1、 四边形专题复习1平行四边形的判定和性质：性质判定平行四边形对边平行；平行四边形对边相等；平行四边形对角相等；平行四边形邻角互补；平行四边形对角线互相平分平行四边形的面积平行四边形是中心对称图形，其对称中心是对角线交点两组对边分别平行的四边形；两组对边分别相等的四边形；一组对边平行且相等的四边形；两组对角分别相等的四边形；对角线互相平分的四边形注意：1平行四边形的面积：平行四边形的面积等于它的底和该底上的高的积如图1，2. 拓展：同底(等底)同高(等高)的平行四边形面积相等如图2，3. 平行四边对角线分得的四个三角形面积相等。2矩形的判定和性质判定性质有一个角是直角的平行四边形是矩形有三个角是
2、直角的四边形是矩形对角线相等的平行四边形是矩形矩形具备平行四边形的性质矩形四个角都是直角矩形两条对角线相等矩形是中心对称图形，又是轴对称图形，它有两条对称轴矩形面积Sab(a、b分别表示矩形的长和宽)3菱形的判定和性质判定性质一组邻边相等的平行四边形是菱形四条边都相等的四边形是菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形菱形具备平行四边形的性质菱形四边都相等菱形两条对角线互相垂直且每条对角线平分一组对角菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，它有两条对称轴菱形面积分别表示菱形两对角线的长）4正方形的判定和性质判定性质有一个角是直角且一组邻边相等的平行四边形是正方形一组邻边相等的矩形是正方形一个角是直角的
3、菱形是正方形对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形正方形具备平行四边形性质正方形既具备矩形特殊性质，又具备菱形特殊性质，即：四边都相等；四个角都是直角；两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角；既是中心对称图形，又是轴对称图形，它有4条对称轴面积Sa2 （a表示正方形的边长）5梯形的判定和性质类别判定性质梯形一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形梯形一组对边平行而另一组对边不平行梯形中位线平行于两底且等于两底和的一半是梯形的上下底，h是高，m是中位线）等腰梯形两腰相等的梯形是等腰梯形同一底上两角相等的梯形是等腰梯形对角线相等的梯形是等腰梯形等腰梯形具有一般梯形的性质等腰梯形
4、两腰相等等腰梯形同一底上两角相等等腰梯形对角线相等等腰梯形是轴对称图形直角梯形有一个角是直角的梯形是直角梯形直角梯形具有一般梯形的性质直角梯形的一腰垂直于底边6梯形中的常用辅助线：7.平行线等分线段定理（1）如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上所截得的线段也相等（2）经过三角形一边中点且与另一边平行的直线必平分第三边（3）经过梯形一腰中点且与底边平行的直线必平分另一腰8三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半梯形的中位线平行于两底且等于两底和的一半典型例题：例1.如图，ABCD中，AE=CF，AE与CF交于点O，连结BO求证：AOB=COB解：作BM
5、CF于M，BNAE于N，连接BE、BF；根据和AE=CF，可证BN=BM，于是AOB=COB例2.如图：工人师傅要把一块三角形的钢板，通过切割焊接成一个与其面积相等的平行四边形请你设计一种方案并在图中标出焊接线，然后证明你的结论解：如图，分别取边AB、AC的中点D、E，沿线段DE切割开，将ADE的边AE与边EC重合(点A与点C重合、点E与点E重合)后焊接，点D至点F处，则所得四边形DBCF为平行四边形证明略例3. 已知：平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB的中点求证：(1)BEAC； (2)EG=EF。证明：(1) 四边形ABCD是平
6、行四边形， AD=BC，BD=2BO由已知BD=2AD， BO=BC，又E是OC中点， BEAC(2)由(1)BEAC，又G是AB中点， EF是OCD的中位线， 又， 例4如图，ABCD为等腰梯形，ABCD，对角线AC，BD交于O，且AOB=60，又E，F，G分别为DO，AO，BC的中点求证：EFG是等边三角形。证明：连接EC ABCD为等腰梯形， AD=BC，且AC=BD 又 DC=DC， ADCBCD，ACD=BDC， ODC为等腰三角形 DOC=AOB=60， ODC为等边三角形 又 E为OD中点， OEC=90 在RtBEC中，G为斜边的中点， 。同理 在OAD中， E，F分别为OD，
