1、高中同步学案优化设计,GAO ZHONG TONG BU XUE AN YOU HUA SHE JI,第八章,2022,内容索引,课前篇 自主预习,课堂篇 探究学习,1.了解二面角及其平面角的概念.(数学抽象)2.掌握两个平面互相垂直的定义和画法.(直观想象、数学抽象)3.理解并掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理,能证明性质定理,并能解决有关面面垂直的问题.(逻辑推理、直观想象),课前篇 自主预习,激趣诱思,1970年4月24日,我国用自制“长征一号”运载火箭,在酒泉卫星发射中心成功地发射了第一颗人造地球卫星“东方红一号”,这标志着我国在征服太空的道路上迈出了巨大的一步,跻身于世界航天先进国
2、家之列.“东方红一号”轨道的倾斜角是68.5,也就是卫星轨道平面与地球赤道平面所成的二面角是68.5.那么二面角是如何刻画的呢?研究二面角又有何重要作用呢?,知识点拨,知识点一、二面角1.二面角,2.二面角的平面角,微思考(1)平面几何中,“角”是如何定义的?提示从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角.(2)如图,观察教室内门与墙面,当门绕着门轴旋转时,门所在的平面与墙面所形成的角的大小和形状.,数学上,用哪个概念来描述门所在的平面与墙面所形成的角?,提示二面角.,微练习(1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,二面角D1-AB-D的平面角的大小是.(2)判断下列说法是否正确,正确的在后面的
3、括号内画“”,错误的画“”.异面直线a,b分别和一个二面角的两个面垂直,则a,b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补.()二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系.(),答案(1)45(2)解析(1)AB平面ADD1A1,ABAD,ABAD1,D1AD为二面角D1-AB-D的平面角.易知D1AD=45.,知识点二、平面与平面垂直的定义一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.平面与垂直,记作.,微思考如何画两个相互垂直的平面?,提示 两个互相垂直的平面通常画成如图中的两种样子,此时,把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.,知识点三、平面与平面垂
4、直的判定定理,名师点析(1)判定定理可简述为“线面垂直,则面面垂直”.因此要证明平面与平面垂直,可转化为寻找平面的垂线,即证线面垂直.(2)两个平面互相垂直的判定定理不仅是判定两个平面互相垂直的依据,而且是找出与一个平面垂直的另一个平面的依据.(3)此定理有一个推论:a,a.在做选择、填空题时可直接应用.,微思考在如图所示的长方体中,AA与平面ABCD有什么位置关系?AA在长方体的哪几个面内?这几个面与底面ABCD有什么位置关系?,提示AA与平面ABCD垂直;AA在平面AABB内,也在平面AADD内,这两个平面都与底面垂直.,微练习在三棱锥P-ABC中,已知PAPB,PBPC,PCPA,如图,
5、则在三棱锥P-ABC的四个面中,互相垂直的面有对.,答案 3解析 平面PAB平面PAC,平面PAB平面PBC,平面PAC平面PBC.,知识点四、平面与平面垂直的性质定理,微练习(1)已知长方体ABCD-A1B1C1D1,在平面AB1上任取一点M,作MEAB于E,则()A.ME平面ACB.ME平面ACC.ME平面ACD.以上都有可能(2)判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”.已知两个平面垂直,则一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线.()已知两个平面垂直,则一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线.()已知两个平面垂直,则过一个平面内任意一点作交
