1、高中同步学案优化设计,GAO ZHONG TONG BU XUE AN YOU HAU SHE JI,第8章,2021,内容索引,课前篇 自主预习,课堂篇 探究学习,1.结合学过的函数图象,了解函数零点与方程解的关系.(直观想象)2.结合具体连续函数及其图象的特点,了解函数零点存在定理,探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图,能借助计算工具用二分法求方程近似解,了解用二分法求方程近似解具有一般性.(数学运算),课前篇 自主预习,情境导入,在一个风雨交加的夜里,从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障,这是一条10 km长的路线,如果沿着线路一小段一小段查找,困难很多.每查一个点要爬一
2、次电线杆子,10 km长的线路大约有200多根电线杆子.可是维修线路的工人师傅只要至多爬7次电线杆子就能把故障排除了,你知道他是如何做到的吗?,如图所示,他首先从中点C查,用随身带的话机向两端测试时,若发现AC段正常,则可断定故障在BC段,再到BC段中点D,这次若发现BD段正常,则故障在CD段,再到CD段中点E来查.,每查一次,可以把待查的线段缩减一半,要把故障可能发生的范围缩小到50100 m左右,即一两根电线杆附近,只要7次就够了.上述情境中,工人师傅是通过什么方法缩小故障范围的?工人师傅选择下次在哪个范围内爬电线杆子的关键是什么?如果把故障可能发生的范围缩小在 200 m左右,至多需要爬
3、几次电线杆子?,知识点拨,一、函数的零点一般地,我们把使函数y=f(x)的值为0的 实数x 称为函数y=f(x)的零点.要点笔记方程、函数、函数图象之间的关系方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点.,微思考 函数的零点是函数与x轴的交点吗?提示 不是.函数的零点不是一个点,而是一个数,该数是函数图象与x轴交点的横坐标.,微练习 下列函数有2个零点的是()A.y=lg x+2B.y=2|x|-1C.y=x2 D.y=|x|-1答案 D解析 对于A,令y=lg x+2=0,x=10-2,只有一个零点,故A错误;对于B,令y=2|x|-1=0,x=0,只有一
4、个零点,故B错误;对于C,令y=x2=0,x=0,只有一个零点,故C错误;对于D,令y=|x|-1=0,x=1,有两个零点,故D正确.故选D.,二、函数零点存在定理一般地,若函数y=f(x)在区间a,b上的图象是一条不间断的曲线,且f(a)f(b)0,则函数y=f(x)在区间(a,b)上有零点.,名师点析 f(a)f(b)0与函数f(x)存在零点的关系(1)若函数y=f(x)在闭区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)f(b)0,则函数y=f(x)一定有零点.,(2)由函数y=f(x)在闭区间a,b上有零点不一定能推出f(a)f(b)0,如图.事实上,只有当函数图象通过零点(不是
5、偶次零点)时,函数值才变号,即相邻两个零点之间的函数值同号.,(3)若函数f(x)在区间a,b上具有单调性,且f(x)的图象是连续不断的一条曲线,则f(a)f(b)0函数f(x)在(a,b)上只有一个零点.,微练习 1函数f(x)=3x-4的零点所在区间为()A.(0,1)B.(-1,0)C.(2,3)D.(1,2)答案 D解析 由f(1)=3-4=-10,得f(x)的零点所在区间为(1,2).故选D.,微练习 2二次函数f(x)=x2-2ax+a-1有一个零点大于1,有一个零点小于1,则实数a的取值范围为.答案(0,+)解析 由已知,抛物线开口向上,因而f(1)=1-2a+a-10.,三、二
6、分法求函数零点近似值的步骤,要点笔记二分法的实质:用二分法求方程的近似解,实质上就是通过“取中点”的方法,运用“逼近”思想逐步缩小零点所在的区间,进而得到一个近似解.,微思考 若函数y=f(x)在定义域内有零点,该零点是否一定能用二分法求解?提示 二分法只适用于函数的变号零点(即函数在零点两侧符号相反),因此函数在零点两侧同号的零点不能用二分法求解,如f(x)=(x-1)2的零点就不能用二分法求解.,微练习(多选)下列函数图象与x轴均有公共点,其中能用二分法求图中函数零点的是(),答案 ACD解析 利用二分法求函数零点必须满足零点两侧的函数值异号.在选项B中,不满足f(a)f(b)0,不能用二
7、分法求函数零点,由于选项A,C,D中零点两侧的函数值异号,故可采用二分法求函数零点.,课堂篇 探究学习,解(1)当x0时,令x2+2x-3=0,解得x=-3或x=1(舍);当x0时,令-2+ln x=0,解得x=e2.,(2)由已知得f(3)=0,即3a-b=0,即b=3a,故g(x)=3ax2+ax=ax(3x+1),令g(x)=0,即ax(3x+1)=0,反思感悟函数零点的求法(1)代数法:求方程f(x)=0的实数根.(2)几何法:对于不能用求根公式的方程f(x)=0,可以将它与函数f(x)的图象联系起来,图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.,变式训练1判断下列函数是否存在零点,如果存
