1、,“锡慧在线”开学第一周,2020,第1章 解三角形 1.1 正弦定理（一）,普通高中课程标准实验教科书数学（苏教版必修5）,授课教师：江苏省太湖高级中学 蔡旭林审核教师：滨湖区教研发展中心 王华民,南泉,马山,A,B,C,100,5.56km,？,在ABC中，已知AB=5.56km，A=55，B=100，求BC.,55,实际问题,数学问题,三角形中的边和角的问题,结合实例，提出问题,由已知条件，能不能唯一确定三角形？,如何求出BC的长？,在直角三角形ABC中,观察特例，提出猜想,在直角三角形ABC中,该结论，对任意三角形也成立吗？,数学实验,在直角三角形中,各边和它所对角的正弦之比相等（等于
2、斜边长）.,文字语言,符号语言,观察特例，提出猜想,在任意三角形ABC中,各边和它所对角的正弦之比相等,即,b,c,a,猜想:,归纳总结，完善猜想,证明：,（1）若ABC是直角三角形，结论成立.,（2）若ABC不是直角三角形（如图），,过点A作ADBC于D，此时有,所以,即,同理可得（过点B作AC边上的高）,所以,D,（2）若C为锐角（如图），,不妨设C是最大角.,构造直角三角形,需要分类讨论,锐角三角形/钝角三角形,证明猜想，得出定理,（3）若C为钝角（如图），,仿（2）可得,综上可知，结论成立.,过点A作ADBC，交BC的延长线于D，,此时也有,证明猜想，得出定理,D,若C为锐角（如图），
3、,只要证 csinB=bsinC,只要证 ccosBAD=bcosCAD,实数与余弦乘积,向量的数量积,只要证 ADccosBAD=ADbcosCAD,即证,因为 B=90-BAD，C=90-CAD,要证,试着用向量来证明！,证明猜想，得出定理,则，,证明：在ABC中，,因为 ADCB，,所以,即 csinB=bsinC,所以 ccosBAD=bcosCAD，,所以 ADccosBAD=ADbcosCAD,若C为锐角（如图），,故,同理可得,所以,向量的数量积是将向量等式转化为数量等式的常用工具,若C为钝角、直角呢？,证明猜想，得出定理,结论:在任意三角形ABC中,各边和它所对角的正弦之比相等
4、,即,直角三角形中该比值为斜边长 c,恰好为此直角三角形外接圆直径,猜想：任意三角形中，该比值为外接圆直径.,证明猜想，得出定理,O,D,设圆O是ABC的外接圆，直径BD=2R.,（1）当A为锐角时，连接CD，,a,（2）当A为钝角时，连接CD，,O,D,a,（3）当A为直角时，a=2R，显然有a=2RsinA,所以不论A为锐角、钝角、直角，总有a=2RsinA,同理可证 b=2RsinB，c=2RsinC,则BCD=90，,a=2RsinD,则BCD=90，,a=2RsinD,=2Rsin（180-A）,=2RsinA,=2RsinA,所以,在RtBCD中，,证明猜想，得出定理,正弦定理：,观察式子的结构，它有什么特点？你能用语言把它叙述出来吗？,
