1、高中同步学案优化设计,GAO ZHONG TONG BU XUE AN YOU HAU SHE JI,第7章,2021,内容索引,课前篇 自主预习,课堂篇 探究学习,1.结合具体实例了解弧度制的概念.(数学抽象)2.能进行角度与弧度之间的互化.(数学运算)3.理解弧度制下弧长与面积公式.(数学运算),课前篇 自主预习,情境导入,在日常生活中,一个量可用不同的标准来度量,从而也就有了不同的单位以及单位之间的换算.例如:长度既可以用米、厘米来度量,也可以用尺、寸来度量;面积可以用平方米来度量,也可以用公顷来度量.常用的温度度量也有两种:一种是摄氏度,它的发明者是瑞典的安德斯摄尔修斯,它的标准是“在
2、1标准大气压下,纯净的冰水混合物的温度为0摄氏度,水的沸点为100摄氏度,其间平均分为100份,每一等份为1摄氏度,记作1”;另一种是华氏温度,是德国人华伦海特以水银为测温介质发明的,它的标准是“把纯水的冰点温度定为32,把标准大气压下水的沸点温度定为212,中间分为180等份,每一等份代表1华氏度,记作1”.类似地,角除了使用角度来度量外,还可以用本节要学习的弧度来度量.,知识点拨,一、度量角的两种制度,微思考 在大小不同的圆中,长度为1的弧所对的圆心角相等吗?提示 不相等.因为弧长等于1,在大小不同的圆中,由于半径不同,圆心角也不同.,微判断(1)1弧度指的是1度的角.()(2)每个弧度制
3、的角,都有唯一的角度制的角与之对应.()答案(1)(2),二、弧度数的计算与互化1.弧度数的计算,微练习 下列换算结果错误的是(),答案 C,解析-150化成弧度是-,故C项错误.,2.弧度与角度的互化,名师点析 1.用弧度为单位表示角的大小时,“弧度”或“rad”可以略去不写,只写这个角对应的弧度数即可,如角=-3.5 rad可写成=-3.5.而用角度为单位表示角的大小时,“度”或“”不可以省略.,微思考 对于角度制和弧度制,在具体的应用中,两者可混用吗?如何书写才是规范的?,提示 角度制与弧度制是两种不同的度量制度,在表示角时不能混用,例如=k360+(kZ),=2k+60(kZ)等写法都
4、是不规范的,应写为=k360+30(kZ),=2k+(kZ).,三、弧度制下的弧长与扇形面积公式设扇形的半径为r,弧长为l,为其圆心角,则,名师点析 在弧度制与角度制下,弧长公式和扇形的面积公式的区别,两者相比较,弧度制下的弧长公式和扇形的面积公式具有更为简单的形式,其记忆和应用更易操作,如果已知角是以“度”为单位,则必须先把它化成弧度后再计算,这样可避免计算过程或结果出错.,微练习 已知扇形的半径r=30,圆心角=,则该扇形的弧长等于,面积等于,周长等于.,答案 57560+5,课堂篇 探究学习,例1将下列角度数化为弧度数.(1)1115;(2)252.,要点笔记“180=弧度”是进行“弧度
5、数”与“角度数”换算的关键,在此基础,变式训练1将下列弧度数化为角度数.,例2将下列各角化为2k+(02,kZ)的形式,并判断其是第几象限角.,(2)-315;(3)-1 485.,要点笔记本题应先将度化为弧度,然后再化为2k+(02,kZ)的形式,最后根据象限角的概念判断其是第几象限角.,-7200,-720k360+1080,kZ,k=-2或k=-1.-720到0的范围内与1终边相同的角是-612角和-252角.,-7200,-720k360-600,kZ,k=-1或k=0.-720到0的范围内与2终边相同的角是-420角和-60角.,例3用弧度制分别表示终边落在阴影部分的角的集合(不包括
6、边界).,反思感悟1.用弧度表示区域角,实质上是角度表示区域角在弧度制下的应用,必要时,需进行角度与弧度之间的换算,注意单位要统一.2.在表示角的集合时,可以先写出0,2)内的一个角(或写出(-,内的一个角),再加上2k,kZ.,变式训练3如图,用弧度制将下列落在图示部分的角(阴影部分),用集合表示出来(不包括边界).,例4已知扇形OAB的圆心角为120,半径r=6,求弧长及扇形面积.,变式训练4扇形OAB的面积是4 cm2,它的周长是8 cm,求扇形的圆心角(正角)及弦AB的长.,解 设扇形的半径为r cm,弧长为l cm,扇形的圆心角(0),弧长为l=|r=r,|AB|=22sin 1=4
7、sin 1(cm).,一题多解:与弧度有关的实际应用问题典例在一般的时钟上,自0时开始到分针与时针再一次重合,分针所转过的角的弧度数是多少?(不考虑旋转方向),反思感悟 两种方法得出的结果相同,其解答过程都是正确的,只不过解题的角度不同而已.方法1是从时针与分针所走的时间相等方面列出方程求解;而方法2则从时针与分针所转过的弧度数入手,当分针与时针再次重合时,分针所转过的弧度数比时针所转过的弧度数多2,利用时针和分针的旋转速度之间的关系列出方程求解.,A.75B.125C.135D.155,答案 C,2.用弧度制表示与150角的终边相同的角的集合为(),答案 D,3.时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为(),答案 B,4.在扇形中,已知半径为8,弧长为12,则圆心角是弧度,扇形面积是.,5.已知两角和为1弧度,且两角差为1,则这两个角的弧度数分别是、.,更多精彩内容请登录志鸿优化网http:/www.zhyh.org/,本 课 结 束,