6、线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面.(),答案(1)A(2)解析(1)由于ME平面AB1,平面AB1平面AC=AB,且平面AB1平面AC,MEAB,则ME平面AC.,课堂篇 探究学习,例1如图,已知BSC=90,BSA=CSA=60,又SA=SB=SC.求证:平面ABC平面SBC.,分析(方法一)取BC的中点D,证出ADS为二面角A-BC-S的平面角,通过计算得到ADS=90.(方法二)先证明线面垂直,得出面面垂直.,证明(方法一)BSA=CSA=60,SA=SB=SC,ASB和ASC是等边三角形,则有SA=SB=SC=AB=AC,令其值为a,则ABC和SBC为共底边BC的等腰三角形.取BC
7、的中点D,如图,连接AD,SD,则ADBC,SDBC,ADS为二面角A-BC-S的平面角.在RtBSC中,SB=SC=a,在ADS中,SD2+AD2=SA2,ADS=90,即二面角A-BC-S为直二面角,故平面ABC平面SBC.(方法二)BSA=CSA=60,SA=SB=SC,ASB和ASC是等边三角形,则有SA=SB=SC=AB=AC,ABC与SBC全等.在ABC中,取BC边的中点D,则有ADBC,且AD=SD,由勾股定理知ADSD,又BCSD=D,AD平面SBC.又AD平面ABC,平面ABC平面SBC.,反思感悟 证明平面与平面垂直的方法(1)利用定义:证明二面角的平面角为直角,其判定的方
8、法是:找出两相交平面的平面角;证明这个平面角是直角;根据定义,这两个相交平面互相垂直.,(2)利用面面垂直的判定定理:要证面面垂直,只需证线面垂直.即在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直.这是证明面面垂直的常用方法,其基本步骤是:,延伸探究在本例中,若SA=SB=SC=2,其他条件不变,如何求三棱锥S-ABC的体积呢?,解 由例1中方法一(或方法二)可得SDAD.SDBC,ADBC=D,SD平面ABC,即SD的长就是顶点S到底面ABC的距离.,例2如图,已知四边形ABCD是正方形,PA平面ABCD.(1)二面角B-PA-D平面角的大小为;(2)二面角B-PA-C平面角的大小为.,分析先
9、依据二面角的定义找相应二面角的平面角,然后借助三角形的边角关系求出二面角的平面角的大小.,答案(1)90(2)45,解析(1)PA平面ABCD,ABPA,ADPA.BAD为二面角B-PA-D的平面角.又由题意BAD=90,二面角B-PA-D的平面角的大小为90.(2)PA平面ABCD,ABPA,ACPA.BAC为二面角B-PA-C的平面角.又四边形ABCD为正方形,BAC=45.即二面角B-PA-C的平面角的大小为45.,反思感悟 1.求二面角的平面角的大小的步骤如下:,2.作二面角的平面角的常用方法:(1)定义法.在二面角的棱上找一个特殊点,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.如图,则AOB
10、为二面角-l-的平面角.(2)垂面法.过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面产生交线,这两条交线所成的角,即为二面角的平面角.如图,AOB为二面角-l-的平面角.(3)垂线法.过二面角的一个面内异于棱上的A点向另一个平面作垂线,垂足为B,由点B向二面角的棱作垂线,垂足为O,连接AO,则AOB为二面角的平面角或其补角.如图,AOB为二面角-l-的平面角.,延伸探究在题设条件不变的情况下,若PA=AD,求平面PAB与平面PCD所成的二面角的大小.,解 CD平面PAB,过P作CD的平行线l,如图,l为平面PAB和平面PCD的交线.由PACD,CDAD,PAAD=A,PA,PD平面PAD
11、,知CD平面PAD,CDPD.又CDl,lPD.又PACD,PAl.DPA为平面PAB和平面PCD所成二面角的平面角,为45.,例3如图,已知V是ABC外一点,VA平面ABC,平面VAB平面VBC.求证:ABBC.,分析要证ABBC,可证BC平面VAB,易得VABC.又平面VAB平面VBC,所以可在平面VAB内过点A作VB的垂线,即与BC垂直,可得证.,证明 在平面VAB内,过点A作ADVB于点D.平面VAB平面VBC,且交线为VB,AD平面VBC.ADBC.VA平面ABC,VABC.ADVA=A,且VA平面VAB,AD平面VAB,BC平面VAB.AB平面VAB,ABBC.,反思感悟 1.在运
