1、第1课时指数函数的图象和性质（1）,新知初探 课前预习,题型探究 课堂解透,新知初探 课前预习,教材要点要点指数函数的图象与性质,(0，),(0，1),增函数,减函数,状元随笔底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”当a 1时，指数函数的图象是“上升”的；当0a1时，指数函数的图象是“下降”的,基础自测1.思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)指数函数的图象都在y轴上方()(2)因为a01(a0且a1)，所以函数yax恒过(0，1)点()(3)若指数函数ymx是减函数，则0m1.()(4)函数y3x的图象在函数y2x图象的上方(),2函数y2x的图象是(),答案：B,解析：
2、y2x 1 2 x 是(，)上的单调递减函数,3函数f(x)2 1 的定义域是()A0，)B1，)C(，0 D(，1,答案：A,解析：由2x10，得2x20，x0.,4函数yax2(a0且a1)的图象恒过定点，则它的坐标为_,(2，1),解析：令x20，即x2时，y1，函数yax2的图象恒过定点(2，1),题型探究 课堂解透,题型1指数型函数的定义域和值域例1求下列函数的定义域和值域(1)y 2 1 4；(2)y 3 2 2x；(3)y 2 1.,解析：(1)要使函数有意义，则x40，解得x4，所以函数y 2 1 x4 的定义域为x|x4因为 1 x4 0，所以 2 1 x4 1，即函数y 2
3、 1 x4 的值域为y|y0且y1(2)要使函数有意义，则x22x0，x0或x2，函数的定义域为x|x0或x2，由于 x 2 2x 0，3 x 2 2x 301，即y1，函数的值域为1，)(3)要使函数有意义，则x10，x1，函数的定义域为x|x1，由于 x x1 x1+1 x1 1 1 x1 1，2 x x1 2且 2 x x1 0，即y0且y2.函数的值域为(0，2)2，+,方法归纳与指数函数有关的复合函数的定义域、值域的求法(a0且a1)：(1)函数yaf(x)的定义域与f(x)的定义域相同；(2)求函数yaf(x)的值域，需先确定f(x)的值域，再根据指数函数yax的单调性确定函数ya
4、f(x)的值域；(3)求函数yf(ax)的定义域，需先确定yf(u)的定义域，即u的取值范围，亦即uax的值域，由此构造关于x的不等式(组)，确定x的取值范围，得yf(ax)的定义域；(4)求函数yf(ax)的值域，需先利用函数uax的单调性确定其值域，即u的取值范围，再确定函数yf(u)的值域，即为yf(ax)的值域,跟踪训练1(1)函数f(x)1 2 1+3 的定义域为()A(3，0 B(3，1C(，3)(3，0 D(，3)(3，1(2)函数f(x)(1 2)+1 的值域是_,A,(0，1,解析：(1)由题意知 解得3x0，故函数f(x)的定义域为(3，0.故选A.(2)令t|x1|，则t
5、0，0（1 2）1，故函数f(x)(1 2)+1 的值域是(0，1.,题型2指数函数的图象角度1图象过定点例2已知函数f(x)a2x12(a为常数，且a0，a1)，无论a取何值，函数f(x)的图象恒过定点P，则点P的坐标是()A(0，1)B(1，2)C(1，3)D(1 2,3),答案：D,解析：因为指数函数yax(a0且a1)的图象恒过点(0，1)，所以2x10，即x 1 2，此时y3.所以函数f(x)a2x12恒过定点(1 2,3).,方法归纳解决指数型函数图象过定点问题的思路指数函数yax(a0且a1)的图象过定点(0，1)，据此可解决形如ykaxcb(k0，a0，a1)的函数图象过定点的
6、问题，即令指数xc0，即xc，得ykb，函数图象过定点(c，kb).,角度2指数函数的底与其图象的关系例3如图是指数函数yax，ybx，ycx，ydx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为()A.ab1cd Bba1dcC1abcd Dab1dc,答案：B,解析：由图象可知的底数必大于1，的底数必小于1.过点(1，0)作直线x1，如图所示，在第一象限内直线x1与各曲线的交点的纵坐标即为各指数函数的底数，则1dc，ba1，从而可知a，b，c，d与1的大小关系为ba1dc.故选B.,方法归纳,设ab1cd0，则yax，ybx，ycx，ydx的图象如图所示，从图中可以看出：在y轴右侧，图象从上到下