7、OA的中点 ，故EFG为等边三角形例5已知，如图，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在正方形ABCD边AB，CD，DA上，AH=2，连接CF (1)当DG=2时，求FCG的面积；(2)设DG=x，用含x的代数式表示FCG的面积；(3)判断FCG的面积能否等于1，并说明理由解：(1) 正方形ABCD中，AH=2， DH=4 又DG=2，因此HG=，即菱形EFGH的边长为 在AHE和DGH中，A=D=90， AH=DG=2，EH=HG=， AHEDGH。 AHE=DGH。 DGH+DHG=90， DHG+AHE=90， GHC=90，即菱形EFGH是正方形同理可以证明D
8、GHCFG 因此FCG=90，即点F在BC边上，同时可得CF=2，从而(2)作FMDC，M为垂足，连结GE， ABCD， AEG=MGE， HEGF， HEG=FGE。 AEH=MGF。 在AHE和MFG中，A=M=90，HE=FG， AHEMFG。 FM=HA=2，即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2。因此(3)若，由，得，此时，在DGH中，。 相应地，在AHE中，即点E已经不在边AB上。故不可能有。 另法：由于点G在边DC上，因此菱形的边长至少为DH=4， 当菱形的边长为4时，点E在AB边上且满足，此时，当点E逐渐向右运动至点B时， HE的长(即菱形的边长)将逐渐变
9、大，最大值为。 此时，故。 而函数的值随着的增大而减小， 因此，当时，取得最小值为。 又因为，所以FCG的面积不可能等于1。巩固练习：1、把正方形绕着点，按顺时针方向旋转得到正方形，边与交于点（如图）试问线段与线段相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想DCABGHFE2、四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG（1）求证：AE=CG；（2）观察图形，猜想AE与CG之间的位置关系，并证明你的猜想3、将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到D 处，折痕为EFABCDEFD（1）求证：ABEADF；（2）连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？证明你的结论挑
10、战自我：1、 (2010年眉山市)如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则ABC的度数为（ ）A90 B60 C45 D302、（2010福建龙岩中考）下列图形中，单独选用一种图形不能进行平面镶嵌的图形是（ ）A. 正三角形B. 正方形C. 正五边形D. 正六边形3（2010年北京顺义）若一个正多边形的一个内角是120，则这个正多边形的边数是（ ）A9 B8 C6 D44、（2010年福建福州中考）如图4，在ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AC=14，BD=8，AB=10，则OAB的周长为 。5、（2010年宁德市）如图，在ABCD中，AEEB，AF2，则FC等于
11、_第5题图FA E BCD6题6、 (2010年滨州)如图,平行四边形ABCD中, ABC=60,E、F分别在CD、BC的延长线上,AEBD,EFBC,DF=2,则EF的长为 ABCD7、 (2010年福建晋江)如图，请在下列四个关系中，选出两个恰当的关系作为条件，推出四边形是平行四边形，并予以证明（写出一种即可）关系：，已知：在四边形中，；求证：四边形是平行四边形DABC8、（2010年宁波市）如图1，有一张菱形纸片ABCD，。（1）请沿着AC剪一刀，把它分成两部分，把剪开的两部分拼成一个平行四边形，在图2中用实数画出你所拼成的平行四边形;若沿着BD剪开，请在图3中用实线画出拼成的平行四边形
12、;并直接写出这两个平行四边形的周长。（图1）（2）沿着一条直线剪开，拼成与上述两种都不全等的平行四边形，请在图4中用实线画出拼成的平行四边形。（注：上述所画的平行四边形都不能与原菱形全等）DABCDABCDABC（图4）（图3）（图2） 周长为_ 周长为_9、（2007天津市）在梯形ABCD中，AD/BC，对角线ACBD，且，BD=12c m，求梯形中位线的长。10、（2007山东）如图，在周长为20cm的ABCD中，ABAD，AC、BD相交于点O，OEBD交AD于E，则ABE的周长为（） (A)4cm (B)6cm (C)8cm (D)10cm11题10题11、（2006山东）如图，在平行四