12、用面面垂直的性质定理时,若没有与交线垂直的直线,一般需作辅助线,基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线,这样便把面面垂直问题转化为线面垂直问题,进而转化为线线垂直问题.2.平面与平面垂直的其他性质:(1)如果两个平面垂直,那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内.(2)如果两个平面垂直,那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面.(3)如果两个平面垂直,那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内.,延伸探究本例中的已知换为:平面VAB平面ABC,平面VAC平面ABC,CAAB.试证:VABC.证明 平面VAB平面ABC,平面VAB平面ABC=AB,AC平面
13、ABC,CAAB,CA平面VAB,CAVA.同理,BAVA.又ABAC=A,AB,AC平面ABC,VA平面ABC,BC平面ABC,VABC.,转化思想在线线、线面、面面垂直中的应用典例已知,是三个不同的平面,l为直线,=l.求证:l.分析根据直线和平面垂直的判定定理,可在内构造两相交直线分别与平面,垂直;或者由面面垂直的性质易在,内作出平面的垂线,再设法证明l与其平行即可.,证明(方法一)在内取一点P,作PA垂直与的交线于点A,PB垂直与的交线于点B,则PA,PB.l=,lPA,lPB.又PAPB=P,且PA,PB,l.,(方法二)在内作直线m垂直于与的交线,在内作直线n垂直于与的交线,m,n
14、.mn.又n,m,m.又m,=l,ml.l.,方法点睛线线、线面、面面垂直关系的综合应用主要体现了转化思想,其转化关系如下:,1.如图所示,在三棱锥P-ABC中,平面PAB平面ABC,PA=PB,AD=DB,则()A.PD平面ABCB.PD平面ABCC.PD与平面ABC相交但不垂直D.PD平面ABC,答案 B解析 PA=PB,AD=DB,PDAB.又平面PAB平面ABC,平面PAB平面ABC=AB,PD平面PAB,PD平面ABC.,2.(2021浙江丽水期中联考)下列说法正确的是()A.若一个平面内有无数条直线与另一个平面垂直,则这两个平面互相垂直B.两条直线和一个平面所成的角相等,则这两条直
15、线平行C.平行于同一条直线的两个平面互相平行D.垂直于同一个平面的两个平面互相垂直,答案 A解析 对于A,一个平面内有无数条直线与另一个平面垂直,则这个平面经过了另一个平面的一条垂线,从而得这两个平面垂直,A正确;对于B,圆锥的任意两条母线所在直线与底面所在平面所成的角相等,而任意两条母线相交,B不正确;对于C,一条直线l与两个相交平面,的交线平行,且l,l,满足l,l,而,不平行,C不正确;对于D,长方体ABCD-A1B1C1D1的两个底面矩形ABCD与矩形A1B1C1D1所在平面都垂直于侧面ABB1A1所在平面,而平面ABCD平面A1B1C1D1,D不正确.故选A.,3.(多选题)对于直线
16、m,n和平面,能得出的一个条件是()A.mn,m,nB.mn,=m,nC.mn,n,mD.mn,m,n,答案 AC解析 A中,;B中,与相交但不一定垂直;C中,mn,n,m.又m,;D中,.,4.如图,已知AB平面BCD,BCCD,则图中互相垂直的平面共有对.,答案 3解析 AB平面BCD,平面ABC平面BCD,平面ABD平面BCD.BCCD,DC平面ABC.平面ADC平面ABC.共有3对互相垂直的平面.,5.正四面体的侧面与底面所成的二面角的平面角的余弦值是.,解析 如图所示,设正四面体ABCD的棱长为1,过点A作AO底面BCD,垂足为O,连接DO并延长交BC于点E,连接AE,则E为BC的中点,故AEBC,DEBC,AEO为侧面ABC与底面BCD所成二面角的平面角.,更多精彩内容请登录志鸿优化网http:/www.zhyh.org/,本 课 结 束,