1、 年月南宁师范大学学报(自然科学版)S e p 第 卷 第期J o u r n a l o fN a n n i n gN o r m a lU n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c eE d i t i o n)V o l N o D O I:/j c n k i i s s n 文章编号:()关于丢番图方程组xp q u,xxv 管训贵(泰州学院 数理学院,江苏 泰州 )摘要:设pq均为大于的素数,该文利用二次和四次丢番图方程的结果证明了,丢番图方程组xp q u,xxv除了在情形(p,q)(,)时有非平凡的整数解(x,u,v)(,),在其
2、他情形都仅有平凡的整数解(x,u,v)(,)关键词:P e l l方程;丢番图方程组;整数解;递归序列中图分类号:O 文献标志码:A对于无平方因子的正整数D,求解形如xD y的丢番图方程一直是引人关注的课题,其中形如xD u,xxv()的方程组是一种重要类型设p,q为奇素数,文,分别对Dp q以及pq(m o d)的情形,给出了()的全部整数解文 对一般的奇素数p,q,证明了:方程组x p q u,xx v除在p,q 时有非平凡解(x,u,v)(,)外,仅有平凡解(x,u,v)(,)本文完整地解决了()中另一个方程组在Dp q时的情形,即证明了如下定理定理设pq均为大于的素数,则丢番图方程组x
3、p q u,xxv()除了在情形(p,q)(,)时有非平凡的整数解(x,u,v)(,),在其他情形都仅有平凡的整数解(x,u,v)(,)若干引理引理设D为无平方因子的正整数,则P e l l方程xD y()有无限多组正整数解设xyD是()的基本解,则()的全部整数解由如下公式给出:xy D(xyD)n,n 由引理直接可得引理对于非负整数n,设,且unnn,vnnn,则(u,v)(un,vn)为P e l l方程uv的全部整数解引理设D为无平方因子的正整数,若方程xD y()有整数解,设xyD是()的基本解,则()的全部整数解由如下公式给出:收稿日期:基金项目:江苏省自然科学基金(B K );云
4、南省教育厅科学研究基金(J );泰州学院教博基金(T Z X Y J B J J )作者简介:管训贵(),男,江苏兴化人,教授,研究方向:数论E m a i l:t z s z g x g c o m第期管训贵:关于丢番图方程组xp q u,xxvxy D(xyD)n n,n 由引理直接可得引理设,令gm m m,hm m m,m,则(g,h)(gm,hm)为方程gh的全部整数解引理方程XY的正整数解仅有(X,Y)(,)和(,)引理方程XY()的正整数解仅有(X,Y)(,)证明我们证明方程()没有满足Y的正整数解(X,Y)由引理知,方程xy 的全部正整数解为xy()n n()()n()(unv
5、n),n,()其中 为该方程的最小正整数解,而 为P e l l方程UV 的基本解若方程()有正整数解,则存在正整数n使得Yunvn()容易验证下列关系式成立:un un un,u,u;()vn vn vn,v,v;()unun,vnvn;()ununvn,vnunvn;()unun(un)un(unvn);()un k t()tun(m o duk),vn k t()tvn(m o duk)()利用()和(),对()取模得剩余序列的周期为,且当n,(m o d)时,unvn(m o d)为模的平方非剩余,故排除当n,(m o d)时,分以下三种情形讨论情形当n时,Yuv,故Y,从而X情形当n
6、(m o d)且n时,令n t(k)(t),并且m t,则m(m o d)此时由()和()可得Yunvn(u mv m)(umvm)(m o dum)又由()知,umum(umvm),故有Y(umvm)(m o dumvm)()注意到m(m o d)时,umvm(m o d),且vmum(m o d),vmum(m o d)以及(),故()给出(Yumvm)(umvm)umvm)(umvmumvm)(umvmumvmumvm)(vmumvmumvm)(vmumvm)(vmumumvm)(umvmvmum)(vmvmum)(vmum),矛盾情形当n(m o d)时,令nt(k)(t),并且mt,
7、则m(m o d)此时同样有Yunvn(u mv m)(umvm)(m o dum)以下完全类似情形的讨论知不可能证毕类似可证南 宁 师 范 大 学 学 报(自 然 科 学 版)第 卷引理方程XY的正整数解仅有(X,Y)(,)引理设p是奇素数,则方程xp y 除p,x,y 和p ,x ,y 外,无其他的正整数解引理方程x y无正整数解引理 设p是奇素数,则方程xp y 除p,xy 和p,x,y 外,无其他的正整数解定理的证明易见方程()有平凡的整数解(x,u,v)(,)设(x,u,v)是()的任一组正整数解,其中x将()的第一式代入第二式,整理得(v)(p q u)由x知v根据引理,存在正整数