13、边形ABCD中，AEBC于E，AFCD于F，EAF=45o，且AE+AF=，则平行四边形ABCD的周长是 直击中考：1. （2011安徽）如图，D是ABC内一点，BDCD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是（ ）【答案】DA7B9C10D112. （2011山东威海）在ABCD中，点E为AD的中点，连接BE，交AC于点F，则AF：CF（ ） A1：2B1：3C2：3D2：5 【答案】A 3. （2011四川重庆）下面图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成，其中，第个图形一共有1个平行四边形，第个图形一共有5个平行四边
14、形，第个图形一共有11个平行四边形，则第个图形中平行四边形的个数为( ) 【答案】C图 图 图 图A55 B42 C41 D294. （2011宁波市）一个多边形的内角和是720，这个多边形的边数是（ ）【答案】CA 4 B 5 C 6 D 75. （2011广东汕头）正八边形的每个内角为（ ）【答案】A120 B135 C140 D1446、（2011山东德州）图1是一个边长为1的等边三角形和一个菱形的组合图形，菱形边长为等边三角形边长的一半，以此为基本单位，可以拼成一个形状相同但尺寸更大的图形（如图2），依此规律继续拼下去（如图3），则第n个图形的周长是（ ）【答案】C图1图2图3（A）
15、（B） （C） （D）7. （2011山东泰安）如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为（ ）【答案】B A.17 B.17 C.18 D.198. （2011山东泰安）如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC=3，则折痕CE的长为（ ）【答案】AA.2 B. C. D.6 9. （2011四川重庆）如图，正方形ABCD中，AB6，点E在边CD上，且CD3DE将ADE沿AE对折至AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF下列结论：ABGAFG；BGGC；AGCF；SFGC3其中正确结论
16、的个数是( ) 【答案】C A1 B2 C3 D410. （2011浙江省嘉兴）如图，五个平行四边形拼成一个含30内角的菱形EFGH（不重叠无缝隙）若四个平行四边形面积的和为14cm2，四边形ABCD面积是11cm2，则四个平行四边形周长的总和为（ ）【答案】A（A）48cm（B）36cm（C）24cm（D）18cm（第10题）11. （ 2011重庆江津）如图,四边形ABCD中,AC=a,BD=b,且ACBD,顺次连接四边形ABCD各边中点,得到四边形A1B1C1D1,再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点,得到四边形A2B2C2D2,如此进行下去,得到四边形AnBnCnDn.下列结论正确
17、的有( ) 【答案】C四边形A2B2C2D2是矩形; 四边形A4B4C4D4是菱形;四边形A5B5C5D5的周长; 四边形AnBnCnDn的面积是A. B. C. D.A1AA2A3BB1B2B3CC2C1C3DD2D1D312. （2011湖北武汉市）如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E，F分别在AB，AD上，且AE=DF连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H下列结论：（ ） 【答案】DAEDDFB；S四边形BCDG= CG2；若AF=2DF，则BG=6GF其中正确的结论A只有B只有C只有DABCDEFGH第12题图13. （2011山东烟台）如图，三个边长均为2的正方形重叠
18、在一起，O1、O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是 . 【答案】214. (2011浙江绍兴) 取一张矩形纸片按照图1、图2中的方法对折，并沿图3中过矩形顶点的斜线（虚线）剪开，那剪下的这部分展开，平铺在桌面上，若平铺的这个图形是正六边形，则这张矩形纸片的宽和长之比为 . 【答案】15. （2011甘肃兰州）如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去。已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为 。【答案】16、（2009年宜宾）如图，菱形ABCD的对角线长分别为，以菱形ABCD各边的中点为顶点作矩形A1B1C1D1，
