试卷三 第3 页（共3 页）金绣路代G L S M 百前商配弘置烫推前V 研客 及全国各大考研培训学校指定用书金粉时代考研数学系列数学最后3 橱图卷名校冲刺版（数学一）编著李永
17、乐 武忠祥 王式安 刘喜波 申亚男 章纪民 宋浩 姜晓千 陈默 周洋鑫 硕哥中国农业出 版社C H I A G R I C u L T u R E P R E s s北京围书在版编目（C I P）数据数学最后3 套卷;名校冲刺版.数学一/李永乐等编著.一北京;中国农业出版社，2 0 2 2.1 0（金榜时代考研数学系列 S B N 9 7 8-7-1 0 9-3 0 1 4 8-1.数.李.高等数学一研究生一入学考试-一习题集，O 1 3-4 4中国版本图书馆 C I P 教据核字（2 0 2 2）第 1 8 4 0 2 6 号数学最后3 套卷;名校冲刺版、数学一S H U X U E Z U
18、 I H O U S A N T A O J U A N;M I N G X I A O C H O N G C T B A N,S H U X U E Y I中国农业出版社出版地址，北京市朝阳区塞于店街 1 8 号楼邮编1 0 0 1 2 5贵任篇辑;宫 营资任校对;英网婷印制，河北正御印务有限公司版次2 0 2 2 年1 0 月第1 版印次;2 0 2 2 年1 0 月再北第 1 次印剧发行;新华书店北京发行所开本7 8 7 t m 1 0 6 2 m m 1/1 6印张;4字数9 5 千字定价3 9.8 0 元版权所有侵权必究凡购买本社围书，颠有印装质量阀愿，我社负资调换，服务电话1 0
19、 1 0-5 8 1 9 4 9 5 2 0 1 0-5 9 1 9 5 1 1 6前 言临近终点，但胜负未定。考研进入了冲刺阶段，大家的水平高低基本确定，但是还不能放松，学习从来就是逆水行舟、不进则退。此时能够做的是在前期复习的基础上，保持练习，记忆考试内容，让大脑维持相应的活跃度。超常发挥还是发挥失常，结果会大为不同。把实力、技巧和心态三者结合起来，才能在考试当中正常发挥，甚至超常发挥。这一阶段的主要任务就是将心态调整到应试状态。考研从来都不是一件容易的事情，只有用心付出才会获得回报。每个准备考研的人从一开始确定目标，再到准备考研资料，然后看书、听课、做题、划重点、背书，一步步走来有多不容
20、易，个中滋味，唯有自知。我们经常看到，有的同学平时成绩一直很好，但一到大考就失常，这可能就是同学们心理负担太重又缺乏应试技巧。为了让同学们在今年的考研中从容应对，发挥出自己应有的水平，考出理想的成绩，编写了这套模拟冲刺卷;借此机会和同学们进行一下交流，算是临考前的寄语。同学们，你们能有机会参加今年的考研，就已经是相当优秀的人了，要相信自己。你们都算是身经百 考 的战士，无惧任何考试。考前有点紧迫感是正常的，也是必要的，但不要紧张，更不要慌乱。要以好的心情、好的情绪来迎接考试。提醒同学们，注意休息!注意休息!注意休息!不搞疲劳战。最后，说一下这 3 套模拟卷。卷子的编写团队成员都是经验丰富的一线
21、教师，均是在对近几年的考题深入研究的基础上命制的题目。对考前检测、摸底都是有帮助、有意义的。做这3 套模拟题就是要模拟考场，做到应对突发状况不慌张。希望同学们做到以下几点（1）认真阅读，严格审题，弄清题目要求，理清解题思路，找出解题方法，不要简单浏览一下，感觉容易就匆匆作答，题中往往设有埋伏。（2）遇到难题，先放一下，不然会无意义地耗时，在做完容易题后，再来解决难题，或待思路流畅时再来做难题，力争 易题不失分，难题多得分。当你觉得难时，别人往往也无从下手，这样想，心情就能平静下来，正常发挥。（3）答后检查，在做完试卷后，只要时间允许，就要一丝不苟地进行复查。一是查缺漏，看看是否有漏答题;二是检
