1、空间向量的应用（1）,年 级：高二 学 科：数学（人教A版）主讲人：于洪伟 学 校：北京景山学校,问题1：如图所示为某种礼物降落伞在匀速下落的过程的示意图.其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子的拉力大小相同，每根绳子与水平面所成角均为60.已知礼物的重力为9.8N，求每根绳子拉力的大小.（结果精确到0.01N）,运用空间向量解决实际问题,追问1：“降落伞在匀速下落”告诉了我们什么信息？礼物所受绳子的拉力总和与其自身重力平衡.,追问2：“有8根绳子和伞面连接，每根绳子的拉力大小相同，每根绳子与水平面所成角均为”，我们可以得到哪些信息？问题描述了图形对称的结构特征，研究清楚一根绳子的情况就可以了.,
2、追问3：“每根绳子与水平面所成角均为”反映在图形上是什么？每根绳子所在直线与水平面成角为60，其拉力与水平面向上的法向量的夹角为30.,解：设水平面向上的单位法向量为，其中第根绳子拉力为，则 在上的投影向量为().因为 和水平面所成角为60，所以 和的夹角为30.所以=3 2.,因为降落伞匀速下落，所以=1 8+=.所以=1 8 3 2|+=.,因为每个|都相等，所以记为 1.因为=|，所以4 3|1|=.所以4 3 1=|.代入数值，可得 1 1.41N.所以，每根绳子的拉力大小约为1.41N.,追问4：回顾一下，我们是如何解决这个实际问题的？,实际问题,数学问题,物体受力分析,向量的线性运
3、算,抽象,解释,合力为,相反向量,小 结,追问5：运用空间向量求解实际问题的一般思路是什么？,实际问题,数学问题,抽象,解释,空间向量问题,转化,求解空间向量,运算,小 结,例 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，=，是的中点，作交于点.（1）求证：；（2）求证：平面；（3）判断：线段上是否存在一点，满足/，请说明理由.,运用空间向量研究立体几何,问题2：如何用空间向量来证明？计算向量 和 的数量积.追问1：选择哪三个向量作为基底呢？，.追问2：能用这组基向量表示 和 么？=1 2+1 2，=+1 2.,追问3：如果用坐标表示 和，该如何建立空间直角坐标系呢？找到两两垂直且交于一点的三条
4、直线.本质上是找两两相互垂直的一组基向量.,追问4：需要写出哪些点的坐标？0,0,0，(0,1 2,1 2)，1,1,0.就可以得到=(0,1 2,1 2)，=(1,1 2,1 2).,（解法一）（1）证明：因为底面，所以，.因为底面为正方形，所以.所以=0，=0，=0.因为=1 2+1 2，=+1 2，,所以=1 2+1 2+1 2=1 2+1 4 1 4 2 1 2 1 4+1 4 2.=1 4 2 1 4 2.因为=，所以 2=2.所以=0.所以.所以直线.,（解法二）（1）证明：因为底面，所以，.因为底面为正方形，所以.所以以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间
5、直角坐标系.,设长为1，可得 0,0,0，(0,1 2,1 2)，1,1,0.所以=(0,1 2,1 2)，=(1,1 2,1 2).所以=0 1+1 2(1 2)+1 2 1 2=0.所以.所以直线.,问题3：如何用空间向量证明平面？思路一是证明向量 与平面的法向量平行；思路二是证明向量 与平面内的两个不共线向量垂直.,追问1：你倾向于采用哪种思路？证明向量 与平面内的两个不共线向量垂直.追问2：你选择证明哪个向量垂直于 呢？,（解法一）（2）证明：因为=+，=1 2+1 2，所以=+(1 2+1 2)=1 2+1 2+1 2 2+1 2 1 2 1 2 2.,所以=1 2 2 1 2 2=
6、0.所以.所以直线.因为，=，平面，平面，所以平面.,（解法二）采用第（1）问的空间直角坐标系，可得 0,0,0，(0,1 2,1 2)，1,1,0，0,0,1.所以=1,1,1，=(0,1 2,1 2).所以=10+1 1 2+1 1 2=0.,所以，即.因为，=，平面，平面，所以平面.,问题4：如何用空间向量表示直线/？存在，使得=.追问1：用前面的基底向量来表示会得到怎样的等式呢？=+1，0,1=1 2+1 2，+1=(1 2+1 2).,追问2：如果用坐标法，如何表示点的坐标？因为点在线段上，所以存在(0,1)，使得=.,（解法一）（3）解：若存在点在线段上，则=+(1)，(0,1).所以=+(1)().因为=1 2+1 2，若有/，则存在实数使得=.,所以+1=(1 2+1 2).所以(2)+1+(1 2)=.所以 2=0,1=0,1 2=0.因为上式无解，所以不存在点在线段上，满足/.,（解法二）解：采用第（1）问的空间直角坐标系，若存在点在线段上，所以存在(0,1)，使得=.因为=1,1,1，所以=,.因为(0,0,1)，所以(,1).可以得到=(0,1 2,1 2)，=1,1.,若有/，则存在实数使得=.所以 1=0,=1 2,1=1 2.因为方程组无解，所以，不存在点在线段上，使得/.,