19、然后再以矩形A1B1C1D1的中点为顶点作菱形A2B2C2D2，如此下去，得到四边形A2009B2009C2009D2009的面积用含 的代数式表示为 【答案】 17、（2009 黑龙江大兴安岭）如图，边长为1的菱形中，连结对角线，以为边作第二个菱形，使 ；连结，再以为边作第三个菱形，使 ；，按此规律所作的第个菱形的边长为 【答案】18（2011山东日照，16，4分）正方形ABCD的边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，且始终保持AMMN当BM= 时，四边形ABCN的面积最大 【答案】2; 19、（2011四川宜宾）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，E、F在AC上，G
20、、H在BD上，AF=CE，BH=DG求证：GFHE HACBDOEGF【答案】证明：平行四边形ABCD中，OA=OC，由已知：AF=CE AFOA=CEOC OF=OE 同理得：OG=OH四边形EGFH是平行四边形 GFHE20、（2011四川成都10分） 如图，已知线段ABCD，AD与BC相交于点K，E是线段AD上一动点. (1)若BK=KC，求的值； (2)连接BE，若BE平分ABC，则当AE=AD时，猜想线段AB、BC、CD三者之间有怎样的等量关系?请写出你的结论并予以证明再探究：当AE=AD ()，而其余条件不变时，线段AB、BC、CD三者之间又有怎样的等量关系?请直接写出你的结论，不
21、必证明 【答案】解：（1）ABCD，BK=KC，=.（2）如图所示，分别过C、D作BECFDG分别交于AB的延长线于F、G三点，BEDG，点E是AD的点，AB=BG；CDFG，CDAG，四边形CDGF是平行四边形，CD=FG；ABE=EBC ，BECF，EBC=BCF，ABE=BFC，BC=BF，AB-CD=BG-FG=BF=BC，AB=BC+CD.当AE=AD ()时，（）AB=BC+CD.21、（2011贵州安顺10分）如图，在ABC中，ACB=90，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，且AF=CE=AE说明四边形ACEF是平行四边形；当B满足什么条件时，四边形ACEF
22、是菱形，并说明理由第25题图【答案】（1）证明：由题意知FDC =DCA = 90EFCA AEF =EACAF = CE = AE F =AEF =EAC =ECA 又AE = EAAECEAF，EF = CA，四边形ACEF是平行四边形 （2）当B=30时，四边形ACEF是菱形 理由是：B=30，ACB=90，AC=，DE垂直平分BC， BE=CE又AE=CE，CE=，AC=CE，四边形ACEF是菱形22、（2011山东滨州10分）如图，在ABC中，点O是AC边上（端点除外）的一个动点，过点O作直线MNBC.设MN交BCA的平分线于点E,交BCA的外角平分线于点F，连接AE、AF。那么当点
23、O运动到何下时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论。（第24题图）【答案】当点O运动到AC的中点（或OA=OC）时，四边形AECF是矩形2分证明：CE平分BCA,1=2，3分又MNBC, 1=3，3=2，EO=CO. 5分同理，FO=CO6分EO=FO又OA=OC, 四边形AECF是平行四边形7分又1=2，4=5，1+5=2+4. 8分又1+5+2+4=1802+4=909分四边形AECF是矩形10分23、（2011湖北襄阳10分)如图9，点P是正方形ABCD边AB上一点（不与点A，B重合），连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90得到线段PE，PE交边BC于点F，连接BE，DF.（1）
24、求证：ADPEPB；（2）求CBE的度数；（3）当的值等于多少时，PFDBFP？并说明理由. 图9【答案】（1）证明：四边形ABCD是正方形APBC90，ABAD，ADPAPD901分DPE90 APDEPB90ADPEPB.2分（2）过点E作EGAB交AB的延长线于点G，则EGPA903分又ADPEPB，PDPE，PADEGPEGAP，ADABPG，APEGBG4分CBEEBG45.5分（3）方法一：当时，PFEBFP.6分ADPFPB，APBF，ADPBPF7分设ADABa，则APPB，BFBP8分，9分又DPFPBF90，ADPBFP10分方法二：假设ADPBFP，则.6分ADPFPB，