22、查解题步骤，发现错了，要及时校正。亲爱的同学们，占用你们的宝贵时间，苦口婆心地说了这些，若能对同学们应试有点裨益，就足以让我感到欣慰了。我期待你们的完美表现，并祝愿你们金榜题名!编 者2 0 2 2 年1 0 月目 录2 0 2 3 年全国硕士研究生招生考试数学（一）试卷答案与解析.(1)：一一己.一、选择题.(4)二、填空题(6)三、解答题试卷二答案与解析.(1 0)：十：(1 0)一、选择题.二、填空题（1 3）三、解答题（1 5 试卷三答案与解析（2 0）一、选择题（2 0二、填空题（2 3）三、解答题（2 5）2 0 2 3 年全国硕士研究生招生考试数学（一）试卷一答案与解析一、选择题
23、（1【答案】C.八（r）-F（o）泻台。【解析】因为广（0）=l i m存在，所以a 1，且广（0）=，有0，。i m r s i n，=0.故0言：台叶；言了子少中保宁。“艺；言0.r=0.下它气！空言货叫=l i m(a r s i n）存在，所以a 2 且a-b 2.又因为f （0）=l i m 2a故应选（C）.（2）【答案】D.【解析】设梯子上端下滑距离为y m，下端离开墙的距离为x m，则y=5 一2 5 一王，3 元d ys/)=-、，：部2 5-xe：2 55,d y部心5当s.m，再由x=3 4 可得1=3 时，一=1，解得x =，6厚码2 5 一x下夕、故应选（D）.（3）
24、【答案】A.【解析】令u=x 一1，则F(x)=-J x-w r m d a-x-r n a“心三产（D d r 与j r/（D d 都是偶函数因为厂（1）是偶函数，所以/（2 由是奇函数，于是。1。按位州故应选（A）.（4）【答案】C.【解析】根据比值判别法则，可知（C 正确.岂元u e l、则0 u-著u。=2+（一1）C u。收敛，但 l i m易 知正项级数，雪这。吗？心十。它l i m2+（一1）一 不存在，（A）不正确;*2+(-1)i若u=4【2+（一1）】，则u 中，易知正项级数u.发散，但l i m =4 l i m 2就。2+（一1 不存在，（B）不正确;若 u。=，.则i
25、 m 丝=1，但正项级数u。收敛，（D 不正确.t m。，。故应选（C）.（5 答案】C.【解析】所求常数项为乙。一。1 0 31 o 2 32 3 2(-1 3f(0)=，。业1 01，11 2故应选（C）.（6）【答案】B.【解析】因为太0，m 0，所以可由，线性表示，y 可由，线性表示，即，与，等价，（B）正确.取=（1，1），=（1，0），Y=-=（-1，-1），则l a+0+l y=0，但是不可由，Y线性表示，故（A）（C）不正确。取=-0.?=0.则l a 1+1 y=0.但是不可由线性表示，（D）不正确.故应选（B）。（7）【答案】B.【解析】将A 的第1 列与第2 列互换得到B
26、，再把B 的第1 行的（-1）倍加到第3 行得到C，即A:7 1，(0 1夕元三C=2 名冲校朝版-4 于4.(0于是A=-告L-1.0A-=-北北，-，?(0 1A =一（8）【答案】D.【解析】令A=红球比白球出现得早，B.=第i 次取得红球且前i 一1 次取得黑球，i=1，2，3，4.5，6，则A=B+B。+B.+B;B s B,其概率相应为5 45 4 4,P(B:)=5,P(B:)=P(B;)=亚1 2 1 1 1 0 1 2 1 15 4 3 2 45 4 3 45 4 3 2 1 4P(B:)=,P(B。)=,P(B;)=1 2 1 1 1 0 9 8 7 1 2 1 1 1 0
27、 9 81 2 1 1 1 0 9 因此，红球比白球出现得早的概率为；e s ls o 豆4一-P(A)=3 332 9 93 39 92 7 9 9故选（D）.（9）【答案】C.【解析】不妨设X 的分布律为P X=a.=p，i=1.2，Y 的密度函数为g（y）.由全概率公式，X+Y 的分布函数为F.(z)=P X+Y z=P（X+Y 3 I X=a P I X=a 1 P I X+Y 主 X=a P I X=a z=P Y z-a|X=a p 1 十P Y x-a|X=a p零它号十g(y)d y.=P、。、。由变限积分可知X Y 的分布函数F z（z）为连续函数.故选（C）.3 增毫刺校（