8、在,请求出;否则,请说明理由.(1)f(x)=x2+7x+6;(2)f(x)=1-log2(x+3);(3)f(x)=2x-1-3;,解(1)解方程f(x)=x2+7x+6=0,得x=-1或x=-6,所以函数的零点是-1,-6.(2)解方程f(x)=1-log2(x+3)=0,得x=-1,所以函数的零点是-1.(3)解方程f(x)=2x-1-3=0,得x=log26,所以函数的零点是log26.,例2(1)函数f(x)=ln(x+1)-的零点所在的大致区间是()A.(3,4)B.(2,e)C.(1,2)D.(0,1)(2)根据表格内的数据,可以断定方程ex-x-3=0的一个根所在区间是(),A
9、.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3),答案(1)C(2)C,解析(1)因为f(1)=ln 2-0,且函数f(x)在(0,+)上是增函数,所以函数的零点所在区间为(1,2).故选C.(2)构造函数f(x)=ex-x-3,由题表可得f(-1)=0.37-2=-1.630,f(3)=20.09-6=14.090,f(1)f(2)0,所以方程的一个根所在区间为(1,2),故选C.,反思感悟判断函数零点所在区间的三个步骤(1)代入:将区间端点值代入函数求出函数的值;(2)判断:把所得的函数值相乘,并进行符号判断;(3)结论:若符号为正且函数在该区间内具有单调性,则在该区间内无零点,若
10、符号为负且函数连续,则在该区间内至少有一个零点.,变式训练2若函数f(x)=x+(aR)在区间(1,2)上有零点,则a的值可能是()A.-2B.0C.1D.3,答案 A,解析 f(x)=x+(aR)的图象在(1,2)上是连续不断的,逐个选项代入验证,当a=-2时,f(1)=1-2=-10,故f(x)在区间(1,2)上有零点.同理,其他选项不符合.故选A.,例3已知函数f(x)的图象如图所示,其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为()A.4,4B.3,4C.5,4D.4,3,答案 D解析 图象与x轴有4个交点,所以零点的个数为4.左、右函数值异号的零点有3个,所以可以用二分法求解的个数为3
11、.故选D.,要点笔记判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是:其图象在零点附近是连续不断的,且该零点为变号零点,因此,用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合,对函数的不变号零点不适合.,变式训练3若二次函数f(x)=2x2+3x+m存在零点,且能够利用二分法求得此零点,则实数m的取值范围是.,例4求函数f(x)=x2-5的负零点的近似值(精确到0.1).,解 由于f(-2)=-10,故函数f(x)的零点在区间(-3,-2)内.用二分法逐次计算,列表如下:,由于-2.242 187 5与-2.234 375精确到0.1的近似值为-2.2,所以函数的一个近似负零点可取-2.2.,变
12、式训练4求方程lg x=2-x的近似解(精确到0.1).,解 在同一平面直角坐标系中,作出y=lg x,y=2-x的图象如图所示,可以发现方程lg x=2-x有唯一解,记为x0,并且解在区间(1,2)内.若f(x)=lg x+x-2,则f(x)的零点为x0.用计算器计算,得f(1)0 x0(1,2);f(1.5)0 x0(1.5,2);f(1.75)0 x0(1.75,2);f(1.75)0 x0(1.75,1.875);f(1.75)0 x0(1.75,1.812 5).1.75和1.812 5精确到0.1的近似值为1.8,方程的近似解可取为1.8.,二次函数零点分布问题典例已知二次函数f(
13、x)=x2+2mx+2m+1的两个零点分别在区间(-1,0)与(1,2)内,求实数m的取值范围.,点评二次函数零点问题,一般需要考虑以下四个方面:对应一元二次方程根的判别式;考查区间端点函数值的正负;图象对称轴与区间的位置关系;对应一元二次方程根与系数的关系.,1.通过下列函数的图象,判断能用二分法求其零点的是(),答案 C解析 在A中,函数无零点;在B和D中,函数有零点,但它们在零点左右的函数值符号相同,因此它们都不能用二分法来求零点;而在C中,函数图象是连续不断的,且图象与x轴有交点,并且在交点两侧的函数值符号相反,所以C中的函数能用二分法求其零点.,2.函数f(x)=2x2-3x+1的零
14、点个数是()A.0B.1C.2D.3,答案 C,解析 由f(x)=0得2x2-3x+1=0,解得x=或x=1,所以函数f(x)有2个零点.,3.(2020四川乐山高一期末)函数f(x)=ex-1+2x-4的零点所在的区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)答案 B解析 因为f(x)=ex-1+2x-4在R上是增函数,f(1)=1+2-4=-10,所以函数f(x)=ex-1+2x-4的零点所在的区间是(1,2).故选B.,4.若函数f(x)=x+b的零点在区间(0,1)内,则b的取值范围为.,答案(-1,0),解析 f(x)=x+b是增函数,又f(x)=x+b的零点在区间(0,1)内,5.用二分法求函数y=f(x)在区间2,4上零点的近似值,经验证有f(2)f(4)0.取区间的中点x1=3,计算得f(2)f(x1)0,则此时零点x0.(填区间),答案(2,3),6.已知函数f(x)=x2-x-2a.(1)若a=1,求函数f(x)的零点;(2)若f(x)有零点,求实数a的取值范围.,解(1)当a=1时,f(x)=x2-x-2.令f(x)=x2-x-2=0,得x=-1或x=2,即函数f(x)的零点为-1和2.,更多精彩内容请登录志鸿优化网http:/www.zhyh.org/,本 课 结 束,