25、APBF，ADPBPF7分，8分，9分PBAP， 当时，PFEBFP.10分24. （2011湖南永州10分）探究问题：方法感悟：如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足EAF=45，连接EF，求证DE+BF=EF感悟解题方法，并完成下列填空：将ADE绕点A顺时针旋转90得到ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：AB=AD,BG=DE, 1=2，ABG=D=90,ABG+ABF=90+90=180，因此，点G，B，F在同一条直线上EAF=45 2+3=BAD-EAF=90-45=451=2， 1+3=45即GAF=_又AG=AE，AF=AFGAF_=EF，故DE+B
26、F=EF （第25题）方法迁移：如图，将沿斜边翻折得到ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且EAF=DAB试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想（第25题）（第25题）解得图问题拓展：如图，在四边形ABCD中，AB=AD，E，F分别为DC,BC上的点，满足,试猜想当B与D满足什么关系时，可使得DE+BF=EF请直接写出你的猜想（不必说明理由）（第25题） 【答案】EAF、EAF、GFDE+BF=EF，理由如下：假设BAD的度数为，将ADE绕点A顺时针旋转得到ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：AB=AD,BG=DE, 1=2，ABG=D=90,ABG+ABF=90+9
27、0=180，因此，点G，B，F在同一条直线上EAF= 2+3=BAD-EAF=1=2， 1+3=即GAF=EAF又AG=AE，AF=AFGAFEAFGF=EF，又GF=BG+BF=DE+BF DE+BF=EF 当B与D互补时，可使得DE+BF=EF25、（2007南充）如图， 等腰梯形ABCD中，AB15，AD20，C30点M、N同时以相同速度分别从点A、点D开始在AB、AD（包括端点）上运动（1）设ND的长为x，用x表示出点N到AB的距离，并写出x的取值范围（2）当五边形BCDNM面积最小时，请判断AMN的形状ADCBMNDCBMNAP解：（1）过点N作BA的垂线NP，交BA的延长线于点P（
28、1分）由已知，AMx，AN20x四边形ABCD是等腰梯形，ABCD，DC30，PAND30在RtAPN中，PNANsinPAN（20x），即点N到AB的距离为（20x）（3分）点N在AD上，0x20，点M在AB上，0x15，x的取值范围是0x15（4分）（2）根据（1），SAMNAMNPx（20x）（5分）0，当x10时，SAMN有最大值（6分）又S五边形BCDNMS梯形SAMN，且S梯形为定值，当x10时，S五边形BCDNM有最小值（7分）当x10时，即NDAM10，ANADND10，即AMAN则当五边形BCDNM面积最小时，AMN为等腰三角形（8分）26、（2007福建晋江）如图，四边形A
29、BCD为矩形，AB4，AD3，动点M、N分别从D、B同时出发，以1个单位/秒的速度运动，点M沿DA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动。过点N作NPBC，交AC于点P，连结MP。已知动点运动了秒。请直接写出PN的长；（用含的代数式表示）若0秒1秒，试求MPA的面积S与时间秒的函数关系式，利用函数图象，求S的最大值。若0秒3秒，MPA能否为一个等腰三角形？若能，试求出所有的对应值；若不能，试说明理由。MABCNDP解：；延长NP交AD于点Q，则PQAD，由得：PN，则。依题意，可得：yxx=1.5123412O01.5 即函数图象在对称轴的左侧，函数值S随着的增大而增大。当时，S有最大值 ，S最大值。MPA能成为等腰三角形，共有三种情况，以下分类说明：若PMPA，PQMA MQQA又DMMQQAAD ，即若MPMA，则MQ，PQ，MPMA在RtPMQ中，由勾股定理得：，解得：（不合题意，舍去）若APAM，由题意可得：，AM，解得：综上所述，当，或，或时，MPA是等腰三角形。18