28、1 0）答案 D.【解析】X N（-1，2），Y N（1，2），则D（X）=2.D（Y）=2.又C o v（X，Y）=0，C o v（a X+Y，X 价）=0.由协方差的性质有C o v(a X+Y,X+b Y)=a C o v(X,X)+C o v(Y,X)+a b C o v(X,Y)+b C o v(Y,Y)=a D(X)+6 D(Y)=2 a+2 b=0,故 a b=0.选（D.二、填空题（1 1）【答案】x+y 十z=3.【解析】设切点为P（x，y，z o），则x o y o z。=1，且切平面的法向量为n=（y o z。，z a z，x o y）.工，由x 6）b 8 z。=1 可
29、 r。=y。=z。=a 心依题意n/n，其中m =（1，1，1），所以当三平=须下11，所求切平面方程为x-1 y-1+z-1=0，即x y+z=3.（1 2）答案】-6 4 r c o s 4 r-6 0 4 s i n 4 x.【解析】令y=s i n 2 x c o s x，则y=x y y=s i n x 十c o s x=（s i n 十c o s x）（s i n x s i n x c o s x 十c o s x）=s i n x-s i n z c o s x+c o s x=（s i n x 十c o s x）-3 s i n 2 x c o s x丫坚儿”吵(1-c o
30、s 4)=1-3。G c o s 4.7,“沙图区下一义言子义工宁十嗬4 o(4 z+)y l =:），为正整数.1 0气”之乎入三之；之三十飞9 式=6 4 x c o s（4 x+5 x）6 0 4 c o s（4 r 十之行=-6 4 x c o s 4 r-6 0 4 s i n 4.r.（1 3）【答案】0.【解析】令P（r，y）=二Q(r,)=a p y，则当（x，y）（0，0）时，3 QP。2 a y i-2 r y”，=苏y阁一色十吆唱Q设C 与L 所围区域为D.则在D 上连续由格林公式可知功。a y4。校制乎受，“导)d r d y=0,率好/3比委”伐咔。t d y-s y
31、 d r所以=0.十yr 十y-（1 4）【答案】4 8【解析】1=常：d e 空“掌(1+y)F dx(1-ya y d e/o工一十之y(1-y)，-d y飞了(1+y):y(1-p)d y=4 8（1 5【答案】X a A-1）（x-+1）.【解析】|?-A|=-）（A-）（-入。）（A 一），其中，入，入，入是A 的4 个特征值.已知=0，=1，入+。=1+=t r（A）=艺a，A 的另一个特征值为少“！广（1 6）【答案】F（1，1）.冶(X+X。+X,)?1X【解析】Y=中3、XA产溶N(0,1),因为X 1+X+x N 0，3），X+X+XV 3 o（土为土工）x a D.（停）
32、x w./X+X+X上己部么。0之十十X且相互独立，故与矿空-l(X 1+X+x叫F(1,1),：钙？/X.”即Y 一告（淤F 1,1 D.、5剩校的三、解答题（1 7）【解】分割区间y【0，4】，对应【y.y+y】的窄条旋转而成的体积为A V r【（3+A-3-（3-4-y）】A y，v =f【（3+4-5 2-（3-V 4 一y）d y=1 2 r(。4 一y d y =6 4 x.工一）心十只（1 8）L 解】令P（x，y）=;二，则x 0 时，,Q(x:,y)=（a 十y十y六化十飞飞！图十3 Q可r入化十”陀。-（z 十y）-2 a y（x-p（x i 土y）-=可y一伐十飞将、连续
33、.易知，在单连通区域x 0 内，o y万主因为存在函数以（x，y），使得d=P（x.y）d+Q（x，y）d y，所以没一张毫（x 十乎）-2 a r（x+y（x+y）=-（x y）-2 a y（x-y）（x+y）厂!，解得a=1.y。x d r+y d y-y d r+x d yd u=G r 一y）d+（a+p d y.之“”十气”r d y-y d.r1 d（主2+y）d I n(z+y)+d a r e t a n 2,=“当+y（立1+得？-l n（z y）+a r e t a n 立+C，C 为任意常数.故u（x，y）=，号u=u=u u=3 2 u 显然成立;（1 9）【解】（I）
