1、第2课时正弦定理,课标阐释,1.掌握正弦定理及其变形.(数学运算、逻辑推理)2.了解正弦定理的证明方法.(逻辑推理、数学建模)3.掌握三角形正弦面积公式及其应用.(数学运算、逻辑推理)4.能应用正弦定理解决相关问题,并能综合运用正弦定理和余弦定理解决问题.(数学运算),思维脉络,激趣诱思,知识点拨,“无限风光在险峰”,在充满象征色彩的诗意里,对险峰的慨叹跃然纸上,成为千古之佳句.对于难以到达的险峰应如何测出其海拔高度呢?能通过在水平飞行的飞机上测量飞机下方的险峰海拔高度吗?在本节中,我们将学习正弦定理,借助已学的三角形的边角关系解决实际问题.,激趣诱思,知识点拨,一、正弦定理在一个三角形中,各
2、边和它所对角的正弦的比相等,即名师点析对正弦定理的理解1.适用范围:正弦定理对任意的三角形都成立.2.结构形式:分子为三角形的边长,分母为相应边所对角的正弦的连等式.3.揭示规律:正弦定理指出的是三角形中三条边与对应角的正弦之间的关系式,它描述了三角形中边与角的一种数量关系.4.主要功能:正弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的转化.,激趣诱思,知识点拨,微判断判断(正确的打“”,错误的打“”).(1)正弦定理只适用于锐角三角形.()(2)正弦定理不适用于直角三角形.()(3)在某一确定的三角形中,各边与它所对角的正弦的比是定值.()答案(1)(2)(3),激趣诱思,知识点拨,二、正弦定理的
3、拓展1.正弦定理与三角形外接圆的关系以RtABC斜边AB为直径作外接圆,设这个外接圆的半径为R,则,2.正弦定理的变形(R为ABC外接圆的半径)变式1:a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C.变式3:asin B=bsin A,bsin C=csin B,asin C=csin A.变式4:abc=sin Asin Bsin C.,激趣诱思,知识点拨,微思考正弦定理主要解决哪几类三角形问题?答案(1)已知两角和任意一边,求其他两边和一角.(2)已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角).,激趣诱思,知识点拨,微练习在ABC中,B=30,C=45,
4、c=1,求边b的长及ABC外接圆的半径R.,激趣诱思,知识点拨,三、三角形解的个数1.已知三角形的两角与一边,根据正弦定理,有且只有一解.2.已知三角形的两边及其中一边的对角,根据正弦定理,可能有两解、一解或无解.在ABC中,当已知a,b和角A时,解的情况如下:,激趣诱思,知识点拨,名师点析在ABC中,当已知a,b和角A时,解的情况如下:,激趣诱思,知识点拨,微思考对于一个已知三角形,一定有解吗?如果不是,可能有几个解?答案不一定有解,解的个数可能为0,1,2,不可能有3个或3个以上的解.,激趣诱思,知识点拨,微练习不解三角形,判断下列三角形解的个数.(1)a=5,b=4,A=120;(2)a
5、=7,b=14,A=150;(3)a=9,b=10,A=60.解(1)因为A=120为钝角,a=5b=4,所以三角形有一解.(2)因为A=150为钝角,a=7bsin A,所以三角形有两解.,探究一,探究二,探究三,探究四,当堂检测,已知两角和一边解三角形例1在ABC中,已知B=30,C=105,b=4,解三角形.解因为B=30,C=105,所以A=180-(B+C)=180-(30+105)=45.,反思感悟 已知两角及一边解三角形的方法1.若所给边是已知两角的对边,可先由正弦定理求另一边,再由三角形的内角和定理求出第三个角,最后由正弦定理求第三边.2.若所给边不是已知两角的对边,则先由三角
6、形内角和定理求第三个角,再由正弦定理求另外两边.,探究一,探究二,探究三,探究四,当堂检测,变式训练1在ABC中,a=20,A=45,B=75,则边c的长为.,探究一,探究二,探究三,探究四,当堂检测,已知两边和其中一边的对角解三角形例2在ABC中,已知下列条件,解三角形:,探究一,探究二,探究三,探究四,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,当堂检测,反思感悟 已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形的方法(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值.(2)当已知的角为大边所对的角时,由三角形中大边对大角,大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角,由正弦值可求锐角唯一.(3)当已知的角为
7、小边所对的角时,不能判断另一边所对的角为锐角,这时由正弦值可求得两个角,要分类讨论.,探究一,探究二,探究三,探究四,当堂检测,延伸探究本例中,将条件改为“a=5,b=2,B=120”,解三角形.,探究一,探究二,探究三,探究四,当堂检测,判断三角形的形状例3已知在ABC中,bsin B=csin C,且sin2A=sin2B+sin2C,试判断ABC的形状.,探究一,探究二,探究三,探究四,当堂检测,反思感悟 判断三角形的形状,就是根据题目条件,分析其是不是等腰三角形、直角三角形、等边三角形、等腰直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等.利用正弦定理判断三角形形状的方法如下:,探究一,探究二,探
8、究三,探究四,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,当堂检测,不解三角形判断三角形解的个数例4满足条件a=4,b=3,A=45的三角形的个数是()A.1个B.2个C.无数个D.不存在答案B,探究一,探究二,探究三,探究四,当堂检测,反思感悟 已知两边及其中一边的对角,用正弦定理解三角形,可能有两解、一解或无解.在ABC中,已知a,b和A时,解的情况如下:(1)当A为锐角时,absin A,无解;a=bsin A,一个解;bsin Aab,两个解;ab,一个解.,探究一,探究二,探究三,探究四,当堂检测,(2)当A为直角或钝角时,ab,一个解;ab,无解.求解该类问题时,一般先判断角为锐角、
9、钝角还是直角,然后借助边之间的关系进行判断.,探究一,探究二,探究三,探究四,当堂检测,答案D,探究一,探究二,探究三,探究四,当堂检测,答案C,探究一,探究二,探究三,探究四,当堂检测,2.已知ABC中,b=4,c=2,C=30,那么此三角形()A.有一解B.有两解C.无解D.解的个数不确定,答案C,探究一,探究二,探究三,探究四,当堂检测,答案1,探究一,探究二,探究三,探究四,当堂检测,4.在ABC中,lg(sin A+sin C)=2lg sin B-lg(sin C-sin A),则此三角形的形状是.所以sin2C-sin2A=sin2B,结合正弦定理得c2=a2+b2,所以ABC为直角三角形.答案直角三角形,