7、相应的底数由大变小，在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小，即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大，或者说在第一象限内，指数函数的图象，底数大的在上边，也可以说底数越大越靠近y轴,角度3有关指数函数图象的识别例4二次函数yax2bx与指数函数y()的图象可以是(),答案：D,解析：根据指数函数的解析式为y()可得 0，2 1，则指数函数应该单调递增，故B不正确故选D.,方法归纳识别与指数函数图象有关问题应把握三点：(1)根据图象“上升”或“下降”确定底数a1或0a1；(2)在y轴右侧，指数函数的图象从下到上相应的底数由小到大；在y轴左侧，指数函数的图象从下到上相应的底数由大到小；
8、(3)根据“左加右减，上加下减”的原则，确定图象的平移变换，从而确定指数型,跟踪训练2(1)已知1nm0，则指数函数ymx，ynx的图象为(),答案：C,解析：(1)由于0mn1，所以ymx与ynx都是减函数，故排除A，B，作直线x1与两个曲线相交，交点在下面的是函数ymx的图象，故选C.,(2)在同一平面直角坐标系中，函数f(x)ax与g(x)ax的图象可能是(),答案：B,解析：(2)需要对a讨论：当a1时，f(x)ax过原点且斜率大于1，g(x)ax是递增的；当0a1时，f(x)ax过原点且斜率小于1，g(x)ax是减函数，显然B正确故选B,(3)设函数f(x)3ax11(a0且a1)恒
9、过定点(m，n)，则mn_,1,解析：(3)令x10，即x1时，此时f(1)2.m1，n2，mn121.,题型3指数函数图象的综合应用例5若直线y2a与函数y|ax1|(a0，且a1)的图象有两个不同的交点，求a的取值范围,解析：作出y2a和y|ax1|的图象当01时，y|ax1|的图象如图所示由已知，得01矛盾综上可知，0a 1 2.,方法归纳数形结合就是图形与代数方法紧密结合的一种数学思想，对于不易求解的方程解的个数问题，常构造函数，转化为函数图象的交点问题来解决,跟踪训练3若曲线|y|2x1与直线yb没有公共点，则b的取值范围是_,1，1,解析：曲线|y|2x1与直线yb如图所示，由图象
10、可知：如果曲线|y|2x1与直线yb没有公共点，则b应满足的条件是b1，1.,易错辨析换元法求函数的值域时，忽略新元的取值范围致误例6求函数f(x)(1 4)(1 2)1的值域,解析：令(1 2)t0，则原函数可化为f(t)t2t1(+1 2)2 3 4，因为f(t)(+1 2)2 3 4 在(0，)上是增函数，所以f(x)1，即函数f(x)的值域是(1，).,易错警示,课堂十分钟1已知函数f(x)4ax1的图象经过定点P，则点P的坐标是()A(1，5)B(1，4)C(0，4)D(4，0),答案：A,解析：当x10，即x1时，ax1a01，为常数，此时f(x)415，即点P的坐标为(1，5),
11、2已知函数g(x)3xt的图象不经过第二象限，则t的取值范围为()At1 Bt1Ct3 Dt3,答案：A,解析：由指数函数的性质，可得函数g(x)3xt恒过点坐标为(0，1t)，函数g(x)是增函数，图象不经过第二象限，1t0，解得t1.,3函数yax 1(a0，a1)的图象可能是(),答案：D,解析：a0，1 a 0，函数yax需向下平移 1 a 个单位，不过(0，1)点，所以排除A，当a1时，01，所以排除C.,4函数y 10 0.1 的定义域为_,-1，),解析：由题意，函数y 10 x 0.1 有意义，则满足10 x0.10，即10 x0.1，解得x1，所以函数的定义域为 1，+.,5已知函数f(x)ax1(x0)的图象经过点(2,1 2)，其中a0且a1.(1)求a的值；(2)求函数yf(x)1(x0)的值域,解析：(1)因为函数f(x)ax1(x0)的图象经过点(2,1 2)，所以f(2)a21a 1 2.(2)由(1)得f(x)(1 2)1(x0)，因为函数在0，)上是减函数，所以当x0时，函数取最大值2，故f(x)(0，2，所以函数yf(x)1(1 2)1 1(x0)(1，3故函数yf(x)1(x0)的值域为(1，3.,