8、r使得p q uvr()由于vr r r()rr r rr ur vr,故式()成为ur vrp q u()情形r为奇数设rs,s,则由()可得us vs p q u()考虑到g c d(us,vs)g c d(us vs,vs)g c d(us,vs)g c d(,vs),由()知,存在正整数a,b使得us p q a,vs b,g c d(a,b),ua b;()或us p a,vs q b,g c d(a,b),ua b;()或us q a,vs p b,g c d(a,b),ua b;()或us a,vs p q b,g c d(a,b),ua b()当()成立时,由us vs ,有u
9、s b 根据引理可得us 或,故s 或,从而s,进而r此时式()成为p q uv,不可能当()成立时,根据引理和引理可得gs hs s s s s(s)(s)s s vs q b()考虑到g c d(gs,hs),由()知,存在正整数c,d使得gs q c,hs d,g c d(c,d),bc d;()或gs c,hs q d,g c d(c,d),bc d()由()的第二式知gs d根据引理可得gs,显然不适合第一式由()的第一式知chs 根据引理可得hs,显然不适合第二式仿()类似可证()也不可能成立当()成立时,由us vs,有avs 根据引理知该方程无正整数解情形r为偶数设rs,s,则
10、由()可得us vsp q u()考虑到g c d(us,vs)g c d(usvs,vs)g c d(us,vs)g c d(,vs),由()知,存在正整数a,b使得第期管训贵:关于丢番图方程组xp q u,xxvus p q a,vsb,g c d(a,b),ua b;()或us q a,vsp b,g c d(a,b),ua b;()或us p a,vsq b,g c d(a,b),ua b;()或us a,vsp q b,g c d(a,b),ua b()当()成立时,由usvs,有us b根据引理知该方程无正整数解当()成立时,由()的第二式可得usvsp b()考虑到g c d(u
11、s,vs),由()知,存在正整数c,d使得usp c,vsd,g c d(c,d),bc d;()或usc,vsp d,g c d(c,d),bc d()由()的第二式知usd 根据引理可得us 或结合第一式,有us,故s,从而p,c,d 代入()的第一式得q au ,于是q ,a,进而b,u 此时可得()的正整数解为(x,u,v)(,)因此()的非平凡解为(x,u,v)(,)由()的第一式知cvs根据引理知该方程无正整数解当()成立时,仿()的讨论可得p ,q,不合题意当()成立时,由us vs ,有avs 根据引理 可得vs ,故s,从而s,不可能综上所述,若素数p,q满足pq,则方程()
12、除在p,q 时有非平凡的整数解(x,u,v)(,)外,在其他情形都仅有平凡的整数解(x,u,v)(,)证毕参考文献:杜先存,管训贵,万飞关于丢番图方程组xp q u,xxv的整数解J重庆师范大学学报(自然科学版),():管训贵关于D i o p h a n t i n e方程组xp q u,xxv的整数解J重庆师范大学学报(自然科学版),():张小蹦,李小雪关于D i o p h a n t i n e方程组xp q a,xxbJ纺织高校基础科学学报,():曹珍富丢番图方程引论M哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社,O nt h eS y s t e mo fD i o p h a n t i n e
13、E q u a t i o n sxp q ua n dxxvGUANX u n g u i(S c h o o l o fM a t h e m a t i c sa n dP h y s i c s,T a i z h o uU n i v e r s i t y,T a i z h o u ,C h i n a)A b s t r a c t:L e tpqb ep r i m e sg r e a t e r t h a n I t i sp r o v e db yr e s u l t sa b o u tq u a d r a t i ca n dq u a r t i cD i
14、 o p h a n t i n ee q u a t i o n s t h a t,t h es y s t e mo fD i o p h a n t i n ee q u a t i o n sxp q u,xxvh a so n l yt r i v i a l p o s i t i v e i n t e g e r s o l u t i o n(x,u,v)(,)w i t h t h e e x c e p t i o n a l c a s e(p,q)(,)i nw h i c h i th a sn o n t r i v i a l p o s i t i v e i n t e g e rs o l u t i o n s(x,u,v)(,)K e yw o r d s:P e l l e q u a t i o n;s y s t e mo fD i o p h a n t i n ee q u a t i o n s;i n t e g e rs o l u t i o n;r e c u r s i v es e q u e n c e 责任编辑:班秀和 见习编辑:彭喻振