34、n=3 时，十假设号u-出2-1（k 3）.则太3 时，号u，-上m，于是.，u N=如十如;u+号，产十世即太3 时，号出 号，0 且号-2 u-（n 3），所以0 寸;3 u 一吃6 老对棱刺指于是品-品名名2 号e l w品-5）.so|下四（s.一-l；一s-1-动，s.-u s好1常鸣c a l;图u c|e2 1.c ls.3 5,2 5。s,-X|se3 u,/s双ao l su l e散S.立少收敛。，S.。单调递增有上界，所以，级数|.（2 0 0 证明】令F（x 2）-J F（r d，G（x）=J/（p d，则对任意x 【a，b，存在忘（a x）y.（x，b），使得（专，）
35、，它它。F（x）=F（a）+F （a）（x 一a）+(z-a)+(x-a)362下。、f(a)2(x-a)+=0+f(a(x-a)+(x-a),62G(b)工！它G(x)=G(b)+G (b)(-b+工不！它十绍它2(n 2下飞。(x-D)*+:一！它=0+f(b)(x-b)+百2取工=0，可知存在合（a.0）（0.b），使得下吧。f(a)F(O)=|F(P)d =-a f(a)+工！a;62(m偿。2 oC(O)=J()d r =-o f(b)+:2 6.石吗 式减式，得J（r）d r=b f（b）-a f（a）-号 D (b)-a d f(a)+:上【n）b-了（e 0 a 2】.l又f（
36、x r）在【a，b】上二阶导函数连续，设/（x）在【a，6】上的最大、最小值分别为M，m，则m b 2 广（n）b M，m a 一了（）a 2-M a 3（注意a 0 b），于是m（b-a）了（）b-广（专）a M b-a），n）b/（合）am:M.-a因为（x）在【a，b】上连续，所以存在s（a，b），使下号忘！宁。记；下：b-一a即（）b-产（s）a 3=f （8）（B-a），74塑需增点工【6 了（b）-a 广（a）】+景b-a）产s）.厂（x）d r =b f（b）-a f/（a）-一厅（2 1）【解】先将，a。正交规范化.令=a=(-2,-1,2 T;际吧-=:.=一=a-a 1=（
37、1，2，2）T;呼(a.B)_(a B)B.=a 一-=3+4-3=a g 7 a 1-3 a:=(4,4,2).少“呼响(B,-3 a-3-号取。-合(-2,-1,2)r,吓(1,2,2),=号a-a）-号（。“N s么。在宁与吓一言a+a-3）=(2,-2,1)r.。目=响e则了百33。，-|o上万。(e,e,e y)=(a 1,1 a e,a)；一仔o0？工上需-l 二百己上互。、则T=A R.令正交矩阵T=（e，e，e;），上三角矩阵R=；一。0/（2 2）【解】（）X 的概率密度函数为言示了：其他。Y 的概率密度函数为-l2 y 2+,之涵叫其他0,显然 f（x，y）=厂、（x r）
38、f y（y），所以随机变量X 与Y 相互独立.（）由（I）知，（X.X。.X。）可看作是自总体X 的简单随机样本，（Y，Y。，Y。）可看8 标兽校刺版作是来自总体Y 的简单随机样本，且X U【1，1+a】Y U 2.2+A，E（X）=1+号，E（Y）=2+g.由1+号-E（X=是 X，得，未知参数的矩估计量为4 宫x-2.同理，未知参数的矩估计量为5 y 一4.-e,n一目（）未知参数的似然函数为巳守己污1 z 1 1 十a，1 工。1 十a，0.其他。易见，似然函数L（g）无驻点，利用定义直接求L（a）的最大值点，当越小时L（g）越大，因面a =m a x X;1，X 2 一1，X。-1 时
39、L（a）达到最大值，故=m a x X 1-1，X。1，X。一1）是未知参数的最大似然估计量.同理，=m a x Y 一2，Y。-2，Y。一2 是未知金数的最大似然估计量。9 章 名赞斜舞2 0 2 3 年全国硕士研究生招生考试数学（一）试卷二答案与解析一、选择题（1）【答案】D.”目代十文化【解析】I n（1-2 x）=-2 x 十o（x），1-e当c 0 时，a t a n x 十b（1-c o s x）a t a n 工+b（1-c o s x）证=2,a=-4 c;l i m-=:l i m当一2 c x r +o（x）c l n(1-2 r)+d(1-e)，当c=0 时，0（已知a
40、2 十c 0），a t a n x+b(1-c o s x)a t a n 工+b（1-c o s x）=o，不合题意.己”=l i m _容”十之化”c l n(1-2 x)+d(1-e)0故应选（D）.（2）【答案】C.(o)-r(O)f(o2=f(0)=1 F(0).【解析】因为l i m F（x）=l i m-l i m:“易工r-0故应选（C）.（3）【答案】C.叶玉l i m y=l i m e a r c t a n【解析】因为么、x9肖l i m y=l i m e a r c t a n-=-“子汇+1小！十乙：l i m y =l i m e a r c t a na”中一
41、曲线有三条渐近线y=平，y=-牙，=0.故应选（C）.1 0 老冲校制版（4【答案】B.【解析】根据莱布尼茨判别法则，可知（B）正确.(-1)a。=若a。=工，则G 一1）*满足莱布尼茨判别法则的条件，却是条件收敛的，n（C）不正确;了了；1（一1）=（n 2），则若a。=-.不满足莱布尼茨判别法则n+(-1人n 十（一1）的条件，下面说明该级数是收敛的.；一(-1)(-1)当n 2 时，；(1十门合/1+“一门它p+()(-1):(-1)(-11+=一，2 n理、n 是随机变量 X 的分布函数，因此随机变量X 与一X 有相同的概率分布.选项（A）（B）（D）中的/（x）显然是偶函数，只有选项
42、（C）中的/（x）不是偶函数，因此只有（C 是正确选项.（9）【答案】B.【罪桥】由泊松分布的可加性有，X+Y 服从参数为1+入。的泊松分布.于是E（X+Y）=+2，D（X+Y）=+入，从而由 E【（X+Y）】-2 E（X Y）=0 得十入+（t 十2）2-2（，+）=0，即（;+入）2-A+入2）=0，从而+A。=1 或0（舍去）.故P X+Y 2 =1-P(X+Y=0 -P X+Y=1=1-2 0 1.应选（B）.1 2 毫冲运背（1 0【答案】A.【解析】设袋子中装有白球r 个，则有黑球 R z 个，从而袋子中共有（R 1）x 个球.从袋子中R，有放回的取一个球为白球的概率为7.从袋子中
43、有放回的尺十为黑球的概率为;(R+1):，具六十取n 个球，可看作是从 0 1 分布总体 X 中抽取一个容量为n 的样本X 1，X，X。，其中【0，第i 次取得黑球X，一 1.第i 次取得白球 X;=A,R岁R-+似然函数为L（R）=冽R+(R+1 5+1I n L(R)=(n-k)l n R-n l n(R+1),平！六l n L(R)n”“=R+d RR解得，R 的最大似然估计为良一是一1二、填空题(-1)x 2（1 1）【答案】/（x）=(n+1 2 n+2 -1,1.A31=a r e t a n x./(x)=【解析】广（x）=a r e t a n x 一十它一十一十x（-1，1）
44、时，-产（z）=i（-1 r 产，=1+?下它长！的了己盼r m-J r o a+r o-J 2o-【r o 出+0-2-v 品1 o m女吗十呼当四(-1)(2 n 1)(2 n 2)2 3 所4 e经计算可得级数（一1）的收敛域为x 【-1，1】.（2 n 十1）（2 n+2下当”令S（x）=2（一1）2 n+D（2 n+西【-1】，则S（x）=八（2）【-1，1】.因为S（x）在【-1，f（x）在x=1 连续，故S(1)=l i m f(x)=f(1),S(-1)=l i m f(x)=J(-1),。，一总之，S（x）=/（x），x【-1，1】，即(-1)*zf(t)=（2 n+D（2
45、十2 r 【-1.1】.1 3 造老刺扶公众铺（1 2）【答案】-2.【解析】l n n a l n（n 1）b l n（n+2）=l n+a i n+a l（1+）+b l n n+i n（1+号）叫将忘叶将十三部三名叫=(a+b+1)I n n+a ,宁言十它叫守！；=（a 十b 十1）l n n+（a+2 b）心马已知【I n n+a l n（n+1）+b l n（n 2）】收敛，故a+b+1=0.+2 b=0.解得晶=-2.（1 3）【答案】y=a 干.,4 1+p=0。【解析】令p=y，则y=出，p，原方程 y y +（y ）=0 化为 p yd y+-0.出出由初始条件 y （0）
46、=可知p 0?=-p,求得通解为p-号，代入y=1 时p=2，可得C，=号.一继续求解 p=，得通解 y=工C，代入 y（0）=1，得C。=1，所求初值问题的解为当人y=v+I.（1 4）【答案】2.2 2/g x/g g f g .进=2 x/+/g（y），【解析】2.:”需十心空*-,t:x 0 y=2.2 2 f n g （y）+g（y）/丝x g （y）+f g （y）=2.2 j i g +x f g g 十方g .（1 5）【答案】k（一B.），k 为任意常数.【解桥】已知A 有两个不同的列向量，且A 不可逆，即A 非零，|A|=0.于是A A =|A|E=O,即A 的列向量是 A
47、 x r=0 的解向量，由此可知一为A x=0 的非零解.由A 非零可知r（A）=n-1，所以齐程组A r=0 的通解为x=k（;一），k 为任意常数.1 4 名寸校剩（1 6）【答案】、31 6【解析】因为 P m a x（X，Y）2，m i n（X，Y）-1=P (X 2,Y 2)0 (X-1)U(Y-1)=P I(X-1,Y 2)U(X 2,Y-1)=P I X-1,Y 2 +P(X 2,Y-1 -P I X-1,Y-1=P I X-1 P(Y 2)+P I X 2 P(Y-1 -P I X-1 P(Y-1）r 0）+a（o e（-吕）-o（-吾）声（-吕）.=（了心其中队（x）表示标准
48、正态分布函数，又P（X-1 =4，即（一吕）=4己蹈故所求概率为三、解答题记1。“己乌通冷；芯工十！气十n-n(4)-+g-汀己作o22 4令t 2 m（+品）-1-是-；一云+（）】-1l2 n-3 n-工一守守：=-骂3 n,“品+（】；一上涵守十才P=“13 开骂3 n-与+（）.一“。“宅3 n-品+（）】-品+（；守十守三哥飞一）-2 z r（O）-J r t o a-J【f o a-【r t o 出.g （x）仍可导，g （x）=2 f（x）0，所以g （x）单调递增.（）因为八x）是偶函数，所以g（0）=厂F（t）由-J/（r D d r=0.x 0 时，g （x）g （0）=0
49、，g（x）在【0，a】上单调递增;x 0 时，g （x）“”(2 m)!了丫坚铯们比。“了丫监辩归。2 m)!T(2 n)!一一(-1 9 (-1)-2 产-2（(2 n-2)T了三。N/；飞”r i=r c o s x;（2 m）了了郸2 n已业了N2 m；一(-1 7？！业丫了=。（2 m 一D T*-D 产；目！心(-1):!=-z s i n x;吗十飞2工(-1)i n =c O S 工，”一【故S（x）=一沁“号“心r s i n r-c o s x，x（-0，十）.一中志善专力。（2 1）【解】设对应的特征值为，由A=，即。解得a=2，=1;1 7 国皆剩校铺乎业2-2-“A-正
50、E|=0 1-1 一入2 一4 5 一=-(A-1)*(a-1 0),即 A 的特征值为。=1 0，=2=1.求解x=0，即x 1 2 x 2 x 3=0，求得A 的对应;=1 的另一个与正交的单-(2,4.5);位特征向量为a=_ _ _4 5求解（A-1 0 E）x=0，求得A 的对应入。=1 0 的单位特征向量为=与（1，2，2）T.s l e-|o秘义写；二孙邻令P=（，y）=，则在正交变换x=P y 下，厂=x T A x r 化为标准形s l。孙=y+y 1 0 y 2.z 号、-1.量2 号.r-【1 Z I0（2 2）【解】（I）由题知 X =1,Z 1.当可“”心1.2工己产